精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题

重庆市南开中学校2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各项中，不可以组成集合的是 A. 所有的正数 B. 等于2的数 C. 接近于0的数 D. 不等于0的偶数 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：集合中的元素满足三要素：确定性、互异性、无序性；“接近于0的数”是不确定的元素 故接近于0的数不能组成集合故选C． 考点：集合的含义． 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 3. ，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】两个集合相等，则元素相同，据此分类讨论求解即可. 【详解】由题意，或，∴或， 由集合元素互异性可知， 则实数的取值集合为. 故选：A. 4. 满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，列举出满足条件的集合，即可求解. 【详解】由题意可知，,,,,, ，共有6个集合满足条件. 故选：C 5. 如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据阴影部分的位置得答案. 【详解】图中阴影部分不在集合中，在集合中， 故阴影部分所表示的集合是. 故选：C. 6. 设常数，集合，，若，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合, ①当时，或， ∵，结合数轴作图知， 即得； ②当时，显然； ③当时，或，结合数轴作图知， 此时恒成立， 由①②③知. 故选：B 考点：集合的关系 7. 若、、为三个集合，，则一定有（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知等式可推导得到，由此可依次判断各个选项得到结果. 【详解】因为， 所以，，， 所以, 所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，当且仅当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，故C错误； 对于D，当时，满足，故D错误. 故选：A. 8. 设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（i≠，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先分析出的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对表示两个数、中的较小者）的把握，即可得答案． 【详解】解：根据题意，对于，含2个元素的子集有15个， 但，、，、，只能取一个； ，、，只能取一个； ，、，只能取一个， 故满足条件的两个元素的集合有11个； 故选：． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知“”是“”的充分不必要条件，则的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】BCD 【解析】 【分析】由充分不必要条件求出的范围即可找到选项. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件，所以. 故选：BCD 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可. 【详解】设， 而，即A错误，C正确； ，即B正确； ，即D正确. 故选：BCD. 11. 集合，且若，则，那么下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. ，则 C. D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据集合的定义，由，，得到，，即，，然后利用一元二次不等式的解法化简后逐项判断. 【详解】∵非空集合满足：当时，有 ∴，，. 则，，且，. 即或，且， 所以或，且，故或, 对于A，当时，有，故A正确； 对于B，当时，，所以，所以，故B正确； 对于C，因为或，故C正确； 对于D，当时，可知或，故D错误. 故选：ABC 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 设全集，集合，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】由全集，可得，然后根据集合混合运算的法则即可求解． 【详解】，， ， ， ， 故答案为：． 13. 南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有______人. 【答案】45 【解析】 【分析】引入参数，只参加数学的占参加了竞赛班的比例列方程即可求解. 【详解】设只参加物理的有个人，则只参加数学的有个人， 因为两科都不参加的占全班的，所以参加了竞赛班的占全班的， 所以只参加数学的占参加了竞赛班的， 解得，所以全班有人. 故答案为：45. 14. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先用列举法表示集合、，从而得到，即可得解. 【详解】因为， ， 又， 所以 ，， 所以中元素的共个. 故答案为： 四、解答题 15. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1），；（2），，. 【解析】 【分析】（1）分是否等于0两种情况讨论即可； （2）分是否等于0两种情况讨论即可. 【详解】（1）情形一：若，则中只有这一个元素，故符合题意； 情形二：若，且集合中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得； 综上所述，实数的所有取值可能为：，； （2）， 情形一：当时，，此时满足，故符合题意； 情形二：当时，， 若要，则当且仅当或， 解得或； 综上所述，实数的值可能是：，，. 16. 设集合. （1）求 （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解不等式求出集合，再利用交集、补集的概念计算即可； （2）先求出并集的补集，再根据集合间的基本关系计算即可. 【小问1详解】 由得， 由得或，即{或}， 所以，故； 【小问2详解】 由上知{或}，所以， 而， 则，解之得， 即的取值范围为. 