精品解析：湖北省武汉市钢城第六中学2024-2025学年八年级上学期第一次数学月考试题

2024—2025学年八年级数学上学期第一次集体作业 一、选择题：本题共10小题．每小题3分．共30分． 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2cm，3cm，5cm B. 4cm，4cm，10cm C. 3cm，1cm，3cm D. 3cm，4cm，9cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边分别进行分析即可． 【详解】解：A、，不能组成三角形； B、，不能组成三角形； C、，能组成三角形； D、，不能组成三角形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 2. 下列是四个同学画的高，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的高，根据三角形的高的定义：过三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，这个点与垂足之间的线段叫做三角形的高，解答即可. 【详解】解：画的高应该是： 故选：B． 3. 已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．据此即可解答． 【详解】解：设此三角形第三边的长为x， 则，即， 四个选项中只有9符合条件． 故选：D． 4. 两个同样大小的直角三角板按如图所示摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边， 分别落在的边和上，且，连接，则在说明为的平分线的过程中，理由正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质定理以及角平分线的定义即可得结论，从而作出判断． 【详解】解：根据题意可得： ， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∴为的平分线， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的判定和全等三角形的判定和性质的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 5. 正n边形的每一个外角都不大于，则满足条件的多边形边数最少为（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正多边形的外角和等于360°，列不等式即可解答． 【详解】解：由正n边形的每一个外角都不大于，可得： ∴，解得：， 满足条件的多边形边数最少为9． 故选C． 【点睛】本题考查了利用外角求正多边形的边数的方法，解题的关键是掌握任意多边形的外角和都等于360度． 6. 如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握“”等判定方法是解题的关键，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，，，∴不能证明，故该选项是符合题意的； B、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； C、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； D、∵，，，∴能证明，故该选项是不符合题意的； 故选：A． 7. 如图,直线l1∥l2,线段AB交l1,l2于D,B两点,过点A作AC⊥AB,交直线l1于点C,若∠1＝15,则∠2＝（　　） A. 95 B. 105 C. 115 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】利用垂直定义和三角形内角和定理计算出∠ADC的度数,再利用平行线的性质可得∠3的度数,再根据邻补角的性质可得答案． 【详解】解：∵AC⊥AB, ∴∠A＝90, ∵∠1＝15, ∴∠ADC＝180-90-15＝75, ∵l1∥l2, ∴∠3＝∠ADC＝75, ∴∠2＝180-75＝105, 故选：B． 【点睛】此题主要运用垂直定义、三角形内角和定理以及平行线的性质,解决角之间的关系,本题关键是掌握两直线平行,同位角相等． 8. 在内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到 的距离等于P到的距离．下列尺规作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】P到A、C两点的距离相等，得到在线段 的垂直平分线上，P到 的距离等于P到的距离，得到在的角平分线上，作出线段 的垂直平分线和的角平分线，交点即为点． 【详解】解：∵P到A、C两点的距离相等， ∴在线段 的垂直平分线上， ∵P到 的距离等于P到的距离， ∴在的角平分线上， 如图：作出线段 的垂直平分线和的角平分线，交点即为点； 故选D． 【点睛】本题考查角平分线和中垂线的作图．熟练掌握到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，到角两边距离相等的点在角平分线上，是解题的关键． 9. 如图所示，中，点、 、 分别在三边上， 是 的中点， 、、交于一点，，，，则的面积是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．由于，那么结合三角形面积公式可得，而，可得出，而 是 中点，故有，于是可求，从而易求． 【详解】解：如图， ∵，同高， ， ， 是 的中点， ∴同理可知， 又，， ， ． 故选：B． 10. 如图，中，，的角平分线 、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交 于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合 平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：∵在中， 、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵ 平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 二、填空题（本题共6小题．每小题3分．共18分．） 11. 如图，，点D，E分别在 与 上， 与相交于点F．只填一个条件使得，添加的条件是：____________________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理添加条件即可． 【详解】添加的条件是： ∵，， ∴ 故答案为：（答案不唯一）． 12. 一副直角三角板与按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边上，点A、C、D、F在一条直线上，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角板的角度运用以及三角形的外角性质，先根据三角板的摆放位置得出，，结合三角形的外角性质得，即可作答． 【详解】解：∵一副直角三角板与按如图所示位置摆放 ∴， ∴ ∴ 故答案为： 13. 如图，分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，则的度数为_____________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】由 平分平分，利用角平分线的定义，可得出 由是的外角，是的外角，利用三角形的外角性质，可得出，进而可得出， 再代入，即可求出的度数． 本题考查了三角形的外角性质以及角平分线的定义，根据各角之间的关系，找出是解题的关键． 【详解】解：∵ 平分平分， ， ∵是的外角，是的外角， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 在中，若，，则中线 的最小整数值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先作辅助线，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC，先证明△ABD≌△ECD，在△AEC中，由三角形的三边关系定理得出答案． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接EC， ∵BD=CD，DE=AD，∠ADB=∠EDC， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE=AB， ∵AB=5，AC=7，CE=5， 设AD=x，则AE=2x， ∴2＜2x＜12， ∴1＜x＜6， ∴1＜AD＜6． 最小整数解为 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，倍长中线法证明三角形全等，关键是掌握三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用等腰三角形的性质，本题属于基础题型． 分两种情况画出图形，根据等腰三角形的性质、外角的性质即可求出答案． 【详解】解：当是锐角三角形时，，如图，， ∵， ∴， ∴ 当是钝角三角形时，交的延长线于点D， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 16. 如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为________． 【答案】1或 【解析】 【分析】设点 的运动速度为 ，则，，，由于，则当，时，根据“”判断，即，；当，时，根据“”判断，即，，然后分别解方程求出 即可． 【详解】解：设点 的运动速度为 ，则，，， ， 当，时，根据“”判断， 即，，解得，； 当，时，根据“”判断， 即，，解得，， 综上所述，点 的运动速度为1或． 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 三．解答题：本题共8小题．共72分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。 17. 如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为 cm． （1）求第三边 的范围； （2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长． 【答案】（1）7<x<11 （2）20cm 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系得到有关第三边的取值范围即可； （2）根据（1）得到的取值范围确定第三边的值，从而确定三角形的周长． 【小问1详解】 由三角形的三边关系得：， 即； 【小问2详解】 ∵第三边长的范围为，且第三边长为奇数， ∴第三边长为9， 则三角形的周长为： 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有关 的取值范围，难度不大． 18. 是 的中点，，求证：． 【答案】 证明：∵ 是 的中点， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，利用“”即可证明． 【详解】略 19. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，先根据三角形外角的性质得到，再由角平分线的定义得到，则由三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 20. 如图，正方形 的四个顶点都是格点， 点是格点，且在边上．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． （1）找到格点 ，并连接，使，且； （2）连接，过 作于点； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）在 延长线上取格点 ，连接、，使得，会有，即，结合，可证，则，，故，即，则，故格点 即为所求； （2）连接，在点 的左侧，过点 的水平网格线上取格点；在点 的右侧，过点 的水平网格线上取格点，使得，会有，连接交于点，连接，根据“两直线平行，内错角相等”，可得、，可证，可得，即点为的中点，根据、等腰三角形三线合一的性质，可得，故即为所求． 【小问1详解】 如图，格点 即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求． 【点睛】本题主要考查了网格作图，涉及了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质等，灵活运用知识点作图是解题的关键． 21. 在中，，点分别在边上， （1）如图（1），若，求证：． （2）如图（2），若，则线段 与线段 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 【答案】（1）证明详见解析； （2）相等，理由详见解析． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的全等判定和性质，三角形全等的判定和性质． (1)根据直角三角形的全等判定证明即可． (2)过点 作交的延长线于，过点 作交的延长线于．仿照(1)证明直角三角形全等即可． 【小问1详解】 ， 均为直角三角形， 又 ． 【小问2详解】 相等，理由如下： 如图所示，过点 作交的延长线于，过点 作交的延长线于． ， ， ， ， ， ． 22. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； （3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图所示，先根据三角形内角和的得∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得，∠DBC=∠ACB=35°，可得结论； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC=AD+CD=BD+AD 证法二：如图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C=35°，得BF=BE，可得结论 （3）正确画图，做辅助线，构造等腰三角形，根据角的大小证明：AF=AC=EF，则线段的和与差可得结论 【小问1详解】 如下图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝35°， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴△BCD为等腰三角形； 【小问2详解】 证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH， 由（1）得：△BCD为等腰三角形， ∴BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAB＝∠EAH， ∴△ABE≌△AHE（SAS）， ∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°， ∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°， ∴EH＝HC， ∴AB+BE＝AH+HC＝AC， ∴BD+AD＝AB+BE； 证法二：如下图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF， 由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠EAC， ∴△AEF≌△AEC（SAS）， ∴∠F＝∠C， ∵∠C＝35° ∴∠F＝∠C＝35° 由（1）知∠ABC＝70° ∴∠BEF=35° ∴∠F=∠BEF ∴BF＝BE， ∴AB+BE＝AB+BF＝AF， ∴BD+AD＝AB+BE； 【小问3详解】 探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由是： 如上如图所示，在BE上截取BF＝AB，连接AF， ∴∠AFB＝∠BAF ∵∠ABC＝70°， ∴∠AFB＝∠BAF＝35°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠HAB＝105°， ∵∠BAC＝75° ∴∠BAH＝105° ∵AE平分∠HAB， ∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°， ∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°， ∴AF＝EF， ∵∠AFC＝∠C＝35°， ∴AF＝AC＝EF， ∴BE-AB＝BE-BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和和外角的性质，正确作出辅助线是解题关键 23. 新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线． 解决问题： （1）①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________； ②如图1，已知中， 是边上的中线，点 ， 分别在 ， 上，连接，与 交于点．若，则___________（填“是”或“不是”）的一条二分线． （2）如图2，四边形 中，，点是 的中点，射线交射线于点 ，取的中点 ．连接．求证：是四边形 的二分线． （3）如图3，在中，，、 分别是线段、 上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长． 【答案】（1）①三角形的中线 ②是 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，平行线的性质，理解新定义是解题的关键． （1）①由平面图形的二分线定义可求解； ②由面积的和差关系可得，可得是的一条二分线； （2）根据的中点 ，所以，由，是 的中点，证明，所以，所以，可得是四边形 的二分线； （3）证明，可得，由是四边形的一条二分线，可得，则，即可得出，从而求解． 【小问1详解】 解：① 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分； 三角形的中线是三角形的二分线， 故答案为：三角形的中线 ②是边上的中线 ， ， ， ， 是的一条二分线 故答案为：是 【小问2详解】 解：∵的中点F， ∴， ∵， ∴， ∵G是 的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是四边形 的二分线． 【小问3详解】 解：∵ ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵是四边形的一条二分线， ∴， ∴ ∴． 24. 在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D． （1）根据题意，可求得OE＝　 　； （2）求证：△ADO≌△ECO； （3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？ 【答案】（1）5；（2）见解析；（3）当两动点运动时间为、、10秒时，△OPM与△OQN全等 【解析】 【分析】（1）根据OA=OE即可解决问题． （2）根据ASA证明三角形全等即可解决问题． （2）设运动的时间为t秒，分三种情况讨论：当点P、Q分别在y轴、x轴上时；当点P、Q都在y轴上时；当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时；列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵A（0，5）， ∴OE＝OA＝5， 故答案为5． （2）如图1中， ∵OE＝OA，OB⊥AE， ∴BA＝BE， ∴∠BAO＝∠BEO， ∵∠CEF＝∠AEB， ∴∠CEF＝∠BAO， ∴∠CEO＝∠DAO， 在△ADO与△ECO中， ， ∴△ADO≌△ECO（ASA）． （2）设运动的时间为t秒，当PO＝QO时，易证△OPM≌△OQN． 分三种情况讨论： ①当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得： 5﹣t＝12﹣3t， 解得t＝（秒）， ②当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得： 5﹣t＝3t﹣12， 解得t＝（秒）， ③当点P在x轴上，Q在y轴上时， 若二者都没有提前停止，则PO＝QO得： t﹣5＝3t﹣12， 解得t＝（秒）不合题意； 当点Q运动到点E提前停止时， 有t﹣5＝5，解得t＝10（秒）， 综上所述：当两动点运动时间为、、10秒时，△OPM与△OQN全等． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年八年级数学上学期第一次集体作业 一、选择题：本题共10小题．每小题3分．共30分． 1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ） A. 2cm，3cm，5cm B. 4cm，4cm，10cm C. 3cm，1cm，3cm D. 3cm，4cm，9cm 2. 下列是四个同学画 的高，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三角形的两边分别为4和10，则此三角形的第三边可能是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 4. 两个同样大小的直角三角板按如图所示摆放，其中两条一样长的直角边交于点，另一直角边，分别落在的边和上，且 ，连接，则在说明为的平分线的过程中，理由正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正n边形的每一个外角都不大于，则满足条件的多边形边数最少为（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 6. 如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图,直线l1∥l2,线段AB交l1,l2于D,B两点,过点A作AC⊥AB,交直线l1于点C,若∠1＝15,则∠2＝（　　） A. 95 B. 105 C. 115 D. 125 8. 在 内找一点P，使P到A、C两点的距离相等，并且P到 的距离等于P到 的距离．下列尺规作图正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示， 中，点 、 、 分别在三边上， 是 的中点，、、交于一点，，，，则 的面积是（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 10. 如图，中，， 的角平分线、相交于点P，过P作交 的延长线于点F，交 于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共6小题．每小题3分．共18分．） 11. 如图， ，点D，E分别在 与 上，与相交于点F．只填一个条件使得，添加的条件是：____________________． 12. 一副直角三角板与按如图所示位置摆放，直角顶点B在斜边上，点A、C、D、F在一条直线上，则的度数为___________． 13. 如图，分别是 的一条内角平分线与一条外角平分线，，则的度数为_____________． 14. 在 中，若，，则中线的最小整数值是___________． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则底角的度数为__________． 16. 如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为________． 三．解答题：本题共8小题．共72分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤。 17. 如果一个三角形的一边长为9cm，另一边长为2cm，若第三边长为 cm． （1）求第三边 的范围； （2）当第三边长为奇数时，求三角形的周长． 18. 是 的中点，，求证：． 19. 如图，是 的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，．求的度数． 20. 如图，正方形 的四个顶点都是格点， 点是格点，且在 边上．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图． （1）找到格点 ，并连接，使 ，且； （2）连接，过 作于点； 21. 在 中， ，点分别在边上， （1）如图（1），若，求证：． （2）如图（2），若，则线段 与线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由． 22. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； （3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 23. 新知学习：若一条线段把一个平面图形分成面积相等的两部分，我们把这条线段叫做该平面图形的二分线． 解决问题： （1）①三角形的中线、高线、角平分线中．一定是三角形的二分线的是___________； ②如图1，已知 中，是 边上的中线，点 ， 分别在 ， 上，连接，与交于点．若，则___________（填“是”或“不是”） 的一条二分线． （2）如图2，四边形 中，，点是的中点，射线交射线于点 ，取的中点 ．连接．求证：是四边形 的二分线． （3）如图3，在 中，， 、 分别是线段 、 上的点，且，是四边形的一条二分线，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D． （1）根据题意，可求得OE＝　 　； （2）求证：△ADO≌△ECO； （3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $