精品解析：重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年高一上学期入学考试数学试题

高2027届高一（上）入学数学试题 一、选择题（共8小题） 1. 在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下： 那么d A a B. b C. c D. d 2. 一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ） A. 不盈不亏 B. 盈利20元 C. 亏损10元 D. 亏损30元 3. 已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4. 8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ） A. 游戏中会变身的妖怪 B. 游戏中长的高的妖怪 C. 游戏中能力强的妖怪 D. 游戏中击败后给奖励多的妖怪 5. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C D. 6. 设,，，，记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 A. B. C D. 7. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在双曲线（）上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接.若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多选题（共3小题） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 10以内的质数组成的集合是 B. 由1，2，3组成的集合可表示为或 C. 方程解集是 D. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 10. 下列各对象中，能够组成一个集合的是（ ） A. 所有矮个子的人 B. 接近1的有理数 C. 小于0的实数 D. 一次项系数为3的二次三项式 11. 将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是（　　） A. B. C D. 三、填空题（共3小题） 12. 分解因式：______． 13. 若，则_________. 14. 设，且满足且，则______. 四、解答题（共5小题） 15. 设全集是实数集，集合，集合. （1）求； （2）求. 16. 阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律. 根据上述规律，完成下列问题： （1）直接写出____________； （2）的展开式中项的系数是____________； （3）利用上述规律求的值，写出过程. 17. 已知集合，a为实数. （1）若集合A是空集，求实数a的取值范围； （2）若集合A是单元素集，求实数a的值； （3）若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 18. 定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为 （1）函数关于直线的“迭代函数”的解析式为______． （2）若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则______． （3）已知正方形的顶点分别为：，，，，其中． ①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值； ②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求的取值范围． 19. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若最小值记为，，且满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高2027届高一（上）入学数学试题 一、选择题（共8小题） 1. 在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下： 那么d A. a B. b C. c D. d 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（ ） A. 不盈不亏 B. 盈利20元 C. 亏损10元 D. 亏损30元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求解两件衣服的进价，即可求解. 【详解】设两件衣服的进价分别为， 根据题意可得，解得， 所以， 故亏损10元. 故选：C 3. 已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由集合间的基本关系利用元素个数即可求得满足题意的个数. 【详解】根据可以确定必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个， 因此依据集合的元素个数分类如下： 含有3个元素：. 含有4个元素：， 含有5个元素：. 所有满足条件的集合M可以是：，共7个. 故选：B 4. 8月20日《黑神话悟空》风靡全球，下列几组对象可以构成集合的是（ ） A. 游戏中会变身的妖怪 B. 游戏中长的高的妖怪 C. 游戏中能力强的妖怪 D. 游戏中击败后给奖励多的妖怪 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断选项即可. 【详解】对A：游戏中会变身的妖怪可以构成集合，故A正确； 对B、C、D：不满足集合的确定性，故不能构成集合，故B、C、D错误. 故选：A. 5. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析与集合、、的关系，利用集合的运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论. 【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素，则或，所以阴影部分所表示的集合为 ，再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可表示为， 所以选项AD正确，选项CD不正确， 故选：AD. 6. 设,，，，记为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数的值域为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值，如,作图，分别求得的值，用排除法选择． 【详解】在坐标作出四点， 时，如下图，平行四边形内部有9个整点，排除D， 时，如下图，平行四边形内部有12个整点，排除A， 时，如下图，平行四边形内部有11个整点，排除B， 故选：C． 7. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒若按照这样的方法拼成的第个图形需要根小木棒，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，拼第个图形需要根小木棒，从而拼第个图形需要根小木棒，由此能求出． 【详解】解：拼第个图形需要根小木棒， 拼第个图形需要根小木棒， 拼第个图形需要根小木棒， 则拼第个图形需要根小木棒，解得． 故选：B． 8. 如图，点在双曲线（）上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接.若，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设交于，利用面积法求出的长，再利用三角形相似的性质求出即可解决问题. 【详解】设交于， 由已知可得垂直平分， 在中，， ， ， 由可得， 故选：B. 二、多选题（共3小题） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 10以内的质数组成的集合是 B. 由1，2，3组成的集合可表示为或 C. 方程的解集是 D. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】根据集合的确定性，互异性，和无序性，依次判断选项即可. 【详解】对A：不是质数，故A错误； 对B：根据集合的无序性可知，故B正确； 对C：根据集合的互异性可知方程的解集是，故C错误； 对D：根据集合的互异性可知两两不相等，故一定不是等腰三角形，故D正确. 故选：BD. 10. 下列各对象中，能够组成一个集合的是（ ） A. 所有矮个子的人 B. 接近1的有理数 C. 小于0的实数 D. 一次项系数为3的二次三项式 【答案】CD 【解析】 【分析】根据集合的定义一一分析即可. 【详解】对A，所有矮个子的人，因为矮的标准不确定，不能组成集合，故A错误； 对B，接近于1的数，因为接近的标准不确定，故不能组成集合，故B错误； 对C，小于0的实数，可以组成集合，故C正确； 对D，一次项系数为3的二次三项式，也可组成集合，故D正确； 故选：CD. 11. 将下列多项式因式分解，结果中含有因式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 分析】利用因式分解求解. 【详解】A．原式，符合题意； B．原式，符合题意； C．原式，不符合题意； D．原式，符合题意． 故选：ABD． 三、填空题（共3小题） 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用公式法及十字相乘法分解因式即可得解. 【详解】. 故答案为： 13. 若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】将待求表达式先化简，在把两边平方即可求解. 【详解】由于，则，分子分母同时除以， 于是. 故答案为： 14. 设，且满足且，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据集合相等得到，即可得到答案. 【详解】因为且 ， 所以， 所以 ，即. 故答案为：3 四、解答题（共5小题） 15. 设全集是实数集，集合，集合. （1）求； （2）求. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据交集的定义即可得解； （2）根据补集和交集的定义即可得解. 【小问1详解】 ， 由得， 则或，解得或， 故或， 所以或； 【小问2详解】 由（1）得或， 或或， 所以或. 16. 阅读材料，完成相应任务：“贾宪三角”又称“杨辉三角”，在欧洲则称为“帕斯卡三角”（如图所示），它揭示了（为非负数）展开式的各项系数的规律. 根据上述规律，完成下列问题： （1）直接写出____________； （2）的展开式中项的系数是____________； （3）利用上述规律求的值，写出过程. 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据展开式的规律得，即可得到答案； （2）根据“贾宪三角”得到规律，即可得到答案； （3）根据（1）中结论即可得到答案. 【小问1详解】 ，， ， ， ， 故答案为； 【小问2详解】 ， 项的系数是. 故答案为8. 小问3详解】 . 17. 已知集合，a为实数. （1）若集合A是空集，求实数a的取值范围； （2）若集合A是单元素集，求实数a的值； （3）若集合A中元素个数为偶数，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）或. （3）且 【解析】 【分析】（1）若集合是空集，要满足二次方程无解； （2）若集合A是单元素集，则方程为一次方程或二次方程； （3）若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素，二次方程无解或两不相同的解. 【小问1详解】 若集合是空集，则， 解得.故实数的取值范围为. 【小问2详解】 若集合是单元素集，则 ①当时，即时，，满足题意； ②当，即时，，解得， 此时. 综上所述，或. 【小问3详解】 若集合中元素个数为偶数，则中有0个或2个元素. 当中有0个元素时，由(1)知； 当中有2个元素时，解得且. 综上所述，实数的取值范围为且. 18. 定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为 （1）函数关于直线的“迭代函数”的解析式为______． （2）若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则______． （3）已知正方形的顶点分别为：，，，，其中． ①若函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点，求a的值； ②若，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或， （3）①；②. 【解析】 【分析】（1）取点，，求两点关于的对称点，利用待定系数法求左侧图象的解析式，由此可得结论； （2）判断点与函数的图象的关系，再求关于直线的对称点，由条件列方程求即可； （3）①求函数关于直线的“迭代函数”的解析式，作函数图象，观察图象确定的值； ②分别在，，时求函数关于直线的“迭代函数”解析式，讨论，由条件确定的范围. 【小问1详解】 在函数的图象上位于右侧的部分上取点，， 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 设函数，的图象关于对称的图象的解析式为， 则，解得， 所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为； 【小问2详解】 取可得，， 故函数的图象不过点， 又点关于直线的对称点为， 由已知可得，， 所以或， 【小问3详解】 ①当或时，函数关于直线的“迭代函数”的图象的解析式为， 当时，设点在函数关于直线的“迭代函数”的图象上， 则点在函数的图象上， 所以， 所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为， 作函数关于直线“迭代函数”的图象如下： 观察图象可得时，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形的边有3个公共点， ②若，当时，函数关于直线的“迭代函数”的图象的解析式为， 当或时，设点在函数关于直线“迭代函数”的图象上， 则点在函数的图象上， 所以， 所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，函数关于直线的“迭代函数”的解析式为， 作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 若，当或时，函数关于直线的“迭代函数”的图象的解析式为， 当时，设点在函数关于直线的“迭代函数”的图象上， 则点在函数的图象上， 所以， 所以函数关于直线的“迭代函数”的解析式为， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 当时，作函数关于直线的“迭代函数”的图象可得， 函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有个公共点， 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 19. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）若最小值记为，，且满足，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先分类讨论得到不含绝对值的解析式，再由得到，从而解一元一次不等式即可得解； （2）先利用分类讨论与一次函数的单调性求得的最小值，再利用换元法与基本不等式“1”的妙用即可证得结论. 【小问1详解】 因为， 当时，； 当时，； 当时，； 因为，所以， 当时，得，解得，故； 当时，得，解得，故； 当时，得，解得，故； 综上：，即的解集为. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，，则； 当时，，则，即； 当时，，则； 综上：，故最小值为，即， 所以， 又，令，则，且， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立，此时， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$