精品解析：重庆市巴蜀中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

6学科网6组卷网 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自已的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填 写清楚 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分150分，考试用时120分钟 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1.命题x∈R+2x+1≥0 的否定是() A.3r∈Rx2+2x+1≥0 B.3r∈Rx2+2x+1<0 c.x∈Rx2+2x+1>0 D.x∈Rx2+2x+1<0 【答案】B 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定即可解答 【详解】命题x∈R,+2x+1≥0为全称量词命愿， 它的否定是存在量词命题，即reR.X2+2x+1<0 故选：B. 2.今年高二(1)班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分.考试成绩非常 第1页/共29页 命学科网命组卷网 优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人， 这两科均在90分以上的有40人，高二(1)班共有()个同学. A.45 B.48 C.53 D.43 【答案】C 【解析】 A,B A,B 【分析】由题意设出集合得到集合 ,B以及AnB中元素的个数，即可得出 AUB 中元素的个数、 【详解】设集合A表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素， 集合B表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素， A∩B表示两科均在90分以上的学生，则集合A∩B中有40个元素， AUB AUB,,.45+48-40=53 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知 中有个 元素， 又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二(1)班共有53人， 故选：C 3.关于x的不等式gx·lg+kgx-1<0对一切x∈R恒成立，则k的取值范围是() A.（0,-4] B.（←0，-4]U[0,+o) c(-40) D.（4,0] 【答案】D 【解析】 【分析】当k=0时，可知不等式恒成立；当k≠0时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组 求得结果 【详解】x的不等式1gx-lgr+k1gx-1=k1g2x+k1gx-1<0, 对一切x∈R恒成立， 当《=0时，不等式对一切∈R 恒成立， [k<0 当k≠0时，x∈R*时1gx∈R,则有△=k2+4<0,解得-4<k<0, 第2页/共29页 学科网命组卷网 (-4,0] 所以k的取值范围是 故选：D 4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开 头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福待定律，即在大显10进制随机数据中，以（∈N,)开 头的数出现的概率 为Pm=lg”+ ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.后来常有数学 爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性·若 2Pm=og,8-lbg2（keN,k≤19) n= log:2+l0g:5 (饭联行号之4=a+++a,化jeN,则的 值为() A.3 B.5 C.7 D.9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用对数的运算法则可得 光Pm=lg4 再由符号说明表达式即可求得k=5 【详解】易知 龙P0W=g,8-og31b84-1g4 log,2+l0g,5 log:10 20 20 由PD=g+1>P()=gk =1g n可得 (kk+1 19 k 20 Ig =1g4 所以k ,解得k=5 故选：B 5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3 第3页/共29页 命学科网组卷网 圈，若小轮的半径为2cm,则小轮每秒转过的弧长是()cm. π A.10π B.5π C.3 D.