专题2.7 将军饮马五大模型七类题型（模型梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题2.7 将军饮马五大模型七类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。 【方法原理】 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【基本模型】 【模型一：两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小； 图1 【模型二：两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）； 图2 【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。 图3 【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 图4 【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图5 【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图6 【题型目录】 【题型1】两定一动型.......................................................3; 【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型...................................4; 【题型3】一定两动（垂线段最短）型.........................................5； 【题型4】两定两动型.......................................................5; 【题型5】一定两动（等线段）转化型.........................................6; 【题型6】直通中考.........................................................7; 【题型7】拓展延伸.........................................................7; 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两定一动型； 【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合． （1）线段的长是 ； （2）若点是射线上一动点，则周长的最小值是 ． 【变式1】（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，．在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为 ． 【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型； 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在锐角中，，，的面积为5，P为内部一点，分别作点P关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为 ．    【变式1】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    【变式2】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（　　）    A． B． C． D． 【题型3】 一定两动型（垂线段最短）； 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A． B．3 C．4 D．5 【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式2】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【题型4】两定两动型； 【例4】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 【题型5】一定两动（等线段）转化型； 【例5】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，是等边三角形，．过点A作于点D，点P是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，则的最小值为 ． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为 ． 【变式2】（2024·安徽合肥·二模）如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（    ） A． B． C． D．2 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ． 【题型7】拓展延伸 【例1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 【例2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 将军饮马五大模型七类题型（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【理论依据】路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题。 【方法原理】 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 【基本模型】 【模型一：两定交点型】如图1，直线和的异侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小； 图1 【模型二：两定一动型】如图2，直线和的同侧两点A.B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小（同侧转化为异侧）； 图2 【模型三：一定两动型】如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。 图3 【模型四：两定两动型】如图4，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的 周长最小。 图4 【模型五：一定两动（垂线段最短）型】如图5，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图5 【模型六：一定两动，找（作）对称点转化型】如图6，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。 图6 【题型目录】 【题型1】两定一动型.......................................................3; 【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型...................................6; 【题型3】一定两动（垂线段最短）型.........................................9； 【题型4】两定两动型.......................................................12; 【题型5】一定两动（等线段）转化型.........................................14; 【题型6】直通中考.........................................................18; 【题型7】拓展延伸.........................................................21; 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两定一动型； 【例1】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合． （1）线段的长是 ； （2）若点是射线上一动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 8 24 【分析】本题主要考查了的折叠的性质、两点之间线段最短，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． （1）由折叠的性质可得，再由进行计算即可得到答案； （2）设与的交点为点，连接，由折叠的性质可得：，，，再根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，取最小值，最小值为，由此即可得到答案． 解：（1）由折叠的性质可得：， ， 故答案为：8； （2）如图，设与的交点为点，连接， 由折叠的性质可得：，，， 由（1）得：， 的周长， 要是的周长最小，只需最小， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，取最小值，最小值为， 的周长， 故答案为：24． 【变式1】（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查最短路径问题、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握利用轴对称性质求最短距离的方法是解答的关键．作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，此时的值最小，利用等边三角形的性质和三角形的内角和定理求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求得，进而求得即可求解． 解：作点E关于射线的对称点，过作于F，交射线于P，连接，如图，则， ∴，此时的值最小，则， ∵是等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在中，．在、上分别截取、，使．再分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点R，作射线，交于点D．已知，．若点M、N分别是线段和线段上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，等腰三角形的性质等知识，解题关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，然后根据，可得．作点关于的对称点交于点，连接，可得，进而可以解决问题． 解：如图，过点作于点，交于点， 由作图可知，平分， ， ， ， ． ， ， ， ． ，， 作点关于的对称点交于点，连接，当M与重合时，此时最小， ， ， 则的最小值为． 