特训05 第2章 特殊三角形 压轴题（七大题型，浙江精选）-2024-2025学年八年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（浙教版，浙江专用）

特训05 第2章 特殊三角形 压轴题（七大题型，浙江精选） 目录： 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 题型2：等腰三角形与直角三角形中30°角的性质、垂直平分线的判定与性质等结合 题型3：等腰三角形与勾股定理综合 题型4：情景探究题 题型5：最值问题 题型6：动态问题 题型7：图表素材题 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 1．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 2．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 3．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 4．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，，分别表示，的对边，记的面积为，分别以为边向形外作等边三角形和等边三角形．记等边三角形的面积为，等边三角形的面积为． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，以为边向上作等边三角形（点C在内），连接． ①判断和的关系，并说明理由； ②若是等腰三角形，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 题型2：等腰三角形与直角三角形中30°角的性质、垂直平分线的判定与性质等结合 6．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 7．（23-24八年级上·浙江台州·期末）在中，，，是斜边的中点． (1)如图1，连接，求证：为等边三角形； (2)如图2，为边上的一动点，连接，以为边向左侧作等边三角形，连接.随着点位置的变化，的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作于点，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 8．（22-23八年级上·浙江温州·期中）在等边中，点D和点E分别在边、上，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点D和点A重合时，求的大小； (2)如图2，点D是边AB的中点． ①求证：； ②如图3，连接当最小时，直接写出的值． 题型3：等腰三角形与勾股定理综合 9．（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 10．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知是边长为的等边三角形，是三条角平分线的交点，点在上，点在上，满足，连接．    (1)猜想：如图1，若，则的周长等于_______； (2)探究：对于第（1）问，细心的小明发现去掉“若”这一条件，其他条件不变，仍可以求出的周长，他的解题思路如下： 如图2，在上取一点，使得，连接，易证，再证明，从而有，所以，最终解决问题．请根据上述解题思路，写出证明过程； (3)拓展：如图3，若，作交于点，若，． ①求证：； ②求的长度． 11．（23-24八年级上·浙江·期末）【综合与实践】 问题情景： 在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠得，使点的对应点落在线段上．各学习小组先解决老师提出的问题，然后又提出了新的数学问题，请你解决这些问题． 问题解决： （1）老师提出问题：如图1，若，求的值． 深入探究： （2）如图2，勤学小组提出问题：若是边上的中线，求的值． 拓展探究： （3）如图3，奋进小组提出问题：将直角三角形纸片换成等边三角形纸片，即在等边中，若是边上的中线，求的值． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三角形． (1)如图1，在仁智三角形中，，为该三角形的仁智线，，，则的度数为______． (2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连接．当时，求证：是的仁智线． (3)如图3，中，，．若是仁智三角形，且为仁智线，请同学们把图形补充完整，并求的面积． 13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图，在四边形中，，垂足为，若，，，则的长为 ． 他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为，垂足为，那么在四边形中有四个直角三角形，利用勾股定理可得，，”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来与之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢． (1)请你直接写出的长． (2)如图，分别在的边和边上向外作等腰和等腰，连接． 若，，连接，交于点，当时，求的长； 如图，若，，，当时，求的面积． 题型4：情景探究题 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）【思维启迪】 （1）如图1，点P是线段，的中点，则与的数量关系为_______，位置关系为________； 【思维探索】 （2）如图2，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； ★小明思考良久后，根据这一条件，给出了如图4的辅助线：延长到T，使得，连接，，请你根据小明给出的辅助线，继续猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请求出的长． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）问题背景：如图1，以为斜边的和位于直线的异侧，，连接．    探究思路：如图2，延长至，使得，连接，得到，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． 任务1：请你根据探究思路，写出完整的推理过程： 问题解决： 任务2：若点，点在斜边的同侧，如图3所示，连接，直接写出线段的长为 ； 拓展探究： 任务3：将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 题型5：最值问题 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，，在直线上有一点D，连结，以A为直角顶点向右侧作等腰直角，连结. (1)如图1，点D在线段上时，求证：． (2)如图2，点D在线段延长线上，当平分时，求的长． (3)如图3，点D在线段延长线上，与相交于点F，且，在直线上有一点G，求的最小值. 题型6：动态问题 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，E在边上运动（不与点A重合），，将沿折叠至，分别与，交于G，H两点． (1)求证：； (2)如图1，若，求的周长； (3)如图2，设与交于点M，在整个运动过程中，记与的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y． 题型7：图表素材题 18．（23-24八年级上·浙江温州·期中）根据以下小组搭建方案，探究完成任务． 探究天幕的搭建方案 素材 天幕搭建场景，其横截面示意图如图所示，它是一个轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆所在直线．可伸缩支撑杆也垂直于地面，记幕布与所成的夹角为，风绳与所成的夹角为．已知．    探究过程 组别 第一小组 第二小组 工具 皮尺 测角仪、皮尺 示意图       设计方案 点B在上时，测量的长． 测量的长，，的度数． (1)第一小组测得，求的长． (2)第二小组测得． ①当，时，求的长． ②雨天“调整”天幕，若缩短，则需向右平移的距离为 m． 19．（23-24八年级上·浙江温州·期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 特训05 第2章 特殊三角形 压轴题（七大题型，浙江精选） 目录： 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 题型2：等腰三角形与直角三角形中30°角的性质、垂直平分线的判定与性质等结合 题型3：等腰三角形与勾股定理综合 题型4：情景探究题 题型5：最值问题 题型6：动态问题 题型7：图表素材题 题型1：等腰三角形与全等三角形综合 1．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【解析】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）在等腰中，，点D是上一动点，点E在的延长线上，且，平分交于点F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，在上取点M，使，连接．求证：； (3)如图3，当，时，取的中点G，连结，若，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，得，即可得出结论； （2）证，得，，再证为等边三角形，即可得出结论； （3）延长、交于，证，得，再证，得，即可解决问题． 【解析】（1）证明：平分， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ； （2）证明：如图2， 由（1）可知，， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ； （3）解：如图3，延长、交于， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 3．（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）某学习小组遇到了如下的数学题目： “在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并说明理由．”学习小组进行了如下探究： (1)特殊情况，探索结论： 当点为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”“”或“”）； (2)特例启发，解答题目： 当点不是边的中点时，如图，可过点作，交于点，构造等边三角形和全等三角形，通过转化思想解决问题．请你判断与的大小关系，并完成解答过程； (3)总结方法，解决新题： 在等边中，点在直线上，点在直线上，且，若的边长为，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定； （1）根据等边三角形的性质可得，，进而得出，即可得出，进而等量代换即可得证； （2）过点 作 交于点 ，证明 是等边三角形，则，进而证明，根据得出则，即可证明，得出，等量代换，即可得证； （3）分为两种情况，当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， 证明，得出，进而根据即可求解；当在的延长线上时，过点作交的延长线于点，同理可得结论． 【解析】（1）解：∵在等边中，为的中点， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ （2）证明 过点 作 交于点 等边 ， ， 是等边三角形 又 ， ， ， 在 和 中                                                    ， ， ， （3）解：分为两种情况： ①当在的延长线上时，过点作，交的延长线于点， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴ ∴，，则为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴; ②如图，当在的延长线上时，过点作交的延长线于点 同理可得 ∴ 综上，或 4．（23-24八年级上·浙江湖州·期中）【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图①，是的中线，若，，求的取值范围． 【探究方法】小强所在的小组通过探究发现，延长至点使，连接．可以证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围． 方法小结：从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”． （1）请你利用上面解答问题的思路方法，求出求的取值范围的过程． 【问题解决】 （2）如图②，是的中线，是的中线，且，下列四个选项中： A．；B．；C．；D．． 直接写出所有正确选项的序号是 ． 【问题拓展】 （3）如图③，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，求证：． 【答案】（1），见解析；（2）A、B、C；（3）见解析 【分析】（1）如图①中，延长至点，使，证明，得，再利用三角形的三边关系，可得结论； （2）如图2中，延长至，使，证明，即可判断； （3）如图3中，延长到，使得，连接，证明，推出，可得结论． 【解析】（1）解：如图①中，延长至点，使． 在和中，， ， ， ， ， ， ； （2）答案为：A、B、C； 解：如图②中，延长至，使， 由，故A正确 由（1）得，， ， ，， 点为的中点， ， ， ， ， ， 又， ， ，，故B、C正确． ，故D错误． （3）证明：如图（3）中，延长到，使得，连接． 同法可证， ，， ， ， 与互补， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ，即． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形三边关系，解题的关键是学会倍长中线，构造三角形全等． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知在中，，，分别表示，的对边，记的面积为，分别以为边向形外作等边三角形和等边三角形．记等边三角形的面积为，等边三角形的面积为． (1)如图1，若，，求的值； (2)如图2，以为边向上作等边三角形（点C在内），连接． ①判断和的关系，并说明理由； ②若是等腰三角形，试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)6 (2)①；②或 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识： （1）过点D作于点P，过点E作于点Q，得，再结合三角形面积公式求解即可； （2）①证明得，由得,再证明可得；②分或两种情况求解即可 【解析】（1）解：如图，过点D作于点P，过点E作于点Q， ∵均为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∵，， ∴，， ∴（负值均舍去）， ∴； （2）解：①∵是等边三角形，是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 而 ∴ ∴； ②若是等边三角形，则有或两种情况： 当时， ， ∴ ∴ ∴即 当时， 由①知， ∴ ∴， 又是等边三角形， ∴ 如图，作 ∴ 由勾股定理得， ∴ 解得，， 又 ∴， ∴ ∴即 所以，则有或． 题型2：等腰三角形与直角三角形中30°角的性质、垂直平分线的判定与性质等结合 6．（22-23八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，D为的中点，P为线段上一动点，E为延长线上一点，且．    (1)连接，求证：； (2)求证：； (3)求证：是正三角形； (4)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据等量代换可得，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （3）根据垂直定义可得，从而可得，，然后根据三角形的外角性质可得，从而利用平角定义可得，最后根据等边三角形的判定即可解答； （4）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得，再利用三角形的外角性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，从而利用证明，进而可得四边形的面积的面积，再根据已知可得，从而可得的面积的面积四边形的面积，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，从而利用三角形的面积公式求出的面积，即可解答． 【解析】（1）证明：如图：   ，为的中点， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：， ， ， ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是正三角形； （4）解：过点作，交的延长线于点，   ， ， 是的一个外角， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， 四边形的面积的面积， ， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 在中，，， ， 的面积， 四边形的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 7．（23-24八年级上·浙江台州·期末）在中，，，是斜边的中点． (1)如图1，连接，求证：为等边三角形； (2)如图2，为边上的一动点，连接，以为边向左侧作等边三角形，连接.随着点位置的变化，的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作于点，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)的度数不变， (3)，理由见解析 【分析】（1）由，，可得出，，根据直角三角形斜边上的中线定理可得出，即可得出为等边三角形； （2）连接，根据可得出，再结合即可得出，根据全等三角形的性质即可得出，即的度数不变； （3）过点P作交于点O，易证是等腰三角形，即可证明，推出，由，， 得到，即，进而推出，根据为等边三角形，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵在中，，， ∴，． ∵点D是中点， ∴， ， ∴为等边三角形； （2）解：的度数不变， 如图，连接， ∵，，是斜边的中点， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴． 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 即的度数不变，； （3）解：，理由如下： 如图，过点P作交于点O， 则， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， 为等边三角形， ，即． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的特征．解题的关键是熟练掌握相关知识，解答的关键是作出辅助线构造全等三角形． 8．（22-23八年级上·浙江温州·期中）在等边中，点D和点E分别在边、上，以为边向右作等边，连接． (1)如图1，当点D和点A重合时，求的大小； (2)如图2，点D是边AB的中点． ①求证：； ②如图3，连接当最小时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)①见解析；②． 【分析】（1）证明，可得； （2）①连接，取的中点T，连接，．证明，可得结论； ②连接，过A、D分别作，其垂足分别为I、H，由（2）可知，点F在的垂直平分线上，当时，的值最小，此时，证明，推出，可得结论． 【解析】（1）∵，都是等边三角形， ∴， 即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：如图2中，连接，取的中点T，连接，． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵是等边三角形， ∴同（1）可证，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②解：如图3中，连接，过A、D分别作，，其垂足分别为I、H 由①可知，， ∴是的垂直平分线， ∴当时，的值最小， ∵点D是边AB的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵中，D为中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，线段的垂直平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型3：等腰三角形与勾股定理综合 9．（22-23八年级上·浙江·阶段练习）如图1，在等边中，线段为边上的高线．动点在线段（点与点重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连结． (1)判断与是否相等，请说明理由； (2)如图2，若两点在直线上且满足，试求的长． (3)在第（2）小题的条件下，当点在线段的延长线（或反向延长线）上时，判断的长是否为定值，若是，请画出图形并求出的长；若不是，请简单说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)的长是定值，为16，图见解析，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理的应用等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）证，即可得出结论； （2）过点C作于点，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理求出，即可求解； （3）当点D在线段的延长线（或反向延长线）上时，同（1）得，由全等三角形的性质得，再由等腰三角形的性质和勾股定理得，即可求解． 【解析】（1）解：，理由如下： 和都是等边三角形． ， ，即， ， ， （2）解：如图2，过点作于点， ， 是等边三角形，是高线， ， ∵， ∴对应边上的高相等， ， ， ， ； （3）解：的长为定值16，理由如下： 当点在线段的延长线上时，如图3所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等， ， ， ， ，即的长是定值； 当点在线段的反向延长线上时，如图4所示： 同（1）得：， 对应边上的高线对应相等． ． ， ，即的长是定值； 综上所述，的长是定值16． 10．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知是边长为的等边三角形，是三条角平分线的交点，点在上，点在上，满足，连接．    (1)猜想：如图1，若，则的周长等于_______； (2)探究：对于第（1）问，细心的小明发现去掉“若”这一条件，其他条件不变，仍可以求出的周长，他的解题思路如下： 如图2，在上取一点，使得，连接，易证，再证明，从而有，所以，最终解决问题．请根据上述解题思路，写出证明过程； (3)拓展：如图3，若，作交于点，若，． ①求证：； ②求的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①见解析；② 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对直角边等于斜边一半，熟练掌握知识点是解题的关键，（1）根据等边三角形的性质先证，得到，从而得到是等边三角形，结合角平分线得到，结合平行线得到也是等边三角形即可得到答案； （2）根据题目思路求证即可得到答案； （3）①在上取一点，使得，连接，同（2）先证，再证，结合垂直等到直角三角形，结合直角三角形两锐角互余即可得到答案；②本题考查三角形全等的判定与性质，，勾股定理，先根据三角形全等的性质及勾股定理求出，再根据与的面积关系列式求解即可得到答案． 【解析】（1）解：∵是边长为的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是三条角平分线的交点， ∴， ∴， 在与中， ∵， ， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵是三条角平分线的交点， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：在上取一点，使得，连接， ∵是三条角平分线的交点， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴； ②解：作， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24八年级上·浙江·期末）【综合与实践】 问题情景： 在数学活动课上，老师展示一张直角三角形纸片，如图1，在中，，，，点，分别在，上，将沿折叠得，使点的对应点落在线段上．各学习小组先解决老师提出的问题，然后又提出了新的数学问题，请你解决这些问题． 问题解决： （1）老师提出问题：如图1，若，求的值． 深入探究： （2）如图2，勤学小组提出问题：若是边上的中线，求的值． 拓展探究： （3）如图3，奋进小组提出问题：将直角三角形纸片换成等边三角形纸片，即在等边中，若是边上的中线，求的值． 【答案】（1）；（2）2；（3） 【分析】（1）由折叠的性质可得，，，，在中，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，由勾股定理可解得；再在中易得，设，易知，求解即可得的值，即可求得的值； （2）由折叠的性质可得，，，，结合是边上的中线，易得，在中，由勾股定理可解得的长度，进而可得的值，设，则，在中，由勾股定理可得，代入数值可解得，进而可得，即可求得的值； （3）首先根据等边三角形的性质可得，，由折叠的性质可得，，，，设，结合是边上的中线，易得，，，在中，由勾股定理解得，进而可得；再证明为等腰三角形，可得，进而可得，即可求得的值． 【解析】解：（1）根据题意可知，，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵， ∴在中，，即， ∴由勾股定理可得，即 解得， ∴在中，，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）根据题意可知，，，， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， 设，则， 在中，可有，即 解得， ∴， ∴； （3）∵为等边三角形， ∴，， 由折叠的性质可得，，，， 设， ∵是边上的中线， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键． 12．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的仁智线，这个三角形叫做仁智三角形． (1)如图1，在仁智三角形中，，为该三角形的仁智线，，，则的度数为______． (2)如图2，为等腰直角三角形，，F是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角三角形（点A，F，E按顺时针排列），，交于点D，连接．当时，求证：是的仁智线． (3)如图3，中，，．若是仁智三角形，且为仁智线，请同学们把图形补充完整，并求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)满条件的的面积为64或． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解； （2）证明，结合定义可得结论； （3）如图3中，过点作于点．有两种情形：当时，或当时，，是仁智三角形． 【解析】（1）解：∵是仁智三角形，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2中， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，   ∴是等腰三角形， ∵是直角三角形， ∴是仁智三角形； ∴是的仁智线； （3）解：如图3中，过点作于点． 有两种情形：当时，是仁智三角形． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，是仁智三角形． 设，， ∴，，即， 解得：， ． 综上所述，满条件的的面积为64或． 【点睛】本题考查了仁智三角形的定义，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 13．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图，在四边形中，，垂足为，若，，，则的长为 ． 他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为，垂足为，那么在四边形中有四个直角三角形，利用勾股定理可得，，”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来与之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢． (1)请你直接写出的长． (2)如图，分别在的边和边上向外作等腰和等腰，连接． 若，，连接，交于点，当时，求的长； 如图，若，，，当时，求的面积． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（）由与垂直，得到四个直角三角形，利用勾股定理可得，代入已知即可求解； （）根据可证明，得，进而得到，即可求出的长； 连接交于点，延长，作的延长线于点，同可证，则，，求出的长，即可求出的面积； 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积，掌握等腰直角三角形性质和勾股定理是解题的关键． 【解析】（1）解：∵四边形中，，垂足为， ∴，，，都为直角三角形， ∵，，， 根据勾股定理得： ，， ， ， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴， 由（）可得： ， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 连接交于点，延长，作的延长线于点，如图， 同可证，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型4：情景探究题 14．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）【思维启迪】 （1）如图1，点P是线段，的中点，则与的数量关系为_______，位置关系为________； 【思维探索】 （2）如图2，在中，，点D为内一点，连接，，延长到点E，使，连接，若，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； ★小明思考良久后，根据这一条件，给出了如图4的辅助线：延长到T，使得，连接，，请你根据小明给出的辅助线，继续猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，点D为中点，点E在线段上（点E不与点B，点D重合），连接，过点A作，连接，若，，请求出的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；★根据小明给出的辅助线，，，之间的数量关系：，理由见解析；（3）． 【分析】（1）根据题意利用证，得，，即可得出； （2）过点D作，使，连接、，证，得，，再证，进而证，然后由勾股定理即可得出结论； ★延长到T，使得，连接，，同法可证，，再证，进而由勾股定理得，然后证，即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，延长交于点J，证，得，，再证，得，，然后证是等腰直角三角形，得，即可得出结论． 【解析】解：（1）∵点P是线段、的中点， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：，； （2），，之间的数量关系：，理由如下： 如图2，过点作，并使，连接、， 则， 在和中，， ∴， ∴，， ∴点A、C、F三点共线， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ★根据小明给出的辅助线，，，之间的数量关系：，理由如下： 如图4，延长到T，使得，连接，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （3）如图3，延长到T，使得，连接，延长交于点J， ∵点D为中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）问题背景：如图1，以为斜边的和位于直线的异侧，，连接．    探究思路：如图2，延长至，使得，连接，得到，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出． 任务1：请你根据探究思路，写出完整的推理过程： 问题解决： 任务2：若点，点在斜边的同侧，如图3所示，连接，直接写出线段的长为 ； 拓展探究： 任务3：将沿翻折得到，如图4所示，试探究：之间的数量关系，并说明理由． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：，见解析 【分析】任务1：延长至，使得，连接，利用三角形内角和定理及邻补角证明，证明得到，，推出为等腰直角三角形，由此即可得证； 任务2：作交于，证明得到，，从而得到为等腰直角三角形，，结合勾股定理进行计算即可； 任务3：延长至，使得，连接，同（1）可证得，得到为等腰直角三角形，则，由折叠的性质可得：，作等腰直角，连接，则，，证明得到，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理即可得到答案． 【解析】解：任务1：延长至，使得，连接，   ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，即， 为等腰直角三角形， ， ； 任务2：如图，作交于，   ， 则， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， 为等腰直角三角形，， ， ， 故答案为：； 任务3：， 理由如下： 延长至，使得，连接，   ， 同（1）可证得：， ，， ， ，即， 为等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可得：， 作等腰直角，连接，则，， ，即， 在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造全等三角形是解此题的关键． 题型5：最值问题 16．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）在中，，，，在直线上有一点D，连结，以A为直角顶点向右侧作等腰直角，连结. (1)如图1，点D在线段上时，求证：． (2)如图2，点D在线段延长线上，当平分时，求的长． (3)如图3，点D在线段延长线上，与相交于点F，且，在直线上有一点G，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证，再根据证明； （2）根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，同（1）可证，推出，进而可证，根据等角对等边可得； （3）关于直线作F对称点，连结，即为最小值．作，易得，，由勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵，是中的直角， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 同（1）可证， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：关于直线作F对称点，由轴对称的性质可得， ， 当A，G，三点共线时，等号成立，即为最小值． 作，如下图所示： 是等腰直角三角形，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值是5． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形外角的性质等，第一二问的关键是找出全等三角形，第三问的关键是找出取最小值时点G的位置． 题型6：动态问题 17．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，E在边上运动（不与点A重合），，将沿折叠至，分别与，交于G，H两点． (1)求证：； (2)如图1，若，求的周长； (3)如图2，设与交于点M，在整个运动过程中，记与的周长之和为y，则y的值是否变化，若变化求出范围；若不变，求出y． 【答案】(1)见解析 (2)或. (3)y的值是变化的，变化范围为 【分析】（1）由折叠的性质与垂直的定义，平角的定义即可得出结论； （2）根据勾股定理与直角三角形的性质，求得，，在上截取，连接，过点N作于P，证明，得，再，设，由，，然后在中，由勾股定理，求得x值，由或，代入即可求的值，即可由的周长求解． （3）作的平分线交于N，证明，得，，，再证明，得，，证明，得，从而求得，所以y随着的增大而减小，最后根据，即可求解． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵将沿DE折叠至， ∴， ∵， ∴， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在上截取，连接，过点N作于P，如图1， ∵将沿DE折叠至， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 设，由，， 在中，由勾股定理，得 解得：， ∴， ∴， ∴当时， 的周长． 当时， 的周长． 综上，的周长为或. （3）解：作的平分线交于N，如图2， ∵平分 ∴， 由（1）知：， ∴ ∵，， ∴，， ∴ ∴，，， ∵将沿DE折叠至， ∴，，， ∵ ∴ 在与中， ∴ ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴ ∴， ， ∵，， ∴ ∴y随着的增大而减小， ∵E在AC边上运动（不与点A重合），， ∴点M在线段上， ∴，即， 此时， 当时，此时DM最小， ∵， ∴ ∴ ∴由勾股定理，得， ∴ 此时y取得最大值为，即， ∴． 故y的值是变化的，变化范围为． 【点睛】本题考查折叠的性质，三解形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短．熟练掌握全等的判定与性质是解题的关键． 题型7：图表素材题 18．（23-24八年级上·浙江温州·期中）根据以下小组搭建方案，探究完成任务． 探究天幕的搭建方案 素材 天幕搭建场景，其横截面示意图如图所示，它是一个轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支撑杆所在直线．可伸缩支撑杆也垂直于地面，记幕布与所成的夹角为，风绳与所成的夹角为．已知．    探究过程 组别 第一小组 第二小组 工具 皮尺 测角仪、皮尺 示意图       设计方案 点B在上时，测量的长． 测量的长，，的度数． (1)第一小组测得，求的长． (2)第二小组测得． ①当，时，求的长． ②雨天“调整”天幕，若缩短，则需向右平移的距离为 m． 【答案】(1)6.4m (2)①m；② 【分析】（1）勾股定理求出的长，对称性，求出的长即可； （2）①过点作，根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，求出的长，进而得到的长，对称性，求出的长即可； ②设点下降后的位置为点，过作，求出的长，用的长减去的长即可得出结果． 【解析】（1）解：∵点B在上，， ∴， ∵， ∴， ∵为对称轴所在直线， ∴； （2）①∵，，， ∴， 过点作，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直于地面， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设点下降后的位置为点，过作，    则：，， ∵， ∴， ∴需向右平移的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质．解题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 19．（23-24八年级上·浙江温州·期中） 项目背景 我校八年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，结合本阶段学习内容知识点，他们对“勾股树”产生了浓厚的兴趣． 素材一 毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”．是由毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的一个可以无限重复的树形图形，因为重复数次后的形状好似一棵树，被称为毕达哥拉斯树． 素材二 经过小组讨论，制定了如下规则：1．画出不同类型三角形形成的树形图； 2．所画的基础三角形周长为，其中一条边长固定为，根据规则，三位同学分别画出了不同类型的树形图并进行探究． 素材三    解决问题 任务一 小明画出了锐角，，，则______． 任务二 小金画出了直角，，，计算的值，并写出过程． 任务三 小山画出了钝角，，，则______． 项目总结 综合以上三位同学的图形以及计算结果，小组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由______三角形形成的总面积最大．（填锐角、直角或钝角）．这个猜想，聪明的同学你会证明吗． 【答案】任务一：；任务二：，过程见解析；任务三：；项目总结：钝角，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键．任务一：先求出，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务二：先利用勾股定理求出的长，再利用正方形的面积公式求解即可得；任务三：过点作，交延长线于点，设，则，，，，在中，利用勾股定理可得的值，再利用正方形的面积公式求解即可得；项目总结：分别求出三个任务中的的值，由此即可得． 【解析】解：任务一：由题意可知，，， ，， ， 故答案为：． 任务二：由题意可知，①， ，， ，即， ②， 联立①②得：， 则． 任务三：如图，过点作，交延长线于点， 则， 设，则， ，， ， 在中，，即， 解得， ， 则， 故答案为：． 项目总结：组成员大胆猜想结论：周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大．证明如下： 在任务一中，， 在任务二中，， 在任务三中，， ， ∴周长一定的情况下，由钝角三角形形成的总面积最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$