专题强化06：旋转、对称几何变换题型归纳【7大题型】培优-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

专题强化06：旋转、对称几何变换题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：旋转的性质 · 题型二：旋转中的坐标问题 · 题型三：中心对称变换 · 题型四:旋转变换之线段问题 · 题型五：旋转变换之面积问题 · 题型六：旋转变换之角度问题 · 题型七：旋转综合问题 【题型探究】 题型一：旋转的性质 1．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（   ） A．3 B． C． D． 3．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（    ）    A． B． C． D． 题型二：旋转中的坐标问题 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点，以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，边长为4的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，点为的中点，将正六边形绕原点顺时针旋转次，每次旋转，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23九年级下·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 题型三：中心对称变换 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出． (2)画出关于点O的中心对称图形． (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标为___________． 9．（23-24九年级上·四川自贡·期末）如图，在直角坐标系中，点，点在第一象限，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)在图中画出关于原点对称的图形； (2)求的度数； (3)求出点的坐标． 题型四:旋转变换之线段问题 10．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图①，抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为，对称轴为． (1)求此抛物线解析式； (2)在第四象限的抛物线上找一点F，使，求点F的坐标； (3)如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标． 11．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 12．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 题型五：旋转变换之面积问题 13．（21-22九年级上·吉林通化·期末）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，，则______，四边形的面积＝______． 14．（21-22九年级上·天津河西·期末）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ．    (1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； (2)当旋转角为时，连接，求的值． (3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 15．（22-23九年级上·广东广州·期中）在 中，，是斜边的中点，把一三角尺的直角顶点放在点处，以为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与的两直角边分别交于点，． (1)求证：； (2)在旋转三角尺的过程中，四边形的面积大小是否有变化？若没有变化，请求出四边形的面积；若有变化，请说明理由； (3)连接，在旋转三角尺的过程中，周长的最小值是 ． 题型六：旋转变换之角度问题 16．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，与交于点G、F． (1)求的度数； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 17．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．    (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 18．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 题型七：旋转综合问题 19．（24-25九年级上·湖北武汉）如图，正方形和正方形有公共顶点D． (1)如图1，连接和，直接写出和的关系； (2)如图2，连接为中点，连接，探究的关系，并说明理由； (3)如图3，当正方形绕点D逆时针旋转过程中，连接，若当，，时，_______（请用含m的式子表示）． 20．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点． 【数学思考】 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】； （3）如图，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】； （4）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 21．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，在中，．将绕点逆时针旋转，旋转角为得到，记点，的对应点分别为，，连接，，射线与交于点．      (1)如图1，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图2，当点在射线上时，若，证明：四边形为平行四边形； (3)在旋转过程中是否存在的情形？若存在，求出此时与的数量关系；若不存在，请说明理由． 【专题强化】 一、单选题 22．（24-25九年级上·湖北武汉·）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，有两个全等的矩形和矩形重合摆放，将矩形绕点逆时针旋转，延长交于点，线段的中点为点，的长为2，的长为4，当取最小时，的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 25．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 26．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，  点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（    ） A． B．4 C． D． 27．（2024·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，其中点，，M为对角线的中点．现将平行四边形绕原点O顺时针旋转，每次转，则第71次旋转结束时，点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 28．（23-24九年级下·重庆沙坪坝）如图，在中，，，点为内部一点，在平面内将线段绕点逆时针旋转得到线段，点三点共线，点为线段的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 29．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 ． 30．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ． 31．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边上一点，且点M的坐标为．将正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转，则旋转2022秒后，点M的坐标为 ． 32．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 （填序号） 三、解答题 33．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，点M是该抛物线的顶点，将线段绕着点A顺时针旋转得到，取线段中点C，过点C作y轴的垂线，交该抛物线从左到右依次为点D、E，连接、、． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)求的长； (3)直接写出四边形的面积＝______． 34．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 35．（2024·湖南·二模）已知直角三角板中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接，． (1)如图1，将直角三角板逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）； (2)若将直角三角板顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数； (3)若的平分线交于点G，交直线于点F，连接，试证明：． 36．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在正方形中，点在边上，且与关于所在的直线对称，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 37．（24-25九年级上·湖南衡阳）课本再现： 如图1，四边形是菱形，，．    （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①求出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为，求的长． （备用结论：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半） 38．（24-25九年级上·辽宁盘锦）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：将绕点逆时针旋转，如图②，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程：若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数是______． ②若，求线段的长是多少？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题强化06：旋转、对称几何变换题型归纳 【题型归纳】 · 题型一：旋转的性质 · 题型二：旋转中的坐标问题 · 题型三：中心对称变换 · 题型四:旋转变换之线段问题 · 题型五：旋转变换之面积问题 · 题型六：旋转变换之角度问题 · 题型七：旋转综合问题 【题型探究】 题型一：旋转的性质 1．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在正方形中，为边上的点，连接，，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由旋转性质可得，，又四边形是正方形， 则，再由等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵将绕点顺时针方向旋转得到， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与交于点，则四边形的周长是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，连接，，由正方形的性质可得：，，由旋转的性质可得：，，，得出点再对角线上，再分别求出、的长即可得解． 【详解】解：如图，连接，， 由正方形的性质可得：，， 由旋转的性质可得：，，， ∴点在对角线上，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴四边形的周长是， 故选：B． 3．（23-24九年级下·安徽合肥·期中）如图，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若经过点与相交于，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，旋转的性质，三角形外角定理，掌握相关定理与性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为菱形，， ， 菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ， ． 故选：B． 题型二：旋转中的坐标问题 4．（23-24九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形的顶点为坐标原点，，对角线在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点，以每秒的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转变换，矩形的性质等知识，解题的关键是明确题意，发现点G的变化特点，利用数形结合的思想解答．每秒旋转，8次一个循环，，第2024秒时，矩形的对角线交点G与原位置的点G的坐标相同，由此可得到点G的坐标． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴， ∵每秒旋转，， ∴8次一个循环， ∵， ∴点G与原位置的点G的坐标相同， ∴原位置的点G在第一象限的角平分线上，设， ∴， 解得：， ∴点G的坐标为． 故选：C． 5．（23-24九年级上·江西宜春·期末）如图，边长为4的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，点为的中点，将正六边形绕原点顺时针旋转次，每次旋转，当时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．根据正多边形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据规律解答即可． 【详解】解：∵正六边形的中心与坐标原点重合， ∴， ∴，， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为， ∵点为的中点， ∴点Q的坐标为，旋转1次后的坐标为，旋转2次后的坐标为，旋转3次后的坐标为，旋转4次后的坐标为，旋转5次后的坐标为，旋转6次后的坐标为， ∵六边形是正六边形， ∴正六边形绕原点O顺时针旋转6次回到原位置， ∵， ∴当时，点Q的坐标为 ， 故选：B． 6．（22-23九年级下·山东济宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据正六边形的性质以及勾股定理求出，，进而确定点的坐标，再根据旋转分别得出旋转1次、2次、3次、4次、5次所对应点的坐标进而得出规律，由规律可得答案． 【详解】 解：在中，，， ， 点的坐标为， 第1次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为，， 第2次顺时针旋转，点的对应点第三象限，其坐标为， 第3次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为，， 第4次顺时针旋转，点的对应点第一象限，其坐标为， 第5次顺时针旋转，点的对应点第四象限，其坐标为，， ∴整个旋转过程是4次一个循环，且， ∴第2023次顺时针旋转，点的对应点第二象限，其坐标为，， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形，旋转以及勾股定理，掌握正六边形的性质，得出旋转的规律是正确解答的前提． 题型三：中心对称变换 7．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 8．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)将向右平移6个单位长度得到，请画出． (2)画出关于点O的中心对称图形． (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标为___________． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)． 【分析】本题考查的是画平移图形，中心对称图形，旋转中心的确定，掌握旋转的性质是解本题的关键； （1）分别确定A，B，C平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）分别确定点，，绕O旋转后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）连接，，，可得旋转中心，可得其坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）如图，为旋转中心，坐标为：；   ． 9．（23-24九年级上·四川自贡·期末）如图，在直角坐标系中，点，点在第一象限，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．    (1)在图中画出关于原点对称的图形； (2)求的度数； (3)求出点的坐标． 【答案】(1)详见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了中心对称图形，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，解直角三角形，读懂题意，构造直角三角形是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，利用关于原点对称点的坐标的性质，得到，由此得到． （2）根据旋转的性质，得到，，进而得到，再根据等腰直角三角形的性质，得到，由此得到答案． （3）过点作轴于点，利用已知条件，求出，，由此得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，做图如下：   即为所求． （2）解：由旋转得，， ， 在中，， ， ． （3）解：在中，， 如图，过点作轴于点，    在中，， ， ， ， ． 题型四:旋转变换之线段问题 10．（22-23九年级上·湖北武汉·期中）如图①，抛物线，与x轴交于A，B两点（A在B的左边），与y轴交于C点，顶点为E，其中，点A坐标为，对称轴为． (1)求此抛物线解析式； (2)在第四象限的抛物线上找一点F，使，求点F的坐标； (3)如图②，点P是x轴上一点，点E与点H关于点P成中心对称，点B与点Q关于点P成中心对称，当以点Q，H，E为顶点三角形是直角三角形时，求P的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)F坐标为 (3)点P坐标为或 【分析】（1）将代入解析式，结合对称轴即可求解； （2）过A点作，交抛物线于点F，连接．根据平行线的性质推出，求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立，即可求出交点坐标； （3）设点P坐标为，根据中心对称求出，，再依次求出，，，分，，三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，对称轴， ，， ，， ∴此抛物线的解析式为； （2）解：如图，过A点作，交抛物线于点F，连接． ， 点A与点F到直线的距离相等， ． 抛物线解析式为， 令，得， 令，得， 解得，， ． 设直线解析式为， 则， 解得， 设直线的解析式为， ， ， 将代入，得， 解得， 直线解析式为． 联立与， 可得， 整理得， 解得， 点F在第四象限，， ， 把代入到，得， 即F坐标为； （3）解：设点P坐标为， 抛物线解析式为， 顶点E坐标为， 点E与点H关于点P对称，点B与点Q关于点P对称， ，， ， ， ． ①当时，则， 得， 解方程得， P坐标为； ②当时，则， 得， 解方程得， P坐标为； ③当时，则， 得，即， ， 此方程没有实数根， 这种情况不存在； 综上所述：点P坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、中心对称、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识点，综合性质较强，解题的关键是熟练运用数形结合和分类讨论思想． 11．（23-24九年级上·广东东莞·期中）正方形的边长为，，分别是，边上的点，且．将绕点逆时针旋转，得到． (1)求证： ； (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，；由和四边形是正方形，可得，从而得出，利用得出，即可求解； （2）由得，正方形的边长为，从而求出，根据求出的长，设，则，在中，由勾股定理得： ，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ，即， 解得：， 则． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的定理及性质． 12．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，点M、N分别在正方形的边上，且，把顺时针旋转一定角度后得到． (1)填空：绕旋转中心______点，按顺时针方向旋转______度得到； (2)求证：； (3)若，，求正方形的边长． 【答案】(1)A，90 (2)证明见解析 (3)正方形的边长为 【分析】（1）根据旋转定义结合正方形性质得出旋转中心和旋转角度即可； （2）先根据旋转的性质可得，再根据正方形的性质、角的和差可得，然后根据三角形全等的判定定理即可得证； （2）设正方形的边长为x，从而可得，再根据旋转的性质可得，从而可得，然后根据三角形全等的性质可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）解：在正方形中，， 又顺时针旋转一定角度后得到， 绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到, 故答案为：A，90； （2）证明：由旋转的性质得：， 四边形是正方形， ，即， ，即， ， ， 在和中， ， ； （3）解：设正方形的边长为，则， ， ， 由旋转的性质得：， ， 由（2）已证：， ， 又四边形是正方形， ， 则在中，， 即， 解得或（不符题意，舍去） 故正方形的边长为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键． 题型五：旋转变换之面积问题 13．（21-22九年级上·吉林通化·期末）如图，中，，，点、在边上，，将绕点顺时针旋转得． (1)求证：； (2)连接，求证：； (3)若，，则______，四边形的面积＝______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)； 【分析】（1）由旋转的性质得，从而得到，即可证明结论； （2）由旋转的性质得，，则，再利用即可证明； （3）如图，过点作于，由（1）得，，在中，由勾股定理得，则，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再利用可得出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵将绕点顺时针旋转得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）解：如图，过点作于， ∵将绕点顺时针旋转得，，， ∴， 由（1）得，， 在中，， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积： ． 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形三线合一的性质等知识．证明是解题的关键． 14．（21-22九年级上·天津河西·期末）如图①，将一个正方形纸片和一个等腰直角三角形纸片放入平面直角坐标系中，点，点，，．如图②，将纸片绕点顺时针旋转，设旋转角为 ．    (1)当旋转角为30°时，求此时点E的坐标； (2)当旋转角为时，连接，求的值． (3)在旋转的过程中，当最大时，求此时的面积（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3)的面积为6 【分析】（1）过点作于，解直角三角形求出，，可得结论． （2）过点作于，由勾股定理可求出答案； （3）当时，的值最大，由勾股定理求出，再证明，得出，可得结论． 【详解】（1）过点作于，    由题意， ， ， ； （2）过点作于，如图②， 由题意得， ， ， ， ， ， ， ； （3）由题意知点在以为圆，为半径的圆上运动，当时，的值最大，此时，．    过点作轴于，过点作于． ， ， ，， ∴， ， ，，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 15．（22-23九年级上·广东广州·期中）在 中，，是斜边的中点，把一三角尺的直角顶点放在点处，以为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与的两直角边分别交于点，． (1)求证：； (2)在旋转三角尺的过程中，四边形的面积大小是否有变化？若没有变化，请求出四边形的面积；若有变化，请说明理由； (3)连接，在旋转三角尺的过程中，周长的最小值是 ． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形的面积没有变化，为1； (3) 【分析】（1）过点作于点，作于点，可得四边形是矩形，再证得．可得四边形是正方形，从而得到，即可； （2）根据，可得，从而得到 ，即可求解； （3）由（1）得：，从而得到，进而得到，可得到当最小时，的周长最小，为，然后取的中点G连接，，再根据直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，作于点，   ． ， 四边形是矩形．     ∴， ，， ∴， ， ． 四边形是正方形．    ， ． ． ． （2）解：四边形 的面积没有变化．      由（1）可知 ， ，                                                                     四边形是正方形，且，            ， 即四边形的面积没有变化，为1； （3）解：由（1）得：， ∴， ∴， ∴当最小时，的周长最小，为， 如图，取的中点G连接，， ∵， ∴， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， ∴在旋转三角尺的过程中，周长的最小值是． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，正方形的判定和性质，直角三角形的性质，根据题意证得是解题的关键． 题型六：旋转变换之角度问题 16．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如图，中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，与交于点G、F． (1)求的度数； (2)判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考点涉及等腰三角形的性质、旋转的性质、三角形外角和定理、平行线的判定、平行四边形的判定、菱形的判定，涉及知识点较多，但难度不大，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）利用等腰三角形性质得出，利用旋转的性质和三角形的外角定理即可解答； （2）利用平行线的判定定理证得，所以四边形是平行四边形，再利用菱形判定定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵将绕点A顺时针方向旋转得到， ∴， ∴； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形． 17．（2023·四川德阳·中考真题）将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转（）度到位置，使，如图2．    (1)求的值； (2)如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)正方形，见解析 【分析】（1）确定旋转角，结合，，计算即可． （2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可． 【详解】（1）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， 故． （2）根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，      ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判断，正方形的判断，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 18．（22-23九年级上·福建福州·期中）如图1，为等边内一点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，的延长线与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，小颖对该图形进行探究，得出结论：．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)小颖的结论正确，理由见详解． 【分析】（1）根据SAS证明，即可得到． （2）由可得又因为因此得根据AAS可得，则，再根据HL可得，则因此． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， 又 即 ∴ （2）解：小颖的结论正确，理由如下： 如图，过A点作于M，于N， ∵ 又 ∵ 又 ∴ 在和 中 ∴ ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，恰当的添加辅助线是解题的关键． 题型七：旋转综合问题 19．（24-25九年级上·湖北武汉）如图，正方形和正方形有公共顶点D． (1)如图1，连接和，直接写出和的关系； (2)如图2，连接为中点，连接，探究的关系，并说明理由； (3)如图3，当正方形绕点D逆时针旋转过程中，连接，若当，，时，_______（请用含m的式子表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）运用正方形的性质，证明，得到和的关系； （2）延长至点，使得，连接，延长交于一点H，运用正方形的性质，再证明，最后由中位线得到结论； （3）分两种情况讨论：分别作图，与（1）证明，得出，然后运用勾股定理列式化简，即可作答． 本题考查了勾股定理，正方形的性质，旋转性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形和四边形是正方形， ，，， ∴ ， ， ， 如图： ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：且，理由如下： 四边形和四边形是正方形， ，，， 延长至点，使得，连接，延长交于一点H 则， ∴ ∵，， ， ， ∵为中点，为中点 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 （3）第一种情况：如图：连接，则交与一点 与（1）同理得，且； 四边形和四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ 在中， 在中， ∴ 第二种情况： 如图：连接，交于一点Q 与（1）同理得，且； 四边形和四边形是正方形， ∴， ∵ ∴ 在中，， 在中， ∴ 故答案为：或 20．（2024·贵州黔东南·二模）如图，在直角三角形纸片中，，，． 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平；将绕点D顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点M（点M不与点A重合），与边交于点． 【数学思考】 （1）折痕的长为______； （2）在绕点D旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论； 【数学探究】； （3）如图，在绕点D旋转的过程中，当直线经过点B时，求的长； 【问题延伸】； （4）在绕点D旋转的过程中，连接，则的取值范围是______． 【答案】（1）3；（2），证明见解析；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据中位线的性质求解即可； （2）连接，证即可得证； （3）先证，再设未知数，在中利用勾股定理建立方程即可； （4）分别求出和，利用三角形三边关系即可得解． 【详解】解：（1）∵是中点，点C和点A重合， ∴是中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：3； （2），证明如下：连接， 由旋转的性质，得，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （3）由旋转的性质可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （4）如图，连接， 在中， ∵，， ∴， 由题意得 当点F在上时，最小，此时； 当点F在的延长线上时，最大，此时 ∴， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，在中，．将绕点逆时针旋转，旋转角为得到，记点，的对应点分别为，，连接，，射线与交于点．      (1)如图1，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图2，当点在射线上时，若，证明：四边形为平行四边形； (3)在旋转过程中是否存在的情形？若存在，求出此时与的数量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在的情形，此时或 【分析】（1）由旋转，，所以，进而可得； （2）由已知条件可得旋转角，，，得到，再证明则问题可证； （3）当，，不共线时，过点作的平行线与延长线交于点，连接，．证明四边形为平行四边形，再证明，得到则可推出；当，，共线时，此时，点与点重合．可证明进而可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，旋转角为， ∴，，， ∴． 则． （2）∵． ∴旋转角，， 由①可知，，，， ∴ ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形． （3）①当点，，不共线时，如图，过点作的平行线与延长线交于点，连接，．    由（1）可知， ， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴点为，的中点，即，． ∵当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当点，，三点共线时，此时，点与点重合．      ∵，且， ∴， 此时． 综上所述，在旋转过程中存在的情形，此时或． 【点睛】本题考查图形的旋转，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定和性质，平行四边形性质和判定，解答关键是运用分类讨论是数学思想，具体问题具体分析． 【专题强化】 一、单选题 22．（24-25九年级上·湖北武汉·）如图，把以点A为中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别点D，E，且点E在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和三角形外角运用是解题的关键．根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：根据题意，由旋转的性质， 可得，，， 无法证明，，故B选项和D选项不符合题意， 由旋转的性质得： ，故A选项不符合题意， 由旋转的性质得： ，故C选项符合题意， 故选：C． 23．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【详解】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 24．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，有两个全等的矩形和矩形重合摆放，将矩形绕点逆时针旋转，延长交于点，线段的中点为点，的长为2，的长为4，当取最小时，的长为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、垂线段最短、全等三角形的判定与性质等知识，确定何时取最小值是解题关键．连接，由“垂线段最短”的性质可知当，即点与点重合时，取最小值，此时连接，易得，再证明点与点重合，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， ∵四边形与四边形均为矩形且全等，且，， ∴，，， ∴矩形绕点逆时针旋转， 则当，即点与点重合时，取最小值，如下图，连接， 此时， ∵点为线段的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点与点重合， ∴． 故选：B． 25．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，在中，，，．点D在上，且．连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，分别连接，．则的面积为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质．根据旋转得到 ，然后得到，，利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：由，，，， 可得，，， 由旋转可知 ， 所以，， 所以， 所以． 26．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，在中，，  点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，设与交于点D，求出，，，即可求出答案． 【详解】解：设与交于点D， ∵，点 O 为的中点， ∴， 将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C   的对应点分别为．当落在边上时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 即两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为， 故选：D． 27．（2024·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，其中点，，M为对角线的中点．现将平行四边形绕原点O顺时针旋转，每次转，则第71次旋转结束时，点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的旋转，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，求得点M开始的坐标，作出旋转后点M的对应点，过点作，垂足为，可证，得到点的坐标，再同理推出后续的点旋转对应的点的坐标，由每旋转4次为一个循环，即可得出第71次旋转结束时，点M的坐标，即可求解，通过旋转角度找到旋转规律是解题的关键． 【详解】解：如图，作出旋转后点M的对应点，过点作，垂足为， 四边形为平行四边形，M为对角线的中点， 为对对角线的中点， , 将平行四边形绕原点O顺时针旋转，每次转， ， , ，， ， ， ， , ，同理可得， 第2次旋转结束时，点M的坐标为， 第3次旋转结束时，点M的坐标为， 第4次旋转结束时，点M的坐标为， 每旋转4次为一个循环， ， 第71次旋转结束时，点M的坐标为， 故选：D． 28．（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，，，点为内部一点，在平面内将线段绕点逆时针旋转得到线段，点三点共线，点为线段的中点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理可求解，添加恰当构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示：   将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ，， ， 又， ， ， ， 点为线段的中点， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题 29．（23-24九年级下·江苏徐州·自主招生）若二次函数的图象关于点对称的曲线为，则曲线对应的解析式为 ． 【答案】 【分析】先找出抛物线上三个点，再求出关于对称的点的坐标，然后代入所设新抛物线的方程即可解答． 本题考查了二次函数图象与几何变换，得到所求抛物线上的三个点，这三个点是原抛物线上的关于对称的点是解决本题的关键． 【详解】解：令，，， ，， 令，， ∴二次函数与轴交于，，与轴交于， ∴这三个点关于对称点为，，， 设抛物线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴曲线的解析式为． 故答案为：． 30．（2024·陕西咸阳·三模）如图，在平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及同高的三角形面积之比即是底边之比（反之亦然），掌握中心对称的性质是解题的关键．根据题意得到，利用同高的三角形底边之比即是面积之比，得到，，利用中心对称的性质得到，进而得到，即有，即可得到，从而得到． 【详解】解：四边形平行四边形中，，，线段与线段分别过平行四边形的对称中心O，且将平行四边形分成相等的四份， ，，， 连接，， 有， ， ， ， ，， 由中心对称性质可知， ， ， ， ， ； 同理可得， 故答案为：． 31．（24-25九年级上·山东德州·期中）已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示M为边上一点，且点M的坐标为．将正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转，则旋转2022秒后，点M的坐标为 ． 【答案】 【分析】先确定此时点M对应的位置即点所在的位置，如图，过点M，分别作轴于点E，轴于点F，证明，得到，，由此求解即可． 【详解】∵正方形绕原点O顺时针旋转，每秒旋转， ∴旋转8秒恰好旋转． ∵， ∴旋转2022秒，即点M旋转了252圈后，又旋转了6次． ∵， ∴此时点M对应的位置即点所在的位置， 如图，过点M，分别作轴于点E，轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可知， ∴， ∵点M的坐标为， ∴，， 又点在第二象限， ∴旋转2022秒后，点M的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2022秒后点M的位置是解题的关键． 32．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转得到，连接、，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】根据旋转的性质可得，，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：由题意知，绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∵，， ∴，，，，； 故①符合题意； ∴，， ∴； 故③符合题意； ∴， ∴， ∴； 故②符合题意； ∴； 故④不符合题意； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边对等角，平行线的判定，熟练掌握旋转转的性质和全等三角形的性质是解题的关键． 三、解答题 33．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线经过，点M是该抛物线的顶点，将线段绕着点A顺时针旋转得到，取线段中点C，过点C作y轴的垂线，交该抛物线从左到右依次为点D、E，连接、、． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)求的长； (3)直接写出四边形的面积＝______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． （1）把A点坐标代入中求出b，从而得到抛物线解析式； （2）先根据旋转的性质得到，，则，所以，接着解方程得，，然后计算出的长； （3）利用配方法得到，则，于是可判断，然后根据梯形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线经过 ∴， 解得， ∴该抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴， ∵线段绕着点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵C点为线段的中点， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，而， ∴四边形的面积． 34．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是正方形，，分别在、上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，点与点重合，得到，连接、、． (1)求证： ． (2)如图，已知旋转得到，如果正方形的边长是4，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）根据旋转得到，，，即可得到； （2）根据旋转得到，，，，即可得到，然后依据，代入数据解答即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，可知：，，， 在和中， ， ； （2）解：由旋转的性质，可知：，，，， 点、、共线， ， 在和 中， ， ． ， ， ； ， 正方形的边长为4， ． 35．（2024·湖南·二模）已知直角三角板中，，将该三角板绕点C旋转，得到，连接，． (1)如图1，将直角三角板逆时针旋转，，写出的度数（不需要说明理由）； (2)若将直角三角板顺时针旋转，请在图2中补全图形，并求出的度数； (3)若的平分线交于点G，交直线于点F，连接，试证明：． 【答案】(1) (2)补全图形见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）由旋转的性质可知，，，，再根据等边对等角的性质和三角形内角和定理求解即可； （2）根据题意补全图形，再根据旋转的性质以及等边对等角的性质求解即可； （3）分两种情况讨论：①当将直角三角板逆时针旋转时；②当将直角三角板顺时针旋转时，过点作，证明是线段的垂直平分线，进而得出是等腰直角三角形，得到，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，，， ， ， ，， ， ； （2）解：补全后的图形如图①所示． 由旋转的性质可知，． ． 在等腰三角形中，， ． （3）解：①当将直角三角板逆时针旋转时，如图②， 过点作，交的延长线于点． 由旋转的性质可知，， 是等腰三角形， 是的平分线， 垂直平分， ． 由（1）知， ． 是等腰直角三角形． ． ． 又， ， ． ． ， ， 即； ②当将直角三角板顺时针旋转时，如图③， 过点作，交的延长线于点． 同理可证，是线段的垂直平分线． ． 由（2）知， ． 是等腰直角三角形． ， ． 又， ， ． ， ． ， 即． 综上所述，． 36．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在正方形中，点在边上，且与关于所在的直线对称，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据翻折和旋转的性质即可解决问题． （2）连接，证明出和全等，将长转化为长，再利用勾股定理求出长即可解决问题． 【详解】（1）证明：与关于所在的直线对称， ． 由绕点按顺时针方向旋转得到， ， ． （2）解：连接， 与关于所在的直线对称， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， 即． 由绕点按顺时针方向旋转得到， ． 在和中， ， ， ． ，， ， ． 在中， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 37．（24-25九年级上·湖南衡阳·开学考试）课本再现： 如图1，四边形是菱形，，．    （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①求出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为，求的长． （备用结论：在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半） 【答案】（1） （2）①；② 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可； （2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可； ②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：（1）四边形是菱形，，． ，，，，， ， ； （2）①四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 由旋转可得：，， ， 如图2，过作于，    ， 当最小时，最小， 当时，最小， 此时， ， ， 点到距离的最小值为； ②四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， ， ，的面积为， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 38．（24-25九年级上·辽宁盘锦·开学考试）感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：将绕点逆时针旋转，如图②，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程：若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数是______． ②若，求线段的长是多少？ 【答案】探究：成立；应用：①；② 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质； 探究：只需要利用证明即可证明； 应用：①由等腰直角三角形的性质得到，再证明即可得到； ②先由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，，则，，则根据计算即可． 【详解】探究：成立，证明如下： 和都是等腰直角三角形， ，， 由旋转的性质可得， ， ； 应用：①和都是等腰直角三角形， ，， ， ，，， ， ； 故答案为：； ② ， ， ， ，， ，； ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$