3.4 第5课时 方案问题（讲解课件）-【优翼·学练优】新教材2024-2025学年七年级数学上册同步备课（湘教版2024）

3.4 一元一次方程模型的应用 第 5 课时 方案问题 第3章 一元一次方程 ÷ 七年级上册数学（湘教版） 1. 会列一元一次方程解有关分段计费、方案设计等问题，在具体情境中建立方程模型. 2. 体验建立方程模型解决问题的一般过程；体会模型转化和方程思想，增强应用意识和应用能力. 3. 体会分类讨论思想和方程思想，感受数学与生活的联系，激发学生学习数学的热情. 重点：在实际背景中找到等量关系，建立分段计费问 题和方案设计的方程模型，并解决实际问题. 难点：理解题意，将实际问题转化为数学问题. 教学目标 探究 现有树苗若干棵，计划栽在一段公路的一侧，公路的两端各栽 1 棵，并且相邻两棵树的间隔相等. 方案一：如果每隔 5 m 栽 1 棵，则树苗缺 21 棵； 方案二：如果每隔 5.5 m 栽 1 棵，则树苗正好用完. 根据以上方案，请算出原有树苗的棵数和这段路的长度. 情境导入 (1) 相邻两树的间隔长与应植树的棵数有什么关系？ (2) 相邻两树的间隔长、应植树棵数与路长有怎样的数量关系？ 分析：观察下面植树示意图 想一想： 方案问题 1 探究新知 设原有树苗 x 棵，由题意可得下表： 方案 间隔长 应植树数 路长 一 5 x + 21 5(x + 21 - 1) 二 5.5 x 5.5(x - 1) 本题中涉及的等量关系有： 方案一的路长 = 方案二的路长 解：设原有树苗 x 棵，根据等量关系， 得 5(x + 21 - 1) = 5.5(x - 1) ， 解得 x = 211. 因此，这段路长为 5×(211 + 20) = 1155 (m). 答：原有树苗 211 棵，这段路的长度为 1155 m． 间隔问题应用比较普遍，如路边种树，街道装路灯等． 需要注意： (1)两个端点都种上树(装上灯)，则树数－1＝间隔数； (2)两个端点都不种树(装上灯)，则树数＋1＝间隔数． 方法总结 1. 某道路一侧原有路灯 106 盏 (两端都有)，相邻两盏灯的距离为 36 m，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为 70 m，则需安装新型节能灯多少盏？ 答：需安装新型节能灯 55 盏. 练一练 议一议 探究2 购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况. 某人打算从两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息. 如果电价是 0.5 元/(kw.h). 请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 1 级 3 级 售价 3000 元 售价 2600 元 电费 0.5×640×使用年数 元 电费 0.5×800×使用年数 元 分析： 综合费用 = 空调的售价 + 电费 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 设空调的使用年数是 t， 则 1 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是 3000 + 0.5×640t， 即 3000 + 320t 3 级效能空调的综合费用 (单位：元) 是 2600 + 0.5×800t， 即 2600 + 400t 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 问题1： t 取什么值时，两款空调的综合费用相等？ 3000 + 320t = 2600 + 400t 解得 t = 5. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗电量/(kw·h) 1.5 1 级 3 000 640 1.5 3 级 2 600 800 合作探究 问题2：如何比较两款空调的综合费用？ 比较 3000 + 320t 与 2600 + 400t 的大小. 方法一：运用整式的加减 (3000 + 320t) - (2600 + 400t) = 3000 + 320t - 2600 - 400t = 400 - 80t = 80(5 - t) 当 t < 5 时，80(5 - t) > 0， 3000 + 320t > 2600 + 400t； 当 t > 5 时，80(5 - t) < 0， 3000 + 320t < 2600 + 400t. (大数-小数＞0，小数-大数＜0) 合作探究 方法二：把表示 3 级能效空调的综合资用的式子 2600 + 400t 变形为 1 级能效空调的综合费用与另外一个式于的和. 2600 + 400t = (3000 + 320t) + (80t - 400) = (3000 + 320t) + 80(t - 5) 当 t < 5 时，80(5 - t) 是负数， 这表明 3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，80(5 - t) 是正数， 这表明 1 级能效空调的综合费用较低. 问题3：你认为哪种空调更划算呢？ 同样是 1.5 匹的空调，1 级能效空调虽然售价高，但由于比较省电，使用年份长 (超过 5 年) 时综合费用反而低. 根据相关行业标准，空调的安全使用年限是 10 年 (从生产日期计起)，因此购买、使用 1 级能效空调更划算. 当 t = 5 时，两款空调的综合费用相等； 当 t < 5 时，3 级能效空调的综合费用较低； 当 t > 5 时，1 级能效空调的综合费用较低. 合作探究 2. 小翼打算办一张电话卡，有如下计费方式： 月使用费/元 主叫限定时间/min 主叫超时费/ (元/min) 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 设小翼主叫时间为 t，当 t≤150 时，选 划算； 当 时，两种方案计费相等； 方式一 当 时，选择方案二划算. 58 + 0.25(t - 150) = 0.25t + 20.5 88 + 0.19(t - 350) = 0.19t + 21.5 0.25t + 20.5 = 0.19t + 21.5 t = 270 t > 270 练一练 方案问题： ① 要善于分析问题中的不变量，并利用不变量来列方程； ② 要善于用不同的方式表示同一个量，由此得到相等关系，从而列出方程． 课堂小结 1. 某校组织师生去参观三峡工程建设，若单独租用30 座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用 40 座客车，则可少租一辆，且余 20 个座位，求该校参观三峡工程建设的人数． 解：设需要 30 座的车是 x 辆， 根据题意，得 30x＝40(x－1)－20， 解得 x＝6. 参观人数＝30×6＝180 (人)． 答：该校参观三峡工程建设的人数为 180 人． 课堂练习 4. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选 其一. A 计时制：0.05 元/分钟；B 包月制：60 元/月 (限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网 方式都得加收通信费 0.02 元/分钟． (1) 某用户某月上网时间为 x 小时，请分别写出两种 收费方式下该用户应该支付的费用； 解：采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x， 采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x. 解：由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知， 上网时间越长，采用包月制越合算．所以， 当 0 < x < 20 时，采用计时制合算； 当 x＝20 时，采用两种方式费用相同； 当 x > 20 时，采用包月制合算． (2) 你认为采用哪种方式比较合算？ 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $$