第四章 整式的加减 专题（讲解课件）-【优翼·学练优】新教材2024-2025学年七年级数学上册同步备课（人教版2024）

综合专题讲解 第四章 整式的加减 人教版七年级（上） 1 专题目录 专题一：去括号与添括号 专题四：与整式的加减有关的探索性问题 专题二：与整式的化简有关的说理题 专题三：含绝对值的整式的化简 ◆类型一　简单去括号化简 一、回顾知识点 专题一：去括号与添括号 去括号的法则 去括号就是用括号外的数 括号内的每一项，再把所得的积_____ 乘 相加 例1 (乐山期末) 计算. 解：原式 = -3x + y2. 练一练 1. (沙坡头区校级期末) 化简: (1) 5(mn - 2m) + 3(4m - 2mn)； (2) -3(x + 2y - 1) - (-6y - 4x + 2). 解：(1) 原式= 5mn - 10m + 12m - 6mn = -mn + 2m. (2) 原式= -3x - 6y + 3 + 3y + 2x - 1 = -x - 3y + 2. ◆类型二　去多重括号 方法一：由内向外 例2 (资阳期末) 计算题. 5b² - [7b - (3b - 2) - 3b²] 解：原式 = 5b² - (7b - 3b + 2 - 3b²) = 5b² - 7b + 3b - 2 + 3b² = 8b² - 4b - 2. ◆类型二　去多重括号 方法二：由外向内 例2 (资阳期末) 计算题. 5b² - [7b - (3b - 2) - 3b²] 解：原式 = 5b² - 7b + (3b - 2) + 3b² = 5b² - 7b + 3b - 2 + 3b² = 8b² - 4b - 2. 练一练 2. (井研县期末) 先化简再求值：3(a2 - 2ab) - [3a2 - 2b + 2(ab + b)]，其中a、b满足 + |b - 3| = 0. 解：原式= 3(a2 - 2ab) - (3a2 - 2b + 2ab + 2b) = 3a2 - 6ab - 3a2 + 2b - 2ab - 2b = - 8ab. 因为 ≥0，|b - 3|≥0，且 + |b - 3| = 0， 所以 = 0，|b - 3| = 0，所以 = 0，b - 3= 0. 所以 a = ，b = 3. 所以上式 = = 12. ◆类型三　添括号 一、添括号法则 + (a - b) = a - b - (a - b) = -a + b a - b = + (a - b) -a + b = - (a - b) 括号前是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 括号前是“-”号，括到括号里的各项都改变符号. a + b - c a + (b - c) a - b + c a - (b - c) 添括号 去括号 添括号 去括号 去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误 例3 在各式的括号中填上适当的项，使等式成立. (1) 2x + 3y - 4z + 5t = -( ) = +( ) = 2x - ( ) = 2x + 3y - ( )； (2) 2x - 3y + 4z - 5t = 2x + ( ) = 2x - ( ) = 2x - 3y - ( ) = 4z - 5t - ( ). -2x - 3y + 4z - 5t 2x + 3y - 4z + 5t - 3y + 4z - 5t 4z - 5t -3y + 4z - 5t 3y - 4z + 5t -4z + 5t -2x + 3y 练一练 3. (宁波期末) 下列添括号正确的是 ( ) A. - b - c = -(b - c) B. -2x + 6y = -2(x - 6y) C. a - b = +(a - b) D. x - y - 1 = x - (y - 1) 4. 添括号： (1) (x + y)2 - 10x - 10y + 25 = (x + y)2 - 10( ) + 25. (2) (a - b + c - d)(a + b - c + d) = [a - ( )][a + ( )]. C x + y b - c + d b - c + d ◆类型四　整体代入 例4 (赣州期末) 阅读材料： 我们知道，2x + 3x - x = (2 + 3 - 1)x = 4x，类似地，我们把 (a + b) 看成一个整体，则 2(a + b) + 3(a + b) - (a + b) = (2+3-1)(a + b) = 4(a + b). “整体思想” 是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛. 尝试应用： (1) 把 (x - y)2 看成一个整体，求将 2(x - y)2 - 4(x - y)2 + (x - y)2 合并的结果； (2) 已知 2m - 3n = 3，求代数式 4m - 6n + 5 的值； 解：(1) 原式 = (2 - 4 + 1)(x - y)2 = -(x - y)2. 所以原式 = 2 (2m - 3n) + 5 = 2×3 + 5 = 11. (2) 因为 2m - 3n = 3， 拓广探索： (3) 已知 a - 2b = 4，b - c = -2，3c + d = 6， 求 (a + 3c) - (2b + c) + (b + d) 的值. 解：(1) 原式= a + 3c - 2b - c + b + d = (a - 2b) + (b - c) + (3c + d). 因为 a - 2b = 4，b - c = -2，3c + d = 6， 所以上式= 4 + (-2) + 6 = 8. 练一练 6. 已知 a - b = 2，ab = -1，则 3a - 3(ab + b) 的值是 . 5. 若多项式 2x2 + 3x + 5 的值为 7，则 -2x2 - 3x + 5 的值为 . 分析：因为 2x2 + 3x + 5 = 7， 3 所以 2x2 + 3x = 2， 所以 -2x2 - 3x = -2. 分析：原式 = 3a - 3ab - 3b = 3(a - b) - 3ab = 3×2 - 3×(-1) = 9. 9 专题二：与整式的化简有关的说理题 ◆类型一　整式加减中的改错问题 例4 (肥城市期末) 一位同学做一道题：“已知两个多项式 A、B，计算 2A + B”. 他误将“2A + B”看成“A + 2B”，求得的结果为 9x2 - 2x + 7，已知 B = x2 + 3x - 2，求正确答案. 分析：将错误结果 (9x2 - 2x + 7) 代入错误式子 (A + 2B) 中，得到正确结果 (A) 后，再代入正确式子(2A + B) 中计算. 解：(1) 因为 A + 2B = 9x2 - 2x + 7，且 B = x2 + 3x - 2， 所以 A = 9x2 - 2x + 7 - 2B = 9x2 - 2x + 7 - 2(x2 + 3x - 2) = 9x2 - 2x + 7 - 2x2 - 6x + 4 = 7x2 - 8x + 11. 所以 2A + B = 2(7x2 - 8x + 11) + (x2 + 3x - 2) = 14x2 - 16x + 22 + x2 + 3x - 2 = 15x2 - 13x + 20 . 练一练 7. (新邵县期末) 一位同学做一道题：已知两个多项式 A、B，计算 A - 3B 他误将“A - 3B”看成“3A - B”，求得的结果为 x2 - 14xy - 4，其中 B = 2x2 + 2xy + 2. (1) 请你计算出多项式 A. 解：因为 3A - B = x2 - 14xy - 4，且 B = 2x2 + 2xy + 2， 所以 3A = x2 - 14xy - 4 + B = x2 - 14xy - 4 + (2x2 + 2xy + 2) = x2 - 14xy - 4 + 2x2 + 2xy + 2 = 3x2 - 12xy - 2. 所以 A = x2 - 2xy - . (2) 若 x = -3，y = 2，计算 A - 3B 的正确结果. 解：A - 3B = x2 - 2xy - - 3(2x2 + 2xy + 2) = x2 - 2xy - - 6x2 - 6xy - 6 = -5x2 - 8xy - . 当 x = -3，y = 2 时， A - 3B = -5×(-3)2 - 8 ×(-3)×2 - = . ◆类型二　整式加减中的“无关或说理”问题 例5 已知：A = 3x2 + 2xy + 3y - 1，B = x2 - xy. (1) 计算：A - 3B； (2) 若 A - 3B 的值与 y 的取值无关，求 x 的值. 解：(1) A - 3B = (3x2 + 2xy + 3y - 1) - 3(x2 - xy) = 3x2 + 2xy + 3y - 1 - 3x2 + 3xy = 5xy + 3y - 1. (2) A - 3B = 5xy + 3y - 1 = (5x + 3)y - 1. 因为 A - 3B 的值与 y 的取值无关， 所以 5x + 3 = 0， 所以 x = -0.6. 例6 任意写一个三位数，交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数，将这两个数相减所得的数都能被 99 整除，请你说明理由. 解：设原三位数为 100a + 10b + c，百位与个位交换数字后的数为 100c + 10b + a，则它们的差为： (100a + 10b + c)－( 100c + 10b + a) = 100a + 10b + c－100c－10b－a = 99a－99c = 99(a－c). 练一练 8. 老师出了一道整式计算题化简求值题：(5x2 - 9) + (2 + ax2) ，其中字母 a 为常数；小明计算后说这个题的最后结果为常数，请你通过计算找到 a 的值. 解：原式= 5x2 - 9 + 2 + ax2 = (5 + a)x2 - 9. 因为该式化简结果为常数， 所以 5 + a = 0，所以 a = -5. 专题三：含绝对值的整式的化简 ◆类型一　运用已知条件化简绝对值 知识点回顾 |a| = a＞0 a = 0 a＜0 a 0 -a 例6 已知 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数 ( c、d 不为 0)，|m| = 3，根据已知条件请回答： (1) ab =____，c + d =____，m =_____ ， =______. (2) 求 的值. 1 0 -1 ±3 分析：m 的值可以取两个， 需要分类讨论. 解：①当 m = 3 时，原式= = 1； ②当 m = -3 时，原式= = -1. 综上所述，原式的值为 ±1. 练一练 9. 已知 m＜0，化简 |2m - (-m)| . 解：原式= |2m + m| = |3m|. 因为 m＜0， 所以 3m＜0. 所以 上式= -3m. ◆类型二　运用数轴化简绝对值 例7 (九龙县校级期末) 有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图: (1) 判断正负，用“>”或“<”填空： b - c 0，b - a 0，c - a 0. 0 a b c ＜ ＞ ＞ 分析：大 - 小＞0，小 - 大＜0； 右 - 左＞0，左 - 小＜0. ◆类型二　运用数轴化简绝对值 (2) 化简：|b - c| + |b - a| - |c - a|. 0 a b c 解：因为 b - c＜0，b - a＞0，c - a＞0， 所以 |b - c| = -b + c，|b - a| = b - a，|c - a| = c - a. 原式 = (-b + c) + (b - a) - (c - a) = -b + c + b - a - c + a = 0. 总结 含绝对值的整式化简问题解题步骤： 1. 判断绝对值内的式子的正负； 2. 去绝对值； 3. 去括号； 4. 合并同类项. 10. 有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，则 |a + b| - |b + c| - |a + c| 的值等于多少？ 练一练 a c 0 b 解：因为 a + b＞0，b + c＜0，a + c＜0， 所以 |a + b| = a + b，|b + c| = -b - c，|a + c| = -a - c. 原式 = (a + b) - (-b - c) - (-a - c) = a + b + b + c + a + c = 2a + 2b +2c. 例8 根据图片规律填空. (1) 按上面的方式，搭 2 个正方形需要____根火柴，搭 3 个正方形需要____根火柴. (2) 搭 10 个这样的正方形需要____根火柴. (3) 搭 n 个这样的正方形需要_______根火柴. … 7 10 31 (3n + 1) 【点击此处跳转至几何画板】 4 +3 4 + 3 + 3 4 + 3×9 4 + 3×(n - 1) 专题四：与整式的加减有关的探索性问题 练一练 11. 某餐厅中 1 张长方形的桌子可坐 6 人，按下图方式将桌子拼在一起，n 张桌子拼在一起可坐 ( ) 人. A. 4 + n B. 4 + 2n C. 3n + 4 D. 3n + 2 n = 1 n = 2 n = 3 B 见《学练优》或《新领程》对应课时练习 课后作业 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$