故答案为： 【题型2】一定两动（两点之间线段最短）型； 【例2】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在锐角中，，，的面积为5，P为内部一点，分别作点P关于，，的对称点，，，连接，，则的最小值为 ．    【答案】5 【分析】首先由的面积为5，，求出，然后由和对称构造正三角形，将转化成，将提取系数2，最终转化成垂线段最短． 解：设与交于点，则，连接、、、，作，垂足为，   ，的面积为5， ∴，即 ， 根据对称性得，，， ， 是正三角形， ， ， 故答案为：5． 【点拨】本题考查了轴对称、正三角形、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是将转化成，将提取系数2，最终转化成垂线段最短．形式上易与胡不归混淆． 【变式1】（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，已知，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度，的周长的最小值是 ．    【答案】 【分析】分别作出点关于，两条射线的对称点，连接两个对称点的线段与，的交点即为所确定的点；连接，，，由轴对称的性质得：，，，证得是等边三角形，即可得到结论． 解：①分别作点关于，的对称点，；连接，，分别交，于点、点，则此 时的周长最小． 连接，，， 由轴对称的性质得：， ，， ， ， 是等边三角形， ，，， ∴， 的周长， 故答案为：，． 【点拨】此题主要考查了轴对称最短路径问题，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 【变式2】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出α的度数． 解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，．    ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ，，， 同理，可得，，． ，， ． 又的周长为：， ， 是等边三角形， ， ． 故选：A． 【点拨】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 【题型3】 一定两动型（垂线段最短）； 【例3】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，是的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，角平分线定义，勾股定理，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H，根据角平分线定义以及对称可以得到，利用勾股定理求出的长，再利用三角形面积求出的长即可得到结果． 解：如图，作点Q关于的对称点，连接，，过点C作于点H， 是的角平分线，Q与关于对称， 点在上，， ，， ， 即， ， ， 的最小值为， 故选：A． 【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选B． 【变式2】（23-24八年级·江苏·假期作业）如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】9.6 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，线段垂直平分线的性质．连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小，再由，求出的长，即可． 解：如图，连接，， ∵，是的平分线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点B，P，Q三点共线时，取得最小值，最小值为的长，且当时，最小， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9.6 【题型4】两定两动型； 【例4】（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 解:由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式】（20-21八年级上·天津·期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小_______（度）． 【答案】50 【分析】本题主要考查最短路径问题、轴对称的性质，三角形外角的性质，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，可知此时最小，此时，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论． 解：作M关于的对称点，N关于的对称点，连接，交于点P，交于点Q，连接，，如图所示． 根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，, ∴， ∴， 故答案为：50． 【题型5】一定两动（等线段）转化型； 【例5】（23-24九年级下·广西南宁·开学考试）如图，是等边三角形，．过点A作于点D，点P是直线上一点，以为边，在的下方作等边，连接，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】连接，先证，则可得，由此可知Q点在过B点且与成角的直线上运动．根据垂线段最短可知，当时，最小，求出的值即可． 本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及垂线段最短．熟练掌握以上知识，找出Q点的运动轨迹是解题的关键． 解：连接， ∵和都是等边三角形， ，，， ， 即， ， ， ∵是等边三角形，， ，， ， ，， ， ∴Q点在过B点且与成角的直线上运动． 当时，最小， 此时， ∴的最小值为1． 故答案为：1． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，分别是上的动点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，过点作且使，连接，，证明，得进而可得，再由两点之间线段最短可得：，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为，利用勾股定理计算即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 解：过点作且使，连接，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可得： ，所以当点在上时，有最小值, 即有最小值为， ∵，， ∴中，， ∴最小值为：， 故答案为：． 【变式2】（2024·安徽合肥·二模）如图，和都是等腰三角形，且，，是的中点，若点在直线上运动，连接，则在点运动过程中，的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】设的中点为，连接，过点作于，证和全等得，因此当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得，故点与点重合时，为最小，最小值为的长，然后在中求出的长即可． 解：设的中点为，连接，过点作于，如下图所示： 和都是等腰三角形，且， ，，， ， 点是的中点，点是的中点，， ， 在和中， ， ， ， 当为最小时，为最小， 点为的中点，，点在直线上运动， 根据“垂线段最短”得：， 当点与点重合时，为最小，最小值为的长， 在中，，， ， 在中，，， ， 的最小值为， 即的最小值为 故选：D． 【点拨】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解垂线段最短是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线构造全等三角形和直角三角形． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型6】直通中考 【例1】（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可． 解：过点P作于点Q，过点C作于点H， 由题意知：平分， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法． 【例2】（2020·新疆·中考真题）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】12 【分析】过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，在中，，，当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长． 解：过点作射线，使，再过动点作，垂足为点，连接，如图所示： 在中，， ， ， 当，，在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长， 此时，， 是等边三角形， ， 在中， ，，， ， ， ， ， ， 的最小值为12， 故答案为：12． 【点拨】本题考查垂线段最短、等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造数学模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 【题型7】拓展延伸 【例1】（2024·辽宁葫芦岛·二模）在中，，，，点D，E在，边上，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查两点之间线段最短、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键． 如图作，使得．作交的延长线于．首先证明，可得，推出的最小值为的长． 解：如图作，使得．作交的延长线于． ， ， ，， ， ， ， 的最小值为的长， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ，， ∴， 在中，． 故答案为：． 【例2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，等腰中，，平分，点N为上一点，点M为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 ． 【答案】4 【分析】由等腰中，，可得，由平分，可得，如图，作，使，连接，则，证明，则，，，可知当三点共线时，最小，即，证明是等边三角形，则，进而可求． 解：∵等腰中，， ∴， ∵平分， ∴， 如图，作，使，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴当三点共线时，最小，即， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，角平分线，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$