17. 已知全集，集合． （1）若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M； （2）集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】（1）； （2）能，. 【解析】 【分析】（1）当时，由，得到，求得，结合条件即可求解； （2）由，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，即可求解. 【小问1详解】 解：当时，可得， 因为，所以， 又由， 又因为AMB， 所以这样的集合M共有如下6个：. 【小问2详解】 解：能； 由，可得， 若时，此时满足是的一个子集，此时，解得； 若时，由（1）知， 当时，，此时，此时不是的一个子集； 当时，，此时，此时是的一个子集； 当时，，此时，此时是的一个子集， 综上可得，当或时，满足， 此时实数的取值范围为. 18. 已知. （1）若，求实数的取值范围; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由交集为空集得到一元二次方程无解，再由判别式小于等于零可解出； （2）分和时，分别求出的范围，注意时中的点都在集合中，即可解出； 【小问1详解】 由得，① 因为， 所以①的，解得， 所以实数的取值范围为， 【小问2详解】 ①若，由（1）可得， ②若，且其中的点都在集合中，也符合题意， 此时，联立，得，且， 解得， 将代入中，整理可得， 令，整理得，解得， 同理，把代入，得， 令，整理并化简可得，所以， 综上，实数的取值范围为或. 19. 设集合），若是的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. （1）写出的所有奇子集; （2）求证：的奇子集与偶子集个数相等； （3）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 【答案】（1）、、,、,、,、,、,2,、,3,； （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，分析的子集，对应奇子集的定义，即可得的所有奇子集； （2）设为的奇子集，根据奇子集和偶子集的定义，按1是否属于进行分类，则得到奇子集和偶子集之间的关系，分析即可证得结论； （3）根据（2）中的结论，计算奇子集容量之和时，元素的贡献是，即可求得奇子集的容量之和，从而得到偶子集的容量之和，即可得到结论． 【小问1详解】 由题意可知，当时，，2，3，， 的容量为奇数，则为的奇子集， 所有的奇子集应为、、,、,、,、,、,2,、,3,； 【小问2详解】 设奇数，对于的每个奇子集， 当时，取且． 当时，取，则为的偶子集． 反之，亦然． 所以，的奇子集与偶子集是一一对应的． 所以，的奇子集与偶子集个数相等． 【小问3详解】 对任一，含的子集共有个，用上面的对应方法可知， 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集， 从而对于每个数，在奇子集的和与偶子集的和中，所占的个数是一样的． 于是在计算奇子集容量之和时，元素的贡献是， 奇子集容量之和是， 根据上面所说，这也是偶子集的容量之和，两者相等， 故当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 【点睛】方法点睛：对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市南开中学校2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列各项中，不可以组成集合的是 A. 所有的正数 B. 等于2的数 C. 接近于0的数 D. 不等于0的偶数 2. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 3. ，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4. 满足{1，2，3}M{1，2，3，4，5，6}的集合M 的个数是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 5. 如图，是全集，是的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 6. 设常数，集合，，若，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7. 若、、为三个集合，，则一定有（　　） A. B. C. D. 8. 设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（i≠，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知“”是“”的充分不必要条件，则的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 10. 设，则（ ） A. B. C. D. 11. 集合，且若，则，那么下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. ，则 C. D. 若，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）. 12. 设全集，集合，，则_________． 13. 南开中学高一某班报名数学、物理竞赛班，两科都不参加的占全班的，只参加数学的占全班的，参加物理的比参加数学的少11人，两门都参加的有5人，则全班有______人. 14. 已知集合，，定义集合，则中元素的个数为________. 四、解答题 15. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 16. 设集合. （1）求 （2）若，求实数的取值范围. 17. 已知全集，集合． （1）若b＝4时，存在集合M使得AMB，求出所有这样的集合M； （2）集合A，B能否满足？若能，求实数b的取值范围；若不能，请说明理由． 18. 已知. （1）若，求实数的取值范围; （2）若，求实数的取值范围. 19. 设集合），若是的子集，把中所有元素的和称为的"容量"（规定空集的容量为0），若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集. （1）写出的所有奇子集; （2）求证：的奇子集与偶子集个数相等； （3）求证：当时，的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $