精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定即可解答. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 它的否定是存在量词命题，即，， 故选：B. 2. 今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学． A. 45 B. 48 C. 53 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设出集合得到集合以及中元素的个数，即可得出中元素的个数． 【详解】设集合表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， 表示两科均在90分以上的学生，则集合中有40个元素， 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知中有个元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人， 故选：C． 3. 关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，可知不等式恒成立；当时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】x的不等式对一切恒成立， 当时，不等式对一切恒成立， 当时，时，则有，解得， 所以k的取值范围是. 故选：D 4. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用对数的运算法则可得，再由符号说明表达式即可求得. 【详解】易知， 由可得； 所以，解得. 故选：B 5. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得. 【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：C 6. 已知函数，若为奇函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得恒成立，化简可求. 【详解】因为为奇函数，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以，， 所以，， 故选：D 7. 若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用在上有变号零点列式求解即得. 【详解】函数，求导得， 由函数在区间上不单调，得在上有变号零点， 由，得， 则，令， 于是，即有， 令，函数在上单调递减，函数值从减小到， 在上单调递增，函数值从增大到， 由在上有变号零点，得直线与函数的图象有交点， 且当有两个交点时，两个交点不重合，因此，解得， 所以k的取值范围是. 故选：B 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到奇偶性和单调性，从而令，若仅有一个实数根，则，，此时推出只有两个根，不合要求，若有两个实数根，由对称性可知，故和均有两个解，有根的判别式得到且，结合函数单调性和奇偶性得到. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数， 且当时，恒成立， 故在上单调递增， 由对称性可知在上单调递减，， 令，若仅有一个实数根，则，， 此时，解得或，仅有2个实数根，不合要求，舍去； 若有两个实数根，由对称性可知， 需要满足和均有两个解， 即和均有两个解， 由，解得， 又，故且， 即. 故选：A 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列与角的终边可能相同的角是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同. 【详解】对于A，，因此A正确； 对于B，，因此B不正确； 对于C，，因此C正确； 对于D，，因此D正确. 故选：ACD. 10. 若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 点是图象的一个对称中心 C. 是周期函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，分别令和令，得，可判断结论；B选项，分别令和令，得，可判断结论；C选项，当满足已知，不符合结论，可判断；D选项，令，证得时是3为首项1为公差的等差数列，可求. 【详解】令，则，有， 令，则，得， 又，所以点是图象的一个对称中心，故A正确； 令，则， 令，则，又， 所以点是图象的一个对称中心，故B正确； 设，符合题意，但不是周期函数，故C错误； 令，有，则， 令，有，， 所以时是3为首项1为公差的等差数列， 这样，故D正确. 故选：ABD 11. 已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先令，参变分离化简，得，我们将题中函数零点个数问题转化为，函数交点问题，然后求得a的取值范围；利用图像可知两个零点的大小关系，然后去验证两个关系即可；然后利用两个的关系，利用基本不等式判断；假设正确，利用零点与的关系消元，然后利用不等式性质以及构造函数证明即可. 【详解】令， 令， 由题可知，，， 令，得， 显然，当时，，所以单调递减； 当时，，所以单调递增； ，得示意图 所以都符合题意，故A错误； 由示意图可知 ， 显然， 当且时，易知取两个互为倒数的数时，函数值相等， 因为，所以互为倒数，即，故B正确； ， 等且仅当时等号成立， 因为，所以，故C正确； 因为，要证， 即证， 因为，所以， 即证， 我们分别证明，， 证明： 因为， 所以， 证明： 要证，即证， 不妨设，得， 显然，当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 故，故，即， 所以证得，即证得， 即得，故选项D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：零点问题解决的关键是转化，有变量的式子，我们经常参变分离，然后将零点问题转化为两个函数的交点问题，画图判断即可；对于选择题中的一些选项，我们可以假设正确，然后验证即可；题中存在多个变量，我们经常需要找到变量之间的关系，然后消元，变成一个变量，然后解决即可. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为钝角，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系以及平方关系即可求得结果. 【详解】由可得，即， 又因为，可得， 因此可得，即得， 又因为为钝角，所以. 故答案为： 13. 已知，，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 14. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题即可. 【详解】函数，求导， 令，求导， 函数在上单调递增，当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，因此函数在上单调递增， 当时，，即， 函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，此时，即； 在上单调递增，此时，即， 由对任意的，存在唯一的使得， 得是的子集， 即，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 已知数列满足，且． （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简已知条件，根据等比数列的知识求得正确答案. （2）先求得，然后利用错位相减求和法求得. 【小问1详解】 由得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 当时，. 当时，由， 得， 两式相减得，也符合， 所以. 所以， 所以， 两式相减得， 两边乘以得. 16. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间； （2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）有极大值，极小值，单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出的定义域，求导，由得到或2，验证后舍去，满足要求，求出的单调区间，并得到极值情况； （2），定义域为，求导，得到的单调性及，根据得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 ，定义域为， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，解得或2， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时为极小值点，不合要求， 当时，， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时为极大值点，满足要求， 综上，，有极大值，极小值， 单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 ，定义域为， 则， 因为，所以， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令得，，解得， 故实数a的取值范围是. 17. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表： 近视情况 每天看电子产品的时间 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ． （1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； （2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ （3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值． 【答案】（1）认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）假设为：学生眼睛近视与长时间使用电子产品无关，求得，再根据小概率值判断； （2）根据给定条件，利用组合计数问题及互斥事件的概率公式计算即得. （3）分别求得，，，再将概率相加即可求解． 【小问1详解】 零假设为：学生眼睛近视与长时间使用电子产品无关． 计算可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为眼睛近视与长时间使用电子产品有关． 【小问2详解】 每天看电子产品超过一小时的人数为， 则， 所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是． 【小问3详解】 依题意，, , , . 则， ， 事件包含两种情况： ①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时； ②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时， 于是， 所以． 18. 已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． （1）过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； （2）若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由题意先求出双曲线方程，即可确定，进而设出直线方程求得坐标，即可求得答案； （2）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设其方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，结合化简，可得的关系，即可求得直线所过定点坐标，再说明直线斜率不存在时也过该定点，即可证明结论. 【小问1详解】 由题意知， 设，故， 则 ， 当时，取到最小值，即， 又，则， 故双曲线方程为； 将代入可得，由于是双曲线在第一象限内的点，故， 又双曲线渐近线方程为， 不妨设QA方程为，联立， 解得，则, 设QB方程为，联立，得， 则， 由双曲线渐近线方程可知，则, 则为钝角，结合，可得， 故四边形OAQB的面积为； 【小问2详解】 证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为，设， 联立，得， 则， 因为，故， 故 即， 可得 即得或； 当时，直线l方程为过点，不合题意； 当时，直线l方程为过点； 当直线l的斜率不存在时，设其方程为，则可取， ，解得或， 时，直线l过点Q，不合题意； 时，直线l也过点， 综合上述，直线l过定点. 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线类题目，比如面积问题以及定值定点问题，解答的思路并不困难，难点在于复杂的计算，并且基本都是字母参数的运算，计算量较大，需要十分细心. 19. 已知函数，． （1）求在上的最大值； （2）求过点且与曲线相切的直线方程； （3）证明：，． 【答案】（1）0 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，求函数的最大值. （2）利用导数的几何意义求切线方程. （3）分别利用（1）（2）的结论，令，构造不等式，借助等比数列的前项和与数学归纳法证明. 【小问1详解】 因为，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以. 【小问2详解】 因为， 所以，. 设切点坐标为：，切线斜率为：， 所以切线方程为：. 因为切线过点，所以 可得：. 由（1）得：. 所以切点为，切线斜率为. 所以切线方程为：即. 【小问3详解】 由（1）得：，当且仅当时取“”. 所以当时，. 令，则， 所以. 设，， 则，， 再设，， 则 所以在上为增函数，又， 所以在上有， 所以在上为增函数，又， 所以当时，. 所以，. 令，则. 所以，欲证：，只需证即可. 下面用数学归纳法证明： 当时，，，所以成立； 假设，时，不等式成立， 则，时 . 因为， 所以成立. 即，不等式亦成立. 综上可知，对，不等式恒成立。 所以对成立. 综上：，成立. 【点睛】方法点睛：此题的第三问应该从第一、第二问的结果出发，探索（1）（2）问结论的应用，才能构造有关数列的不等式的证明.另外，数学归纳法证明有关数列的不等式也是该想到的一个常用方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 今年高二（1）班同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学． A. 45 B. 48 C. 53 D. 43 3. 关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 5. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数，若为奇函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列与角终边可能相同的角是（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 点是图象的一个对称中心 C. 是周期函数 D. 11. 已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为钝角，，则________． 13. 已知，，则的最大值是________． 14. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，且． （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 16. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间； （2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 17. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表： 近视情况 每天看电子产品时间 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10828 ． （1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； （2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ （3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值． 18. 已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． （1）过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； （2）若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 19. 已知函数，． （1）求在上的最大值； （2）求过点且与曲线相切的直线方程； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$