第三单元倍数与因数（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学北师大版

倍数与因数 板块一：典例精讲 1．奇数与偶数的初步认识 【知识点解释】 偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等 奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等． 【知识点归纳】 奇数和偶数的性质： 奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数 奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数 奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数 2．找一个数的因数的方法 【知识点归纳】 1．分解质因数．例如：24的质因数有：2、2、2、3，那么，24的因数就有：1、2、3、4、6、8、12、24． 2．找配对．例如：24＝1×24、2×12、3×8、4×6，那么，24的因数就有：1、24、2、12、3、8、4、6． 3．末尾是偶数的数就是2的倍数． 4．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 5．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 6．最后一位是5或0的数是5的倍数． 7．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 8．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 3．找一个数的倍数的方法 【知识点归纳】 找一个数的倍数，直接把这个数分别乘以1、2、3、4、5、6…，一个数的倍数的个数是无限的． 1．末尾是偶数的数就是2的倍数． 2．各个数位加起来能被3整除的数就是3的倍数．9的道理和3一样． 3．最后两位数能被4整除的数是4的倍数． 4．最后一位是5或0的数是5的倍数． 5．最后3位数能被8整除的数是8的倍数． 6．奇数位上数字之和与偶数位上数字之和的差能被11整除的数是11的倍数．注意：“0”可以被任何数整除． 4．合数与质数的初步认识 【知识点解释】 合数：指自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他的数整除的数．“0”“1”既不是质数也不是合数． 质数：一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（素数） 5．2的倍数特征 【知识点归纳】 （1）2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数，都是 2 的倍数。 （2）偶数与奇数： ①自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（俗称双数），习惯用2n表示。；最小的偶数是 0。 ②不是 2 的倍数的数叫做奇数（俗称单数），习惯用2n﹣1表示；最小的奇数是 1。 【方法总结】 奇数+奇数＝偶数 偶数+偶数＝偶数 奇数+偶数＝奇数 6．5的倍数特征 【知识点归纳】 （1）5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数，都是 5 的倍数。 （2）如果一个数同时是 2 和 5 的倍数，那它的个位上的数字一定是 0。 【方法总结】 如果一个数是5的倍数，它的个位一定是0或5； 如果一个奇数是5的倍数，它的个位一定是5； 如果一个偶数是5的倍数，它的个位一定是0。 7．3的倍数特征 【知识点归纳】 3 的倍数的特征：一个数各位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是 3 的倍数。 举例子：判断127是不是3的倍数，可以将它的各个数字相加，1+2+7＝10，10不是3的倍数，所以127不是3的倍数。 【方法总结】 1、3的倍数既有奇数，也有偶数； 每相邻的3个自然数中，就会有一个是3的倍数。 板块二：高频考点 一、选择题 1．数学研究很多是从人们的猜想开始的，其中著名的“哥德巴赫猜想”就引发了200多年的持续研究。这个猜想的内容：“任意一个大于2的偶数，都可以表示成两个质数的和。”下面的四组算式中，符合这个猜想的是（    ）。 A．4＝1＋3 B．32＝14＋18 C．62＝49＋13 D．48＝11＋37 2．淘气的家庭电话是一个七位数，首位是最小的合数，第二位是最小的奇数，第三位是两个不同的最小质数的积，后四位是2、3和5的公倍数的最小四位数。这个电话号码是（    ）。 A．2133000 B．4161200 C．4129000 D．4161020 3．已知A=3×7×10，则A一共有（　　）个因数． A．6 B．12 C．16 D．20 4．下列说法正确的是（　　） A．最小的素数是1 B．一个整数的倍数有无数个 C．有最小的整数 D．因为4.5÷3=1.5，所以4.5是3的倍数，3是4.5的因数． 5．如果13是数a的倍数，那么a是（    ）。 A．1 B．13 C．1或13 D．26 6．下面的说法中错误的是（　　） A．3和5都是质数 B．3和5都是60的质因数 C．3和5都是15的因数 D．3和5都是60的分解质因数 7．已知a=3×5×7，那么a的约数有（　　）个． A．8 B．6 C．3 D．2 8．下面说法正确的是（    ）。 A．两个质数的和一定是偶数 B．1÷11的商的小数点后第10位上是0 C．偶数都是合数 D．用2、3、4组成的所有三位数都是3的倍数 二、填空题 9．一个数是48的因数，这个数可能是 一个数既是48的因数，又是8的倍数，这个数可能是 一个数既是48的因数，又是8的倍数，同时还是3的倍数，这个数可能是 10．在15、20、27、60、75这五个数中，是3的倍数有 ；有因数5的有 ；既是3的倍数又是5的倍数的有 。 11．用数字6，7，8各两个，组成一个6位数，使它能被168整除．这个六位数是　 　． 12．两个质数的和是16，积是39，这两个质数的差是 。 13．已知2012被一些正整数去除，得到的余数为10，则这样的正整数共有　 　个． 14．在1～50的自然数中，至少取出 个数，才能保证有一个合数。 15．3的倍数中，最小的三位数是 ，5的倍数中，最大的两位数是 ，既是5的倍数，又是3的倍数，最小的四位数是 ． 16．由0，1，2，3组成的能被12整除的数共有　 　个． 三、判断题 17．2、3、4、6、12是12的全部因数。    ( ) 18．有五个连续的奇数，如果最中间一个数是M，那么这五个数中最小的一个数可表示为M－4。( ) 19．如果自然数a是2的倍数，那么必定是奇数。( ) 20．要使四位数23□1是3的倍数，方框里最大可以填9。( ) 21．因为36÷9＝4，所以36是倍数，9是因数        ( ) 22．任何一个合数的因数至少有3个。( ) 23．个位上是3的数，一定不是5的倍数。( ) 四、解答题 24．茶叶店把84个小青柑装在不同的盒子里，每个盒子装的小青柑个数相同且为质数个，有几种不同的装法？每种装法各需要几个盒子？ 25．一个小于30的数，它的所有因数的和是这个数的2倍．这个数是多少？ 26．小明的妈妈买了2.5千克苹果和3.2千克荔枝，每千克苹果2.8元，每千克荔枝比每千克苹果贵7.7元，妈妈一共要付多少钱？ 27．生产小组加工一批零件，原计划用20天，平均每天加工1500个，实际每天多加工500个，实际提前多少天完成任务？ 28．有94个面包，每个盒子装3个面包，能正好装完吗？5个5个装呢？要说明理由． 29．利民大药店有201盒口罩要装袋，每3盒装一袋，能正好装完吗？每5盒装一袋，能正好装完吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C B C D A D 1．D 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。根据质数的意义，先判断等号右面的两个数是不是质数，再进行选择。 【详解】A．1不是质数，所以4＝1＋3不符合这个猜想； B．14和18不是质数，所以32＝14＋18不符合这个猜想； C．49不是质数，所以62＝49＋13不符合这个猜想； D．11和37是质数，所以48＝11＋37符合这个猜想。 故答案为：D 2．D 【分析】最小的合数是4，所以百万位上的数是4；最小的奇数是1，所以十万位上的数是1；两个不同的最小质数是2和3，2×3＝6，所以万位上的数是6；2，3和5的正倍数的最小四位数1020，所以后四位上的数是1020；再从高位到低位依次写出每位上的数字即可。 【详解】百万位上的数是4，十万位上的数是1，万位上的数是6，后四位上的数是1020，这个数是4161020。 故答案为：D 【点睛】此题主要考查了奇数、偶数，以及质数、合数的认识，2，3和5的倍数特征，要熟练掌握它们的特征。 3．C 【详解】试题分析：A的因数包括1和它的质因数，以及质因数相乘的积；据此找出即可． 解：A=3×7×10=2×3×5×7， 则A的因数有：1、2、3、5、7、2×3=6、2×5=10、2×7=14、3×5=15、3×7=21、5×7=35、2×3×5=30、 2×3×7=42、2×5×7=70、3×7×5=105、2×3×5×7=210，共16个； 故选C． 点评：此题也可以运用规律解答：把给定的数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求因数的个数． 4．B 【详解】试题分析：根据相关知识，把四个选项分别进行分析、判断，即可选出正确的一项，解答问题． 解：A，1既不是质数也不是合数，此选项说法错误； B，一个整数的倍数的个数是无限的，此选项说法正确； C，像…﹣2，﹣1，0，1，2…这样的数称为整数，整数是无数的，没有最大或最小的整数，所以此选项说法错误； D，根据因数和倍数的意义，因数和倍数是在非0自然数范围内进行研究，所以此选项说法错误； 故选B． 点评：此题的解答关键是明确质数、整数、因数和倍数的概念，以及因数和倍数的研究范围是在非0自然数范围内． 5．C 【分析】由题意知：13是数a的倍数，那么a就是13的因数，13的因数只有1和13。据此解答。 【详解】13＝1×13 故答案为：C 【点睛】掌握倍数与因数的概念是解答此题的关键。 6．D 【详解】试题分析：根据质数、合数、因数的概念，逐个分析选项，找出错误的即可． 解：A，自然数中，只有1和它本身两个因数的数为质数，所以3和5都是质数； B，3和5都是质数，又都是60的因数，所以都是60的质因数； C，3和5都是15的因数； D，分解质因数就是把一个合数分解成几个质因数的乘积的形式，只能说3和5都是60的因数，而不能说3和5都是60分解质因数． 故选D． 点评：此题考查了质数、质因数和因数的含义，应注意基础知识的积累． 7．A 【详解】试题分析：根据找一个数因数的方法，进行列举：a约数有：1、3、5、7、3×5=15、3×7=21、5×7=35、3×5×7=105；数出即可． 解：a约数有：1、3、5、7、3×5=15、3×7=21、5×7=35、3×5×7=105；共8个； 故选A． 点评：解答此题应根据找一个数的因数的方法，进行列举即可． 8．D 【分析】根据质数、合数的意义可知，2是最小的质数，2也是偶数，2与其它质数的和都是奇数；计算出1÷11的商，再判断商的小数点后第10位上是几；3的倍数的特征是，一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数，据此解答。 【详解】A．2是最小的质数，2也是偶数，2与其它质数的和都是奇数，所以原题说法错误； B．1÷11＝0.0909…商是循环小数，循环节是09，所以商的小数点后第10位上是9； C．2是偶数，2也是质数，所以原题说法错误； D．根据3的倍数特征，用2、3、4组成的所有三位数，各个数位的数字和是2＋3＋4＝9，这个三位数一定是3的倍数，所以原题说法正确。 故答案为：D 9．1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，8、16、24、48，24、48 【详解】试题分析：（1）求这个数可能是多少，即求48的因数，根据找一个数因数的方法，列举出即可； （2）求这个数，即求48以内的8的倍数； （3）求这个数，即求48以内的3和8的公倍数． 解：（1）48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48； （2）48以内的8的倍数有：8、16、24、48； （3）48以内的3和8的公倍数有：24、48； 故答案为1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，8、16、24、48，24、48． 点评：解答此题应根据找一个数因数的方法和求一个数倍数的方法进行解答． 10． 15、27、60、75 15、20、60、75 15、60、75 【分析】根据3的倍数的特征：一个数的各位数字之和能被3整除，那么这个数可以被3整除；根据5的倍数的特征：一个数的个位数是0或者5，那么这个数是5的倍数。 【详解】各位数字之和能被3整除：15、27、60、75； 个位数是0或者5：15、20、60、75； 既是3的倍数又是5的倍数：15、60、75。 【点睛】此题考查了3的倍数的特征以及5的倍数的特征。 11．768768 【详解】试题分析：由于6、7、8各2个组成的六位数，次序如何都被3整除；因为组成的六位数的末三位组成的三位数必须被8整除，是768；被7整除：这个六位数的前三位次序和后三位次序相同．依此可得这个六位数． 解：由于168=8×3×7； 6、7、8各2个组成的六位数，次序如何都被3整除； 组成的六位数的末三位组成的三位数必须被8整除，是768； 被7整除：这个六位数的前三位次序和后三位次序相同． 故这个六位数是 768768． 故答案为768768． 点评：此题考查了数的整除性，本题关键是熟悉规律：被7整除：这个六位数的前三位次序和后三位次序相同；同时得到被8整除的后面三位数． 12．10 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。 根据题意，这两个质数的积是39，积是39的有：1×39和3×13，其中1和39不是质数，不符合题意；3和13是质数，再计算这两个质数的和是16，符合题意，由此得出这两个质数是3和13，最后求这两个质数的差即可。 【详解】39＝3×13，3＋13＝16； 这两个质数是3和13； 13－3＝10 这两个质数的差是10。 【点睛】本题考查质数的意义及应用，从积入手能较快地找出这两个质数。 13．13 【详解】试题分析：因为2012﹣10=2002，所以这些正整数一定整除2002，其中2002=11×13×2×7，由此找出这些正整数即可． 解：2012﹣10=2002一定能被这些数整除， 2002=2×7×11×13． 因为2002中一共有（1+1）×（1+1）×（1+1）×（1+1）=16个， 而1和2能够整除2012，而7除2012的余数是3，所以剩下的数去除2012，得到的余数为10， 即这些正整数是：11，13，14，22，26，77，91，143，154，182，286，1001，2002； 所以这样的正整数共有13个； 故答案为13． 点评：此题考查了整除以及分解质因数的相关知识． 14．17 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫质数；除了1和它本身，还有其它因数的数叫合数；1既不是质数，也不是合数。在1～50的自然数中，不是合数的数有1、2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47，一共有16个。要保证有一个合数，至少要先把1和所有的质数取出，再取出一个，一定是合数。据此解答。 【详解】从最不利情况考虑，需要先把1和所有的质数取出，共要取出16个数，再取出一个，一定是合数。则在1～50的自然数中，至少取出17个数，才能保证有一个合数。 15． 102 95 1005 【详解】根据3的倍数的特征：各个数位上的数字和是3的倍数的数，找到其中最小的三位数即可；根据5的倍数特征：个位上是0或5的数是5的倍数，找到其中最大的两位数即可； 根据能被3和5整除的特征解答，可以先想最小的四位数是1000，1000是5的倍数，而不是3的倍数，因为5的倍数个位是0或5，那么就换成1005，可以既是3的倍数，又是5的倍数，由此解答． 16．10 【详解】试题分析：因为12=3×4，所以12的倍数肯定是3和4的公倍数． 3的倍数：各位上的数字加起来是3的倍数． 4的倍数：后两位是4的倍数． 两个条件都满足就是12的倍数．由此找出12的倍数进而求解． 解：由0，1，2，3，组成的可被12整除的数，最后两位是4的倍数，一定是12，32，20这三组中的一组，有： 12，20，120，132，312，320，1032，1320，3012，3120； 一共有10个． 故答案为10． 点评：本题先找出12的倍数的特点，再根据这个特点找出所有的数． 17．× 【分析】一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。 【详解】12的因数还有1，所以判断错误。 18．√ 【分析】根据相邻两个奇数的差是2解答即可。 【详解】由题意可知：五个连续的奇数中，最小的奇数与中间奇数M相差2＋2＝4，所以这五个数中最小的一个数可表示为M－4。 故答案为：√ 【点睛】明确相邻奇数相差2是解题的关键。 19．√ 【分析】2的倍数都是偶数。如果自然数a是2的倍数，说明a是偶数，而是a相邻的自然数。两个相邻的自然数中，如果一个数是偶数，另一个数一定是奇数。据此解答。 【详解】通过分析可得：a是偶数，那么必定是奇数。原题说法正确。 故答案为：√ 20．√ 【分析】根据3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数，据此判断即可。 【详解】2＋3＋1＋9＝15，是3的倍数 所以要使四位数23□1是3的倍数，方框里最大可以填9，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题解题关键是要掌握3的倍数特征。 21．× 【分析】根据因数和倍数的意义：如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；进行解答即可． 【详解】36÷9＝4，所以36是9的倍数，9是36的因数，因数和倍数不能单独存在； 故答案为：× 22．√ 【分析】合数就是除了含有1和它本身两个因数外还含有其它因数的数，即合数含有3个或3个以上因数，据此判断。 【详解】由分析可知：一个合数的因数只有3个，说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查合数的意义，注意合数含有3个及3个以上因数。 23．√ 【分析】根据5的倍数特征：个位上的数字是0或者5的数，是5的倍数，据此判断。 【详解】根据分析可知，个位上是3的数，一定不是5的倍数。 原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查5的倍数特征，根据5的倍数特征进行解答。 24．3种；每盒装2个，需要42个盒子，每盒装3个，需要28个盒子，每盒装7个，需要12个盒子。 【分析】首先对84分解质因数，得到84＝2×2×3×7，有几个不同的质因数就有几种不同的装法；题目要求每个盒子装同样多小青柑且为质数个，所以可以将2、3、7看作小青柑的数量，用总个数分别除以每盒装的个数，可得需要几个盒子。 【详解】由分析可得： 84＝2×2×3×7，分别有2、3、7三种不同质因数，所以有3种不同装法； 84÷2＝42（个） 84÷3＝28（个） 84÷7＝12（个） 答：有3种不同的装法。每盒装2个，需要42个盒子，每盒装3个，需要28个盒子，每盒装7个，需要12个盒子。 【点睛】本题考查了分解质因数的灵活运用，解题的关键是明确分解出来的质因数就是每个盒子装的小青柑的个数。 25．28(答案不唯一) 26．40.6元 27．5天 28．每盒装3个或5个都不能正好装完 【详解】试题分析：（1）94个面包，每3个装成一盒，也就是要求94里面有几个3，根据除法的意义例式94÷3计算出结果，如果没有余数则能正好装完，否则，不能． （2）94个面包，每5个装成一盒，也就是要求94里面有几个5，根据除法的意义例式94÷5计算出结果，如果没有余数则能正好装完，否则，不能． 解：94÷3=31…1个， 94÷5=18…4个， 答：每盒装3个或5个都不能正好装完． 点评：此题考查了有余数的除法，也可以直接利用倍数的意义解答：因为94既不是3的倍数也不是5的倍数，所以每盒装3个或5个都不能正好装完． 29．每3盒装一袋，能正好装完。每5盒装一袋，不能正好装完 【分析】总盒数除以每袋装的盒数，能整除，就正好装完，不能整除，就不能正好装完。 【详解】201÷3＝67（袋） 201÷5＝40（袋）……1（盒） 答：每3盒装一袋，能正好装完。每5盒装一袋，不能正好装完。 【点睛】本题也可利用3、5的倍数特征进行解答。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$