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得. 3×25 =5 【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为15 5×2ππ 因此小轮每秒钟转的弧度数为606， Zx2cm=元cm 所以小轮每秒转过的弧长是6 3 故选：C 6已知画数)=t-6r,若g=fx+a-b 为奇函数，则() A.a=2b=16 B.a=-2b=-16 ca=-2b=16 D.a=2b=-16 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数定义可得f+a)-b+f（-x+@)b=0恒成立，化简可求a,b 第4页/共29页 6学科网命组卷网 【详解】因为8)=fx+a)-b为奇函数，f)=r-6, 所以fx+0-b+f(-x+a)-b=0 所t以(x+a°-6(x+a-b+(-x+a-6(-x+a}-b=0, 所以(x+a°-6(x+a-b-(x-a)3-6(x-a}-b=0 所以(6a-12)r+2a3-12a2-2b=0 所以6a-12=0,2a-12a2-2b=0 所以a=2,b=-16. 故选：D 7若函数)=r+依-1)r++5)r+2在区间0,3)上不单调，则太的取值范围是（） A.（4,-3) B.（5,-2) c（-5,-3) D.(4-2) 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数 的号数f),利用fw在0, 在 ’上有变号零点列式求解即得 【详解】函数f=r+化-1+k+5r+2,求导得()=3x+2认-r+k+5, 由函数) 在区间0,3刃上不单满，符刊在0,3刃上有变号季点。 由f'()=0,得3x+2k-lx+k+5=0分-k(2x+1)=3x2-2x+5 则4h2x+)=32-4:2x+20,令2x+1=1∈0,7)， 9 于是-4kt=3t-1)2-4(-1)+20=32-10t+27,即有 -4k=3(t+)-10 第5页/共29页 6学科网命组卷网 令80=30+3-101<17 函数8()在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8， 104 在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到7， 由刊在0,3》上有变号零点，得直线"=4与西数”=80,1<1<7 众 的图象有交点， 且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8<-4k<20,解得-5<k<-2, (-5,-2) 所以k的取值范围是 故选：B 8已知函数)=c+e,若关于x的方程f(:+)=k有4个不同的实数根，则k的取值范围是( e+e u(av-o）) D e+e 4,e2+e 【答案】A 【解析】 【分析】先得到f)=©+e“的奇偶性和单调性，从而令x2+x=t,若f()=k仅有一个实数根， 则=0，k=2,此时推出只有两个根，不合要求，若回=水有两个实数根，由对称性可知 1 6=-4,故x2+x-4=0和2+x+(=0均有两个解，有根的判别式得到4<<4且4≠0，结合函 【详解)f)=e+e的定义域为R.且f(-)=e+e=f树 第6页/共29页 命学科网命组卷网 故f()=e+e 为偶函数， 且当x>0时，f')=e-e>0恒成立， 故f)=e+e在(0，+o)上单调递增， 由对称性可知f(在（←0,0）上单调递减，fm=f(0)=2, 令2+x=t,若f0=k仅有一个实数根6，则6=0，k=2, 此时？+x=0,解得5=0或1，仅有2个实数根，不合要求，合去； 若f)=水有两个实数根，由对称性可知5=-千， 需要满足+X=4知式+x三均有两个解， 即了+x-4=0和+x+=0均有两个解， <<4 1 由△=1+4t>0,△=1-4>0，解得4 1 又40，故444且4≠0， 即k=f)=e+e∈ 故选：A 【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数：②分别作出内层 函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围：③内外层函数相结合确定函数交点个数， 即可得到复合函数在不同范围下的零点个数 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 第7页/共29页 6学科网命组卷网 9.若tana-V5 则下列与角的终边可能相同的角是() 4π 5元 A.3 B.3 +π C. 3,k∈Z D.2m-2π 3,k∈Z 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同 4=5 tan 【详解】对于A, ,因此A正确： 5π 对于B, tan 3 因此B不正确： 对于C, tan 3 因此C正确： 2π 对于D, tan 3 3 因此D正确， 故选：ACD. 10若定义在R上的西数满足：对征意y∈R都有x+月=f-)+f0-》且f0)=2, 则下列结论一定正确的是() (-2,0)。f(x) (0,2)。f(x) A.点 图象的一个对称中心 B.点 是 图象的一个对称中心 c.J(r) 周期函数 D.f(2025)=2027 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，分别令x=y=-1和令y=-X-2,得(-)=-f(x-3),可判断结论，B选项， 第8页/共29页 6学科网列组卷网 分别令x=y=1和令y=-x+2,得(x-)+f八x+)=4,可判断结论，C选项，当f()=x+2满 足己知，不符合结论，可判断，D选项，令y=0,证得∈N时f(k》是3为首项1为公差的等差数列， 可求/(2023) 【详解1令x=y=-1,则/（-2)=2f(-2),有f(-2)=0 令y=-x-2.则f（-2)=f(-)+f(-x-3列=0.得f(-1)=-f(x-3), -H-》-之，质点(20是0调象的一个对事中心故入里京： 又2 令x=y=1,则f(2)=2f(0)=4 (x-1)+(x+-0 令y=-x+2,则f(2)=f(x-1)+f(-x+1)=4,又2 0,2)▣f(x) 所以点 是 图象的一个对称中心，故B正确： 设()=+2，符合题意，但不是周期函数，故C错误； 令x=y=0,有f(0)=2/(-)=2则f(-)=1, 令y=0,有f)=fx-)+f-)=f(x-)+1.f()=f(0)+1=3 所以keN时{/(}是3为首项1为公差的等差数列， 这样f2025)=f0+(2025-0x1=2027 故D正确， 故选：ABD 1.已知函数f)=(x-)血x-a-a(a≠0)在区间0，+∞)上有两个不同的零点，，且<， 则下列选项正确的是() 第9页/共29页 命学科网命组卷网 A.a的取值范围是(0，) B.x3=1 c(x+)(x+)>4 D.x+2a+2+4 【答案】BCD 【解析】 a=x-IInx 【分析】先令f()=0,参变分离化简，得“x+1,我们将题中函数零点个数问题转化为，函数交 点问题，然后求得的取值范围；利用图像可知两个零点的大小关系，然后去验证两个关系即可；然后利 4 用两个的关系，利用基本不等式判断(：+(：+)>4，假设" Inx +2a<Inx2 Inx +2a+- 3正确， 利用零点与的关系消元，然后利用不等式性质以及构造函数证明即可 【详解】令f)=(x-l)nx-ax-a=0→a= -Inx x+1, 令8()=nx x+1 白题可知.8(6)=85)=a:g)-2h+- x(x+1)2, 令g(四n+0得 x(x+1)2 显然当e(0,8(k0,所以()-=nx。 x+1单调递减； 当*e+.8(小0，所以g)-nx x+1 “单调递增； 80=0,每3()=nx x+1“示意图 第10页/供29页 6学科网命组卷网 VA y=g(x) a y-a 2 所以a>0都符合题意，故A错误： 由示意图可知<1<5 显然8 -11-x-1mx=g(x). +1x+1 1 当x>0且x≠1时，易知x取两个互为倒数的数时，函数值相等， 因为8()=8()=a,所以，互为倒数，即3=1，故B正确： (x+1)(x2+1)=x2+(x+x2)+1≥xx2+2V5+1=4 等且仅当=名=引时等号成立， 因为<1<，所以：+1(：+刊>4，故C正确： 4 因为为2=1，要证 In x +2a<Inx2 Inx +2a+ 3, n5+2a<1n5<-n+2a+手a<n6<a+ 2 即证 3, a--n 因为g(x)=g(x32)=a,所以“x2+1 2 n<n5<5-nx+名 即证x2+1 x2+1 3, 第11页/共29页 6学科网列组卷网 点-n5<ln5hx<5ln6+号 .2 我们分别证明x2+1 x2+1 3, x2-1nx2<lnx 证明x2+1 1<x2 因为 n6>0.0<-1<+1→5<1→5n与<1n6 所以 x2+1x2+1 匠明血<5n5+名 2 x2+1 3: rh6<5-n 2 Inx2+ 要证 x2+1 3,即证3lnx2<x2+1, 不妨设()x+1-3nx(>).得()=1-子 显然，当x∈，3)时，（四<0，此时(）单调道减， 当xe(3,+∞)时，()>0，此时()单调递增， 放h()≥h(3)=4-3血3>0，故x+1-3mx>0,即x+1>3nx, 所以证得3lnx2<x2+1,即证得 a血x3<-x2 1nx2+3, x2+1 4 Inx +2a Inx,<Inx +2a+ 即得 3,故选项D正确。 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：零点问题解决的关键是转化，有变量的式子，我们经常参变分离，然后将零点问题 转化为两个函数的交点问题，画图判断即可；对于选择题中的一些选项，我们可以假设正确，然后验证即 可；题中存在多个变量，我们经常需要找到变量之间的关系，然后消元，变成一个变量，然后解决即可 第12页/共29页 6学科网6组卷网 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分) 1 12.已知a为钝角， tana=-3,则sina= V10 【答案】10 【解析】 【分析】根据同角三角函数之间的基本关系以及平方关系即可求得结果. _1sin_1 【详解】由 ana=-3可得cosa3,即cosa=-3sina, 又因为sin'a+cos2a=l,可得sina+(-3sina/=l, 因此可得10sin'a=1,即得sina=±0 10, 又因为a为钝角，所以sina=Yd 10 10 故答案为：10 ab 13.已知a,b∈R,4a+b=1,则a+b的最大值是 【答案】9 【解析】 1 11 ab 1.1 【分析】先求出。+方的最小值，再将。十b化为。+方，即可求得答案 【详解】因为a,b∈R,4a+b=1 第13页/供29页 命学科网命组卷网 b,4a=9」 b 4a 1 当且仅当ab,结合4a+b=1,即a=6b= 3时等号成立， ab 11 所以a+bI≤9 a b a+6的最大值是g 1 故答案为：9 1 14对于函数f()=e-r+a,g(x)=xnx,若对任意的∈[0，】，存在唯一的ee,e使得 f(:)=g(),则实数a的取值范围是 (-1- 2 【答案】 .l] 【解析】 【分析】借助导数研究单调性，并求出函数在给定区间上的值域，再结合集合包含关系，列出不等式解题 即可 【详解1函数f=e-r+a,求导f'(x)=e-2x】 令h0=e-2r,求导h(=e-2 函数h(在R上单调递增，当x<n2时，h()<0,当x>ln2时，N()>0, 则函数'()在（-0，l血2)上单调递减，在血2，+）上单调递增， 则()2f'(血2)=21-h2)=2(0me-lh2)>0,因此函数()在R上单调递增， 当∈[0，时，f(o)sf(s)sf(0),即f(x)e[+a,e-l+a 第14页/供29页 命学科网命组卷网 西数80=hxx∈[，d,求导得8'()=nx+1, ge尽2时.g0,当*e6,g小0 11 商数s在日总L.g产目.助≤g(名 香qd上单时送.时日5g()5ge,自≤g)se, 由对任意的5∈[0,1】，存在唯-的∈[。d使得f()=g), 2 得+ae-l-a是e,eu( e的子集， 1+a>- 即 e e-1+asc'解得-1-2 <asl, 所以实数a的取值范围是 12 .1] 故答案为： 12 ,l] 【点睛】关键点点睛：本题关键是将题目转化为值域之间的包含关系，再借助导数研究单调性，得到值域 四、解答题（共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 1 15已知数列a}满足020，+1 ,且a=1 （4)求证：{a,-2是等比数列，并求出a,}的通项公式： 第15页/供29页 6学科网6组卷网 （2)若数列，}满足么+6++6.=a,求数列b,}的前n项和 【答案】(1)0n=2 (2)7-4*2 2-1 【解析】 【分析】(1)化简已知条件，根据等比数列的知识求得正确答案. (2)先求得也，}，然后利用错位相减求和法求得7。、 【小问1详解】 -0+10-2--2 1 所以数列{口。一2}是首项为4-2=-1，公比为2的等比数列， 82-付g-2-日” 【小问2详解】 自)A+++6=2-. 当n=1时，6=1 当n22时商+6++么2-门， 4+6+42- 第16页/供29页 6学科网列组卷网 4” 23x 所以7=1x1+2x 22+…+nx、 2寸 7=1×2+2 1 1 1 2+…+n 22+3 1 所以2 2 2, 1 111n1/ 两式相减得27。=1+ 22”2 222+…+ 1-12 -2、n+2, 2 2” 两边乘以2得7=4”+2 2-1 16已知函数f)=r-3ar,g()=a2lnx (1)若函数 ()=f闭+8)在x=引处取得极大值，求” h(x) 的极值及单调区间： (2)若0>0，不等式)>2g()对切xeR恒成立，求实数a的取值范周. 【答案】1))有极大值0=1-6=-5，极小位h(2)=4血2-8，单调递增区间为(0,1)，(2，+o) 单调递减区间为(12) 【解析】 h(x) 【分析】(1)求出的定义域，求导，由 0得到0=l或2，验证后a=1舍去，a=2 h)=0 足要求， h(x) 求出 的单调区间，并得到极值情况： (2)o()=r-3ar-2anx,完义域为0，+切），求导，得到0（的单调性及 第17页/共29页 命学科网命组卷网 p(x)nm=p(2a）=-2d-2ah2a,根据2a2-2a1h2a>0得到实数a的取值范围. 【小问1详解】 hw)=fx)+g)=r-3ar+a1hx,定义域为(0，+o）, 则h()-2x-3+g_2r-3ar+ad_2x-aojc-a） 因为函数 )=/闭+80在x=l处取得极大值， 所以h0=(（2-a1-a)=0,解得a=1或2， 当a=1时，h)=2x-x-) 令h(x)>0得x>1或 0<x<2,令hx)<0得2x 此时x=1为极小值点，不合要求， 当a=2时， hm=(2xr-2x-2) 令i)>0得x>2或0<x<1,令闭<0行1<x<2 故()在(0,1)，(2，+0）上单调递增，在L,2)上单调递减， 此时x=1为极大值点，满足要求， 综上，h)=r-6x+4nx,h有极大值h0=1-6=-5,极小值h(2)=4血2-8 单调选增送间为Q,2+切），单调递读区间为，2) 第18页/共29页 6学科网6组卷网 【小问2详解】 p(d)=f-2g=r-3ar-2anx,定义域为0，+w）, 则0'6)=2x-3a-24-2r-3ar-2a2-2r+a0x-2a） 因为a>0,所以2x+a>0, 令p'()>0得x>2a,令p()K0得0<x<2a, 故()在0,20)上单调递减，在(2a,+）上单调递增， 则p(xm=p(2a）=4a2-6a2-2a2n2a=-2a2-2a2n2a 令-2a2-2a2ln2a>0得，ln2a<-1,解 0<a<1 2e, 故实数a的取值范围是 0,。 2e) 17.为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进 行了统计，得到如下的列联表： 每天看电子产品的时间 近视情况 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第19页/共29页 学科网组卷网 X2 n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)· （山)根据小概率值=0.05的X独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关： (2)在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ (3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X,每天看电子产品超过一小 P(X=Y) 时的人数为Y,求 的值 【答案】(1)认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关： 69 (2)91: 53 (3)100 【解析】 【分析】(1)假设为 H,学生眼睛近视与长时间使用电子产品无关，求得父，再根据小概率值 =0.05 判断： (2)根据给定条件，利用组合计数问题及互斥事件的概率公式计算即得. (3)分别求 P(X=Y=0)P(X=Y=1)P(X=Y=2) ,再将概率相加即可求解。 【小问1详解】 零假设。为：学生眼睛近视与长时同使用电了矿产品无关。 计算可得，x2 50×(10×25-10×5)2400 15×35×20×30 63 ≈6.349>3.841=X05, 根据小概率值α=0.05的X独立性检验，我们推断 ,不成立，即认为眼睛近视与长时间使用电子产品 有关。 【小问2详解】 第20页/共29页 命学科网命组卷网 每天看电了产品超过小时的人数为5， 则P(5≥2)=PG5=2)+P5=3)=C2C+C_45x5+120_69 Cis Cis 455 91, 69 所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是91，. 【小问3详解】 依题意， P(近视且超过一小时)=10- 505, P(近视且一小时内)=5=1 5010, P(不近视且超过一小时)=10=！ 505, P(不近视且一小时内=251 502 111 则PX=Y=0=2×24. pX=Y=2)=5x525, 1.11 事件X=Y=1包含两种情况： ①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时： ②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时， P(X-Y-D-C!xixi+Cx-x-6 于是 25 51025. 1,1,653 所以P(X=Y)=P(X=Y=0)+P(X=Y=1)+P(X=Y=2)=42525100. 第21页/共29页 6学科网命组卷网 x2 y2 18已知双曲线C:京一F-1a>0,b>0)的离心率为V5,斤，F分别为其左、右焦点，P为双曲线上 任一点，0(3，m是双曲线在第一象限内的点，P听·P丽的最小值是-2. Q(3,m) (1)过点 分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A,B两点，O为坐标原点， 求四边形OAOB的面积： (2)若不过点Q的直线1与双曲线交于不同的两点M,N,且满足 QM⊥QN ,证明：直线N过定点， 并求出该定点坐标 2 【答案】(1)2 （-9,12) (2)证明见解析： 【解析】 Q3,4) ,B 【分析】(1)由题意先求出双曲线方程，即可确定 进而设出直线方程求得 坐标，即可求得 答案： y=kx+m (2)分类讨论，当直线1的斜率存在时，设其方程为 ,联立双曲线方程，可得根与系数的关系， 结合QM·QN=0化简，可得k,m的关系，即可求得直线所过定点坐标，再说明直线斜率不存在时也过 该定点，即可证明结论 【小问1详解】 由题意知 F(-c,0),F(c,0) 反K,.故浮答1 则PEPF=(-e-,-%)(c-,)=x+-c2 第22页/供29页 学科网 组卷网 6哈+-c2= 627-62 当后=0时，P所P丽取到最小值b2,即=-2=2， 故双曲线方程为、少 =1 将士3 入可得'=4，由于D8,m是双胎线在第一象限内的点，放号 2(3,4) 又双曲线渐近线方程为y=±V2x」 y=√2x 不妨设OA方程 为y-4=2(x-3)联立y-4=-2(x-3) V51+36W2 解得 2 0,4--4i-》号 y=√2x 网--9- 第23页/供29页 6学科网列组卷网 由双曲线渐近线方程可知an乙AOx=V2,则an∠A0B=am2∠AOx=2N2 =-2√2 1-2 则∠AOB为钝角，结合sin2∠AOB+cos2∠AOB=1,可得sin<AOB、2V2 3 故四边形Q408的面积为0,08sin∠A0B=51+36巨.y51-36互.22V2 2 32 【小问2详解】 证明：当直线I的斜率存在时，设其方程为y=c+m,设M(),N(:,) 2x2-y2-2=0 联立y=+m，得(2-k2)x2-2kx-m2-2=0,△，=8m2-8k2+16>0, 2km 则+x2=2二k2xX2=2-斤2 因为OM1QN,故QM·QN=0 故2MQ=(G-3,y-4)(-3,-4) =(x-3(x-3)+(+m-4)(3+m-4) =(1+k2)xx+[k(m-4)-3](:+3)+9+(m-4}=0 ++[-小9+(a-4-0, 可得m2-(6k+16)m-27k2+48=0 即得m=9k+12或m=-3k+4: 当m=-3k+4 ，直线1方程为'=-3水+4过(3,4 过点 不合题意： 第24页/供29页 6学科网列组卷网 当m=9k+12时，直线1方程 y=kx+9k+12-（-9,12) “过点 当直线1的斜率不存在时，设其方程为x=1,则可取M(V27-2),N-V2r2-2】 00M=-3,2r2-2-4}-3,-V2-2-4 =(-3}+16-2r2+2=0,∴+61-27=0，解得1=3或t=-9, t=3 时，直线I过点，不合题意： 1=9时，直线1也过点 -9,12) (-9,12) 综合上述，直线1过定点 【点睛】难点点睛：解答圆锥曲线类题目，比如面积问题以及定值定点问题，解答的思路并不困难，难点 在于复杂的计算，并且基本都是字母参数的运算，计算量较大，需要十分细心 19.已知函数f)=nx.g)=(x+1)nx 求)=f)-x+l在0+四)上的最大值： 在 (2)求过点0，-2》且与曲线'=8闭相切的直线方程， 8:aN.音2+ 【答案】(1)0(2)2x-y-2=0 (3) 由(1)得：lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时取“=”. 所以当x>1时，lnx<x-l. 第25页/供29页 6学科网6组卷网 0别 i设h()=(x+血x-2x+2,x>1, 则h'()=血x+1-1 x,x>1, 再设m()=血x+1-1 x,x>1, 则(0士县0 所以m()在山+切)上为增函数，又m0=0, 所以h(在，+∞）上有（四>0， 所（在，+o）上为增函数，又h0=0, 所以当x>1时，(x+)nx-2x+2>0 所以+10hr>2x-2→n>2-2 x+1,x>1 4 2 2+ 2-3"+1 下面用数学归纳法证明： 第26页/共29页 6学科网列组卷网 214312>43 当m=1时。3中2，行3中2，所以∑3+产行3+1成立 2.2 2、43 假设n=k,k∈N,时，不等武3十十3+++3+之行3+1成立， 则n=k+l,k∈N时 ，2一+…+ 2 21 2、43,241 3'+132+13+13++153+13++153++1. gggg小6 22+…+2+2、43 所以3+132+1 中3*+13刊+153+2+1成立. n,N不之2 3 条上a.对aN不德2)产号 43 【解析】 (x) 【分析】(1)求导，分析函数 的单调性，求函数的最大值： (2)利用导数的几何意义求切线方程 2 (3)分别利用(1)(2)的结论，令x=1+ ”，构造不等式，借助等比数列的前n项和与数学归纳法证 明. 第27页/共29页 6学科网列组卷网 【小问1详解】 因%o)=血x-x1,x>0,所)=是1-1 由0()>0→0<x<1,由()<0今x>1 所以函数p()在(0,1)上单调递增，在山，+0)上单调递减 所以0()x=p)=ln1-1+1=0 【小问2详解】 因为8()=(x+l)血x.x>0 防以g)=n4+小hr+,x>0 设切点坐标为：（伍(，+）血)，切线斜率为：8()=血。+ 因%这a2u2-+加*+la- 可得： lnx,-x+1=0 由(1)得：=1 所以切，点为1,0)，切线斜率为8（四=2 所以切线方程为：y=2(x-)即2x-y-2=0 【小问3详解】 略 第28页/供29页 6学科网命组卷网 【点睛】方法点睛：此题的第三问应该从第一、第二问的结果出发，探索(1)(2)问结论的应用，才能 构造有关数列的不等式的证明另外，数学归纳法证明有关数列的不等式也是该想到的一个常用方法， 第29页/共29页 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（ ）个同学． A. 45 B. 48 C. 53 D. 43 3. 关于x的不等式对一切恒成立，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若（说明符号），则k的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 5. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知函数，若为奇函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 若函数在区间上不单调，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若关于x的方程有4个不同的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若，则下列与角的终边可能相同的角是（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ） A. 点是图象的一个对称中心 B. 点是图象的一个对称中心 C. 是周期函数 D. 11. 已知函数在区间上有两个不同的零点，，且，则下列选项正确的是（ ） A. 的取值范围是 B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知为钝角，，则________． 13. 已知，，则的最大值是________． 14. 对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知数列满足，且． （1）求证：是等比数列，并求出的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前n项和． 16. 已知函数，． （1）若函数在处取得极大值，求的极值及单调区间； （2）若，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． 17. 为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表： 近视情况 每天看电子产品的时间 合计 超过一小时 一小时内 近视 10人 5人 15人 不近视 10人 25人 35人 合计 20人 30人 50人 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ． （1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关； （2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？ （3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值． 18. 已知双曲线的离心率为，，分别为其左、右焦点，P为双曲线上任一点，是双曲线在第一象限内的点，的最小值是． （1）过点分别作双曲线C的两条渐近线的平行线，与渐近线分别交于A，B两点，O为坐标原点，求四边形OAQB的面积； （2）若不过点Q的直线l与双曲线交于不同的两点M，N，且满足．证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标． 19. 已知函数，． （1）求在上的最大值； （2）求过点且与曲线相切的直线方程； （3）证明：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $