精品解析：重庆市第八中学校2024-2025学年上学期九年级开学考数学试题

重庆八中2024—2025学年上期初三年级入学考试 数 学 试 题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3． 作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成； 4． 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一 、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代 号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，解题的关键是掌握比较有理数大小的方法．根据有理数的大小比较选出最小的数． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 2. 甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：D． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再利用平角的定义即可求出的度数. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 故选：B 5. 若，与的面积比为，则与的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选A． 6. 下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（ ） A. 63 B. 64 C. 80 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现●个数的规律是解题的关键．依次求出每个图形中●的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第①个图形中●的个数为：； 第②个图形中●的个数为：； 第③个图形中●的个数为：； …， 所以第n个图形中●的个数为． 当时，（个）， 即第⑧个图形中●的个数为80个． 故选：C． 7. 估计的值在（ ） A. 4 到5之间 B. 5 到6之间 C. 6 到7之间 D. 7 到 8 之 间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算出和的范围，再相加即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即在7和8之间， 故选：D． 8. 如图，等腰直角三角形，， 将沿射线平移个单位，得到， 连接， 则的面积是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，勾股定理，掌握相关知识是解题关键． 作于点D，由勾股定理求得的长，由平移的性质可得的长，由面积法求出的长，进而可求出的面积． 【详解】解：如图，作于点D， ， 由题意得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 故选：A． 9. 如图，已知四边形为正方形，E 为对角线上一点，连接， 过 点E 作，交的延长线于点F，，， 则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，由正方形的性质得到，则由角平分线的性质得到，据此证明四边形是正方形，再利用勾股定理求出，则，可得，再证明，即可得到． 【详解】解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解． 【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确； 若，则，假设可以分解为一个整式的平方， 设， 则 , ，，，，, ， ，, 这与矛盾， ∴假设不成立， 故，则不可能分解为一个整式的平方， ∴②正确； 若，且，，，，均为正整数， 则有，，，，， 或，，，，， 或，，，，共三种情况，故③错误； 故选：C． 二 、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上． 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角，掌握知识点是解题的关键． 利用多边形的外角和定理，每个外角为，外角和为，即可求出多边形的边数． 【详解】解：每个内角为，则每个外角为， ∵多边形的外角和为， ∴多边形的边数为． 故答案为：8． 13. 反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可． 【详解】解：令点P的坐标为， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 14. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有_______个 ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出答案． 【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，得： ， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以袋中红球有4个． 故答案为∶4． 15. 某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，准确找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键； 根据每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，找出等量关系列出一元二次方程，解方程即可； 【详解】最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍， 最底层开了80盏灯，记作第一层为80盏．那么第二层开灯的数量就是第一层的盏．第三层开灯的数量盏． 三层停车库共开了380盏灯， 解得∶， （不符合题意，舍去）， 故答案为：． 16. 已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组有解且至多5个整数解，确定出a的取值，即可求解， 本题考查了，分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：分式方程得：， ∵分式方程有整数解， ∴或或或，且，即， 解得：或2或或3或4或或7， 不等式组整理得：，即， 由不等式组有解且至多5个整数解，得到，解得：， ∴则符合条件的所有整数a的为和，和为， 故答案为：． 17. 如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，延长，交于点，过 作于，根据平行可得，设，则，再证明，得到，然后在中根据勾股定理求出，可得到与是同一个点，最后在中根据勾股定理求即可． 【详解】延长，交于点，过 作于， ∵平行四边形中，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中， ∴， 解得或（舍去）， ∴，即与是同一个点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002_________“智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 _____________． 【答案】 ①. 不是 ②. 1480 【解析】 【分析】假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数），则由，再把1002分解因数得到或或或，解方程组看是否有正整数解即可判断1002是不是“智慧数”；求出，根据M为偶数，推出c为偶数且不为0，再讨论d的值，确定c的值，再根据是完全平方数确定b的值，最后确定a的值，则可求出M的值， 再根据“智慧数”的定义验证即可． 【详解】解：假设1002是“智慧数”，则可设（m、n都是正整数）， ∴， ∵， ∴或或或， 解得（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）， 综上所述，不存在正整数m、n使得， ∴1002不是“智慧数”； ∵， ∴ ， ∵M为偶数， ∴d为偶数， ∴c为偶数且不为0， 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴当时，是平方数， ∴， ∴此时M表示的数为1480， ∵， ∴此时M是“智慧数”，符合题意； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴此时没有满足条件的b； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴此时没有满足条件的b； 当时，，则， ∵是完全平方数，且， ∴当时，是平方数， ∴， ∴此时M表示的数为3226； ∵， ∴当时，则或， 解得或， ∴不存在正整数s、t使得成立， ∴3226不是“智慧数”； 综上所述，M的值为1480， 故答案为：1480． 【点睛】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键在于理解“智慧数”的定义． 三 、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题 必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方差及单项式乘以多项式运算法则先分别求解，再根据整式加减运算法则计算即可得到答案； （2）根据分式的运算法则化简即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查整式的混合运算及分式的化简，熟练掌握整式与分式的混合运算法则是解决问题的关键． 20. 学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点C 作交延长线于点M， 过点C 作交于 点N（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形中，°，平分， 求证： 证明：∵平分，且， ∴ ① 且 ∵在四边形中，∴ 又∵ ∴ ② ∴（ ③ ） ∴ 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角 ④ 【答案】（1）见解析 （2）；；；所对的四边形的两条边相等 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂线的尺规作图，四边形内角和定理： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）先由角平分线的性质得到，再证明，进而证明，则可得到，据此可得若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵平分，且， ∴ 且 ∵在四边形中，， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴； ∴对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角所对的四边形的两条边相等， 故答案为：；；；所对的四边形的两条边相等． 21. 北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82； 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75； 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 77 a 80.5 九年级 77 89 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？ 【答案】（1）88，77.5，25 （2）答案不唯一，比如：八年级更高．理由见解答过程 （3）估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有320人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数，众数的定义及根据C等级包含的数据有5个，且共20个数据，计算即可； （2）可从平均数、中位数、众数等角度分析求解； （3）用样本估计总体解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级被抽取的学生测试得分中88出现的次数最多， ， 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的数据有5个， 九年级被抽取的学生测试得分中C等级的百分比为：， ， 九年级被抽取的学生测试得分中A等级的人数：（人）， C等级的人数：（人） D等级的人数：（人） E等级的人数：（人） B等级的人数：（人） 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75； 九年级抽取的学生测试成绩的中位数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级学生对事件关注与了解程度更高．理由如下： 八年级测试得分的中位数分大于九年级测试得分的中位数分； 【小问3详解】 解：（人）， 答：两个年级测试得分在C组的人数一共有320人． 22. 近日，无人驾驶网约车“萝卜快跑”已获准在重庆进行服务测试．为了推进项目进行，现需在某站点引入甲、乙两种无人驾驶车．已知购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元； 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元 ． （1）求购进1辆甲车和1辆乙车各需多少万元； （2）若该站点购进乙车数比甲车数的2倍少3辆，且购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元，求最多可以购进甲车多少辆？ 【答案】（1）购进1辆甲车需要15万元，购进1辆乙车需要12万元 （2）最多可以购进甲车6辆． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设购进1辆甲车需要x万元，购进1辆乙车需要y万元，根据购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元； 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元列出方程组求解即可； （2）设购进甲车m辆，则购进乙车辆，根据购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设购进1辆甲车需要x万元，购进1辆乙车需要y万元， 由题意得，， 解得， 答：购进1辆甲车需要15万元，购进1辆乙车需要12万元； 【小问2详解】 解：设购进甲车m辆，则购进乙车辆， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为6， 答：最多可以购进甲车6辆． 23. 如图，在矩形中，对角线，交于点O， 且的 长 为 9 ，，动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A， 点B 出 发 ， 点P 沿A→0→C方向运动，点Q 沿折线B→0→D方向运动，当点P 到达点C 时 ，P，Q两点停止运动．设运动时间为t 秒，点P，Q 两点间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t 的范围．（结果保 留一位小数） 【答案】（1） （2）图象见详解；当时，随着x的增大而减小；当时，随着x的增大而增大 （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，求出动点运动的总时间为6秒，分和两种情况，根据等边三角形的判定与性质解答即可； （2）根据函数的解析式即可画出函数图象，根据增减性即可得到函数的性质； （3）结合图象当时，代入关系式即可求出交点的横坐标t，若使点P，Q两点距离小于5个单位长，结合图象取下方的图象所对应的t 的范围． 【小问1详解】 解：四边形为矩形，， ， 根据题意可得，运动的总时间为秒， 动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度同时出发， ， ， 又， 是等边三角形， 当时，， ， ； 当时，， ， ， 综上所述：； 【小问2详解】 函数图象如图所示， 根据图象可得，当时，随着x的增大而减小；当时，随着x的增大而增大； 【小问3详解】 当时，或， 解得或， 由上图可知，当时， 当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t的范围． 【点睛】本题考查了矩形的性质、一次函数的图象和性质以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质、等边三角形的判定与性质及一次函数的图像与性质． 24. 如 图 ， 四 边 形 为某工厂的平面图 ， 经 测 量米，且，．（参考数据： ， ） （1）求的长；（结果精确到1米） （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为米， 求被监控到的道路长度为多少米？ 【答案】（1）138米 （2）160米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，进而利用勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：连接， ，且， 为等腰直角三角形， ，； ， ， 为直角三角形， ， 即的长为138米； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于E，设 P、Q为直线上监控到的最远点， ∴； ∵， ∴， 是等腰直角三角形， ， 摄像头能监控的最远距离为米，， ， ， 即被监控到的道路长度为160米． 25. 已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． （1）求直线的解析式； （2）过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，，求的最小值和此时M点的坐标； （3）在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的最小值为； （3）或或 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数解析式求出A、B坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出点M的横坐标，则；如图所示，过点B作，连接，则，证明四边形是平行四边形，得到，则当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为，利用勾股定理得到，则的最小值为；求出直线解析式为，进而可得； （3）根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，如图3-1所示，当点P在x轴上时，则，可得轴，则点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得，设，由勾股定理得到，解方程得到，同理可得直线解析式为，则直线与x轴，y轴分别交于，，由等边对等角得到，则当点P在射线（不包括A）上时都满足题意，再由P在坐标轴上，可得点P的坐标为或． 【小问1详解】 解：在中，当时，；当时，， ∴， 把代入中得：， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵直线轴， ∴点M的横坐标为1， ∵轴， ∴； 如图所示，过点B作，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当A、M、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴的最小值为； 设直线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问3详解】 解；由（2）知， ∵点M与点Q关于原点对称， ∴， ∵， ∴轴， 如图3-1所示，当点P在x轴上时， ∵， ∴， ∴轴， ∵， ∴点P的坐标为； 如图3-2所示，在直线上且在点Q上方找一点K，连接使得， 设， ∴， 解得， ∴， 同理可得直线解析式为， 在中，当时，；当时，， ∴直线与x轴，y轴分别交于，， ∵， ∴，即， ∴当点P在射线（不包括A）上时都满足题意， 又∵P在坐标轴上， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，勾股定理，平行四边形的性质与判定，等边对等角，一次函数与几何综合，坐标与图形变化—轴对称等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）； （2） 证明：连接，与交于点O，如图2， 由旋转可得，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴G、B、D三点共线，且是等腰直角三角形， ∴， ∴， 整理得； （3）8． 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，即可得到，据此求解即可； （2）连接，与交于点O，根据角平分线可得，进而得到，，得到，，可得，即可推出和是等腰直角三角形，据此求解即可； （3）如图，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F，根据一线三垂直模型可证明，得，，设,则， ，得到四边形是矩形，四边形是正方形，再说明M与O重合，，最后根据，得到当A、N、E三点共线时取得最小值，得到，解得，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解：由旋转可得，， ∴，， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图3，过P作交于H，交于O，过Q作交于G，延长交于N，延长至E，使，过A作交于F， ∵将绕点P逆时针旋转90°得到， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴点B在上，，, ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴O为的中点， ∵M为的中点， ∴M与O重合，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、N、E三点共线时取得最小值，此时， ∴, ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称与最小值，勾股定理，30°直角三角形的性质，涉及知识点比较多，难度比较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆八中2024—2025学年上期初三年级入学考试 数 学 试 题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3． 作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成； 4． 考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一 、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代 号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列有理数中最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 甲骨文， 又称“契文” “甲骨卜辞” “殷墟文字”或“龟甲兽骨文”，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉．下列甲骨文中，一定不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若，与的面积比为，则与的比是（ ） A. B. C. D. 6. 下列图形都是用同样大小的●按一定规律组成的，其中第①个图形中共有3个●，第②个图形中共有8个●，…，则第⑧个图形中●的个数为（ ） A. 63 B. 64 C. 80 D. 81 7. 估计的值在（ ） A. 4 到5之间 B. 5 到6之间 C. 6 到7之间 D. 7 到 8 之 间 8. 如图，等腰直角三角形，， 将沿射线平移个单位，得到， 连接， 则的面积是（ ） A. 6 B. C. 12 D. 9. 如图，已知四边形为正方形，E 为对角线上一点，连接， 过 点E 作，交的延长线于点F，，， 则的长为（ ） A. B. C. 6 D. 10. 已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二 、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡 中对应的横线上． 11. 因式分解：______． 12. 已知一个多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数为____ ． 13. 反比例函数 的图像如图所示，若的面积是3，则k 的值为_______． 14. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有_______个 ． 15. 某新开业的商场地下共有三层停车库，已知最底层开了80盏灯，每层开灯的数量都是 下一层开灯数量的x 倍，三层停车库共开了380盏灯，则x 的值为__________． 16. 已知关于x 的分式方程有整数解，且关于y 的不等式组有解且至多5个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和为__________． 17. 如图，在平行四边形中，， 且，点E、F、G 分别为线段上的点，，，则________________． 18. 我们规定：若一个四位正整数能写成两个正整数的平方差，则称M 为“智慧数”．例如：因为，所以1000是“智慧数”．按照这个规定，1002_________“智慧数”（填“是”或者“不是”）．若智慧数 M是 偶 数 ，， 且满足两位 数与两位数的和为完全平方数，则满足条件的正整数M 的 值 为 _____________． 三 、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题 必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算 （1） （2） 20. 学习了四边形后，小明同学想继续探索对角互补的四边形特征，请根据他的思路完成 以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，过点C 作交延长线于点M， 过点C 作交于 点N（只保留作图痕迹） （2）在（1）所作的四边形中，°，平分， 求证： 证明：∵平分，且， ∴ ① 且 ∵在四边形中，∴ 又∵ ∴ ② ∴（ ③ ） ∴ 小明同学进一步研究发现，对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则均有以上特 征．请你依照题意完成下面结论：对角互补的四边形，若对角线平分一个内角，则被此对角线平分为相等的那两个小角 ④ 21. 北京时间8月24日中午12点，日本福岛第一核电站启动核污染水排海，预估排放时间将长达30年．某学校为了解该校学生对此事件的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对事件的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组，A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为：48，62，79，95，88，70，88，55，74，87，88，93，66，90，74，86，63，68，84，82； 九年级被抽取的学生测试得分中C等级包含的所有数据为：72，77，78，79，75； 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 77 a 80.5 九年级 77 89 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校八年级、九年级学生在关注与了解日本核污染水排海事件上，哪个年级的学生对事件的关注与了解程度更高？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校八年级有学生600人，九年级有学生800人，估计该校这两个年级的学生测试得分在C组的人数一共有多少人？ 22. 近日，无人驾驶网约车“萝卜快跑”已获准在重庆进行服务测试．为了推进项目进行，现需在某站点引入甲、乙两种无人驾驶车．已知购进2辆甲车和1辆乙车共需42万元； 购进1辆甲车和3辆乙车共需51万元 ． （1）求购进1辆甲车和1辆乙车各需多少万元； （2）若该站点购进乙车数比甲车数的2倍少3辆，且购进甲、乙两种车总资金不超过 198万元，求最多可以购进甲车多少辆？ 23. 如图，在矩形中，对角线，交于点O， 且的 长 为 9 ，，动点P，Q分别以每秒3个单位长度的速度分别同时从点A， 点B 出 发 ， 点P 沿A→0→C方向运动，点Q 沿折线B→0→D方向运动，当点P 到达点C 时 ，P，Q两点停止运动．设运动时间为t 秒，点P，Q 两点间的距离为y． （1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当点P，Q两点距离小于5个单位长时，t 的范围．（结果保 留一位小数） 24. 如 图 ， 四 边 形 为某工厂的平面图 ， 经 测 量米，且，．（参考数据： ， ） （1）求的长；（结果精确到1米） （2）若直线为工厂的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D 处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为米， 求被监控到的道路长度为多少米？ 25. 已知反比例函数，直线，直线与反比例函数交于点，与x轴交于点C． （1）求直线的解析式； （2）过点C 作x轴的垂线，上有一动点M，过点M作y轴的垂线段与y轴交于点N，连接，，求的最小值和此时M点的坐标； （3）在（2）问的前提下，当取得最小值时，作点M 关 于x 轴的对称点Q在坐标轴上有一动点P，若，求点P 的坐标，并写出其中一种情况的过程． 26. 在中，，，绕点C顺时针旋转角度α（）得到． （1）如图1，若，连接交于点E，若，求的长； （2）如图2，若，平分交于点F，连接，过点C作，在射线上取点G使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明； （3）如图3，若，点P是线段上一动点，将绕点P逆时针旋转得到，连接，M为的中点，当取得最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $