四川省合江县马街中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

高2022级高三上期第一学月学考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．函数的定义域为 A．， B． C．， D．， 2．已知集合，1，2，，集合，，则集合的子集个数为 A．7 B．8 C．16 D．32 3．设，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 A． B． C． D． 5．，都是复数，则下列命题中正确的是 A．若，则 B． C． D．，则 6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为 A．， B．， C．， D．， 7．2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年天）中任何一天年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为 A．21 B．22 C．23 D．24 8．函数在区间，上所有零点的和等于 A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，，，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若， D．的最小值为 10．已知函数，则下列说法正确的是 A．函数的最小正周期为 B．函数在区间上单调递减 C．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 D．若，则 11．关于函数，，下列说法正确的是 A．对任意的， B．对任意的， C．函数的最小值为 D．若存在使得不等式成立，则实数的最大值为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效． （2）本部分共8个小题，共92分． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知函数．求在处的切线方程 　　． 13．已知函数，且（a），则的值为 　　． 14．已知二次函数，且，若不等式恒成立，则的取值范围是　　． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数． （Ⅰ）求曲线的对称轴； （Ⅱ）已知，，求的值． 16．（15分） 设函数，其中． （Ⅰ）若，且对任意的，，都有，求实数的取值范围； （Ⅱ）若对任意的，，，都有，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知等差数列的前项和为，且，． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和； （Ⅲ）若，令，求数列的前项和． 18．（17分） 已知，，是自然对数的底数． （Ⅰ）当时，求函数的极值； （Ⅱ）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （Ⅲ）当时，若满足，求证：． 19．（17分） 已知正整数，集合，，，，，，，2，，．对于中的元素，，，，，，定义． 令． （Ⅰ）直接写出的两个元素及的元素个数； （Ⅱ）已知，，，，满足对任意，都有，求的最大值； （Ⅲ）证明：对任意，，，，总存在，使得． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2022级高三上期第一学月学考试 数学试题参考答案 一．单选题 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 二．多选题 9． 10． 11． 三．填空题 12． 13． 14．，， 四．解答题 15．解：（1） ， 令，，则，， 故函数的对称轴为，； （2）因为，， 所以，，即， 所以，则 ． 16．解：因为， 所以在区间，上单调减，在区间，上单调增， 且对任意的，都有， （1）若，则， 在区间，上单调递减，在区间，上单调递增． “对任意的，，都有”等价于“在区间，上，”． ①当，即时，， ，得，所以； ②当，即时，，恒成立，故． 综上所述，，实数的取值范围为区间，． （2）设函数在区间，上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，，，都有”等价于“”． ①当时，（4），， 由，得，因此； ②当时，（4），， 由，得，因此； ③当时，，， 由，得，因此； ④当时，，（4）， 由，得，因此． 综上所述，实数的取值范围为区间，． 17．解：（1）设等差数列的公差为，由，， 可得，解得，所以； （2）由（1）知，，，所以； （3）因为，，所以， ①，②， ①②得，所以． 18．解：（1）当时，，定义域为， 则，令，得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取到极小值0，无极大值； （2）方程，显然当时，方程不成立，则，， 若方程有两个不等实根，即与有2个交点，则， 当或时，，在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，严格增，时，当时，取得最小值，（1）， 作出函数的图象，如下图所示： 与有2个交点，则，即的取值范围为； （3）证明：，令，可得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意，则，， 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减，故只需证， 又，所以只需证， 即证，令， 即，， 由均值不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，所以函数在上严格增， 由，可得，即，所以， 又函数在上严格减，所以，即得证． 19．解：（1），1，1，0，0，，，0，0，1，1，， ， 中6个分量中恰有3个1，的元素个数为． （2）对于的非空子集，，，， 设，，，，，2，，，这里是的第个分量， 定义，2，，，规定，0，，， 设，，，，2，，，令，，，，，，， 我们先证明引理：，2，，，． 反证法：，2，，，，令， 设，，，，满足，其中，2，，， ，，2，，，且，， ，，这与矛盾，引理证毕， 回到原题，由引理，解得， ，1，1，0，0，，，0，0，1，1，，，1，0，0，1，，，0，1，1，0，，符合题意，综上，当时，的最大值为4． （3）证明：，，，共有个非空子集，记为，，2，，， 则在每分量得奇偶性下恰有2种不同的状态，由知， 由抽屉原理，存在两个不同的，，，的非空子集，， 设（D），，，， （E），，，，有与奇偶性相同，，2，，， 令，，由于，， 令，，，，则，，， 且都为偶数，，2，，，不妨设，，，， 则为偶数， 而为奇数，故，且为奇数， 故必存在一个，3，，，使得为奇数，又由于，1，，从而． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$