精品解析：安徽省宣城市第六中学2024-2025学年九年级上学期开学数学试题

宣城六中2024-2025学年第一学期第一次限时练习 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 计算（ ） A. B. C. 9 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， 故选：D． 2. 方程的解是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：方程分解因式得：， ， 故选：C 3. 正八边形的每个内角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，掌握多边形内角和公式：是解题的关键．根据多边形的内角和公式：求出八边形的内角和，除以8即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 4. 某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、频数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．他想判断自己是否一定能获奖，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可． 【详解】解：由于总共有45个人，则第23名的成绩是中位数，且只有22人获奖， 所以他判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的中位数． 故选：C 5. 最接近整数（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．估算无理数的大小即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 最接近整数是10， 故选：A 6. 下列关于的一元二次方程一定有实数根的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键．先求出的值，再比较出其与0的大小即可求解． 【详解】解：A、当时，原方程为，有实数根，但其不是一元二次方程，不符合题意； B、，没有实数根，不符合题意； C、，可能小于等于0，不一定有实数根，不符合题意； D、，有两个相等的实数根，符合题意． 故选：D 7. 直角三角形的两条直角边长分别为6和8，用两个全等的这种直角三角形拼成一个平行四边形，其中最长的对角线是（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出图形，再结合勾股定理与矩形的性质进一步求解即可． 【详解】解：如图，拼成的平行四边形如下： 此时对角线长； 如图，拼成的平行四边形如下：，， ∴， 过作于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， 如图，拼成的平行四边形如下：，， ∴， 过作于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴对角线最长为， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，平行四边形的性质，化为最简二次根式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 8. 2024年第一季度中，一件商品连续降价，且每次降低的百分数相同，设为．其中，3月份的售价是1月份的，则（ ） A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 等于 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的实际应用——百分率问题，正确理解题意，掌握百分率问题的公式，其中a表示前量，b表示后量，增长率是加号，降价百分率是减号． 设这个百分数是x，根据某商品的价格经过两次降价后，3月份的售价是1月份的，可列方程求解． 【详解】解：设每次降价的百分率为x，原件为a元，由题意得 ， 解得（不合题意，舍去）， ∵， ∴， 故选：B． 9. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理．平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【详解】解：．，，无法判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； ．，，无法判定四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； ．，，故该选项不符合题意； ．如下图：∵，∴，∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，故该选项符合题意． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别是轴、轴的正半轴上的动点，，点是的中点，点的坐标为，则的最小值是（） A. B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质，勾股定理，三角形三边关系及坐标与图形性质，熟练掌握直角三角形斜边中线性质是解题的关键．连接，在中，点是的中点，可得，从而得出，所以当三点共线时，的值最小，且的最小值，再求解即可． 【详解】解：如图，连接， 中，点是的中点， ， 当三点共线时，的值最小，且的最小值， ， ， 的最小值为5， 故选：B 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若代数式无意义，则取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了分式无意义以及二次根式无意义的条件，根据分式无意义以及二次根式无意义可得出，解一元一次不等式可得出答案． 【详解】解：根据分式无意义以及二次根式无意义可得出：， 解得：， 故答案为：． 12. 一元二次方程的两根为，，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先将方程化为一般式，再根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：一元二次方程化为一般式为， 根据题意得，， 所以． 故答案为5 13. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的面积等于________． 【答案】5 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质与三角形的面积，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由直角三角形性质可得，再根据平行四边形的性质得出，，再求面积即可． 【详解】解：如图，过点D作， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：5 14. 如图，在四边形中，，，，，点、分别是、上任意一点． （1）对角线________． （2）的周长最小值等于________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）如图，过作于，而，可得，求解，，再进一步利用勾股定理计算即可； （2）作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，可得，，，，可得；可得当共线时，最短，即的长，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图，过作于，而， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， （2）作关于的对称点，作关于的对称点，连接，， ∴，，，， ∴； ∴当共线时，最短，即的长， 此时是的中位线， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：， 【点睛】本题考查的是解直角三角形的相关计算，轴对称的性质，三角形的关系的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的运算，二次根式的混合运算，先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，计算零次幂，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： ． 16. 如图，设每个小正方形边长为个单位长度，点，点，点． （1）将向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度得到，、、的对应点分别是、、，画出，并写出点的坐标． （2）在线段上找一点，连接，使得的面积是面积的一半，只能用一把无刻度的直尺作出点，并写出点的坐标． 【答案】（1）作图见解析，； （2）作图见解析，． 【解析】 【分析】（）将、、向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度后，找到对应点、、，然后连接即可； （）通过网格找到中点，然后连接即可； 本题考查了作图——平移，平面直角坐标系中点坐标，三角形的中线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 如图，、、向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度后，找到对应点、、， ∴即为所求， ∴，即； 【小问2详解】 如图， 由网格可知：四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点，点， ∴，即． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. ；；；… （1）根据上面个等式存在的规律写出第个等式； （2）用含的代数式表示出第个等式，并证明． 【答案】（1）； （2），证明见解析． 【解析】 【分析】（）根据前个等式特点写出第个等式； （）根据第（）结论归纳出第个等式的规律； 此题考查了数字的变化规律，分式的运算，找出数字之间的运算规律，得出规律，利用规律，解决问题是解题的关键． 【小问1详解】 解：； ； ； ∴第个等式； 【小问2详解】 解：； ； ； ； 第个等式； 证明：左边 右边． 18. 比较代数式和的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是完全平方公式，根据题意两个式子做减法，然后利用完全平方公式变形，即可得出答案． 【详解】解： ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 【答案】平方海里 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．过点作于点，海里，根据锐角三角函数的概念求出的值，再求出的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：（海里）， , , 设海里， 中，， ， ， ， （海里）， 的面积（平方海里） 20. 如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米． （1）设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长． （2）求出的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． （1）根据题意，用含的代数式表示养鸡场的长即可； （2）根据矩形的面积长宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为180平方米，可得方程，解方程即可． 【小问1详解】 设与墙平行的一边长为米，养鸡场的长为（米）； 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得出： ， 解得：，， 墙长20米， ，即， ． 六、（本题满分12分） 21. 六中在八年级选出了个入团积极分子举行了一次团的知识竞赛，并将测试成绩分为以下、、、等4组（表示成绩，满分100分）：：，：，：，：．制成如下统计图表，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列各题： （1）求和． （2）本次测试成绩的中位数在________组． （3）小明说“这次测试成绩的众数肯定在或组”，小明的说法________（填“正确”或“不正确”）． （4）组6个学生成绩如下：61，61，64，65，65，68，求出这组成绩的方差． 【答案】（1）； （2） （3）不正确 （4） 【解析】 【分析】（1）通过圆心角占的分数得到A组占总体的份数，从而求出总人数，再结合条形统计图求出a； （2）中位数即排好序后最中间的数，偶数个数时取中间两个平均数，从而可得答案； （3）根据众数的含义作答即可； （4）先求解平均数，再利用方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：A组圆心角，占比为，又A组为6人， ∴， 则； 【小问2详解】 解：样本容量为40，则中位数应该是排序后第20和21个数据的平均数，A组6人，B组12人，C组12 人，因而第20和第21个数都在C组，所以中位数在C组． 【小问3详解】 解：∵众数是数据中出现次数最多的数据， ∴小明说“这次测试成绩的众数肯定在或组”是不对的， ∴小明的说法不正确； 【小问4详解】 解：平均数为， ∴方差为 ； 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图圆心角的应用、平均数，众数，方差的含义，掌握以上基础知识是解本题关键． 七、（本题满分12分） 22. 在平行四边形中，点、分别在边、上，点在边上，，，，，． （1）求证：四边形是正方形． （2）求的长． （3）为上一点，于点，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是菱形，由勾股定理逆定理得，可证四边形是正方形； （2）证明得，然后根据勾股定理求解即可； （3）作于点M，证明得，然后利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形． ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：作于点M， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用各知识点是解答本题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 已知两个一次函数和， （1）若两个一次函数的图像交点的坐标为，求的值． （2）直线经过的定点坐标是________． （3）当时，，求的取值范围．直接写出结果． （4）若两个一次函数的图像交点在第一象限内，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 （4）且 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点坐标，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，求得m的值，再将坐标代入，求得k的值； （2）在中，令，得，即可求解； （3）将代入得，，得直线过点，将代入得，，得，再通过数形结合即可求解； （4）联立方程组求解，再列出不等式组求解即可． 【小问1详解】 将代入得，，解得：， 将代入得，，解得：， 【小问2详解】 在中，令，得， 所以直线经过的定点坐标是， 故答案为：； 【小问3详解】 将代入得，， 所以直线过点， 将代入得，，得， 所以当时，，则的取值范围是且； 【小问4详解】 联立方程组得：， 解得：， 两个一次函数的图像交点在第一象限内， ， 解得：且， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宣城六中2024-2025学年第一学期第一次限时练习 九年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 计算（ ） A. B. C. 9 D. 3 2. 方程的解是（ ） A. ， B. C. D. 3. 正八边形的每个内角等于（ ） A. B. C. D. 4. 某次数学竞赛，45人进入复赛，其中前22名都能获奖，结果只有22人获奖．小明已经查出自己成绩，他想判断自己是否一定能获奖，只要知道45人复赛成绩的（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 最高分 5. 最接近整数（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 6. 下列关于的一元二次方程一定有实数根的是（） A. B. C. D. 7. 直角三角形两条直角边长分别为6和8，用两个全等的这种直角三角形拼成一个平行四边形，其中最长的对角线是（ ） A. 10 B. C. D. 8. 2024年第一季度中，一件商品连续降价，且每次降低的百分数相同，设为．其中，3月份的售价是1月份的，则（ ） A 等于 B. 大于 C. 小于 D. 等于 9. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在平面直角坐标系中，点、分别是轴、轴的正半轴上的动点，，点是的中点，点的坐标为，则的最小值是（） A. B. 5 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. 若代数式无意义，则的取值范围是________． 12. 一元二次方程的两根为，，则________． 13. 如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的面积等于________． 14. 如图，在四边形中，，，，，点、分别是、上任意一点． （1）对角线________． （2）的周长最小值等于________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 如图，设每个小正方形的边长为个单位长度，点，点，点． （1）将向左平移个单位长度、再向上平移个单位长度得到，、、的对应点分别是、、，画出，并写出点的坐标． （2）在线段上找一点，连接，使得的面积是面积的一半，只能用一把无刻度的直尺作出点，并写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. ；；；… （1）根据上面个等式存在的规律写出第个等式； （2）用含的代数式表示出第个等式，并证明． 18. 比较代数式和大小． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 20. 如图，一农场主准备用木栅栏建一个面积为180平方米的养鸡场，一边靠墙，其它部分用的是木栅栏，并且留有两道宽1米的门．其中，门用其它材料制作，木栅栏总长46米，墙长20米． （1）设养鸡场宽米，用含的代数式表示养鸡场的长． （2）求出的值． 六、（本题满分12分） 21. 六中在八年级选出了个入团积极分子举行了一次团的知识竞赛，并将测试成绩分为以下、、、等4组（表示成绩，满分100分）：：，：，：，：．制成如下统计图表，部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列各题： （1）求和． （2）本次测试成绩的中位数在________组． （3）小明说“这次测试成绩的众数肯定在或组”，小明的说法________（填“正确”或“不正确”）． （4）组6个学生成绩如下：61，61，64，65，65，68，求出这组成绩的方差． 七、（本题满分12分） 22. 平行四边形中，点、分别在边、上，点在边上，，，，，． （1）求证：四边形是正方形． （2）求的长． （3）为上一点，于点，，求面积． 八、（本题满分14分） 23. 已知两个一次函数和， （1）若两个一次函数的图像交点的坐标为，求的值． （2）直线经过的定点坐标是________． （3）当时，，求的取值范围．直接写出结果． （4）若两个一次函数的图像交点在第一象限内，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$