精品解析：湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为 A. B. C. D. 3. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 4. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中，则约为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 6. 下列命题中，错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则为（ ） A. B. C. D. 8. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形的对角线，相交于点 O，于点 C，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 12. 函数中，自变量x的取值范围为___________． 13. 在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 14. 已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则______． 15. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“>”连接的结果为________． 16. 如图，一个弹簧不挂重物时长10，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：）关于所挂物体质量x（单位：）的函数图象如图所示，则图中a的值是________． 17. 如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为______． 18. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论中： ①当时，四边形为正方形； ②当时，的面积为15； ③当在运动过程中，的最小值为； ④当时，． 其中结论正确的有______．（把你认为正确结论的序号都填上） 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答题应写出详细过程和解答步骤） 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求k的值及方程另一个根． 21. 庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x 频数 A m B 40 C n D 70 E 24 （1）本次抽样调查的样本容量是_________，频数分布直方图中________，扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数为_________； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 22. 如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数图象与x轴，y轴分别相交于点D，C． （1）填空：______，______； （2）求一次函数的解析式和的面积． （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 24. 清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． （1）请你算出A，B两种商品每件的进价； （2）店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． （1）求m和b的值； （2）直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 26. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动，已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接．将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则的度数为___________； 深入探究：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 问题解决：（3）如图4，当点E在线段上，交于点G，当时，请直接写出线段的长和的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市第九中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的定义，根据如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；结合定义逐项判断即可． 【详解】解：．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，该选项错误，不符合题意； ． 该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项错误，不符合题意； ． 该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项正确，符合题意； ． 该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 2. 已知点的坐标为，则点关于轴对称的点的坐标为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标．关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】解：点的坐标为， 点关于轴对称的点的横坐标为3，纵坐标为， 点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 3. 若，则的值为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】∵， ∴==， 故选：D 4. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中，则约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由黄金分割的定义得，即可得出答案． 【详解】解：由黄金分割的定义得：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的比值是解题的关键． 5. 如图，是的中位线，的角平分线交于点F，，则的长为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】由中位线的性质定理得，，且，由平行线的性质结合角平分线可得，则可求得的长． 【详解】是的中位线，， ，，， ， 是的平分线， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，掌握三角形中位线定理是解题的关键． 6. 下列命题中，错误的是（ ） A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定逐项判断． 【详解】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，故B正确，不符合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误，符合题意； 有一组邻边相等的矩形是正方形，故D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定定理． 7. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点B落在点处，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，根据翻折可得，根据平行四边形可得，所以，从而可得，进而求解． 【详解】解：根据翻折可知：， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 【详解】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0， ∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 9. 如图，平行四边形的对角线，相交于点 O，于点 C，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理先求解，再求解，再结合平行四边形的性质可得答案． 【详解】解：∵平行四边形的对角线相互平分，， ∴， 又∵，故为直角三角形， ∴根据勾股定理可得：，而， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 10. 如图①，是菱形的对角线，，动点从菱形的某个顶点出发，沿相邻的两条线段以的速度匀速运动到另一个顶点，在运动过程中，的长随时间变化的函数图象如图②所示，则菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由图②得：当时，在减小，当时，先变小后变大，可得应从出发沿运动到，再运动到，或应从出发沿运动到，再运动到，设应从出发沿运动到，再运动到，如图，连接交于，再进一步解答即可； 【详解】解：由图②得：当时，在减小， 当时，先变小后变大， ∴应从出发沿运动到，再运动到， 或应从出发沿运动到，再运动到， 设应从出发沿运动到，再运动到， 如图，连接交于， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴当在处时，，即， ∴， 当在处时，，即， 当位于处时，，即， ∴， ∵， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴， ∴菱形的周长为； 故选C 【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意是解本题的关键. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知一个凸多边形的内角和等于，则这个凸多边形的边数为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和定理，能根据题意得出关于n的方程是解此题的关键，注意：边数为n的多边形的内角和． 设这个多边形的边数为n，根据题意得出，求出即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 则， 解得：， 故答案为：6． 12. 函数中，自变量x的取值范围为___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零． 根据分式有意义的条件、二次根式有意义的条件列式计算． 【详解】解：由题意得，， 解得，且， 故答案为：且． 13. 在一次函数中，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质进行解题． 根据一次函数的性质，即可求出k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是：熟练掌握元二次方程根与系数的关系． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， 故答案为：． 15. 若点，，都在反比例函数的图象上，则a，b，c的大小关系用“>”连接的结果为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．根据得到反比例函数图象经过第一、二象限，且在每个象限内随增大而减小，进而得到点，在第一象限，在第三象限，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，且在每个象限内随增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴点，在第一象限，在第三象限， ∵， ∴，即 故答案为：． 16. 如图，一个弹簧不挂重物时长10，挂上重物后，在弹性以内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比，弹簧总长y（单位：）关于所挂物体质量x（单位：）的函数图象如图所示，则图中a的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，渗透了函数与方程的思想，正确应用函数与方程的关系是解题关键． 设一次函数的解析式：，用待定系数法求出解析式，再把代入计算即可． 【详解】解：设一次函数的解析式：， 把，代入， 得， 解得， ， 把代入， 得， 故答案为：． 17. 如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与面积，根据反比例函数的几何意义求解即可． 【详解】如图，交轴于， ∵轴， ∴轴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵过第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，已知一个矩形纸片，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点为边上的动点，将沿折叠得到，连接．则下列结论中： ①当时，四边形为正方形； ②当时，的面积为15； ③当在运动过程中，的最小值为； ④当时，． 其中结论正确的有______．（把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形三边关系，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质并灵活运用即可解题．由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，，得到四边形为矩形，推出四边形为正方形，即可判断①；过点作于点，根据题意得到，，根据折叠的性质和矩形性质推出，根据直角三角形性质得到，利用即可判断②；连接，根据三角形三边关系得到，推出当时，取得最小值，利用勾股定理得到，根据，即可判断③；根据已知条件推出、、三点共线，利用平行线性质和折叠的性质，结合等量代换得到，推出，根据勾股定理算出，推出即可判断④． 【详解】解：①四边形为矩形， ， 将沿折叠得到， ，，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形； ①正确； ②过点作于点， 点，点，， ，， ，， ， ， ， 的面积为， ②正确； ③连接， ，，当时，取得最小值， ，， ， ， 的最小值为， ③正确； ④， ， ， ， 、、三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ． ④错误； 综上所述，结论正确的是①②③， 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，解答题应写出详细过程和解答步骤） 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程， （1）利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ， 或； 【小问2详解】 解：， ， 或． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为，求k的值及方程另一个根． 【答案】（1） 证明：， ， ，即， 论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）k的值为2，方程的另一个根为0． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论k取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）将代入原方程可求出k值，再根据两根之和等于可求出方程另一个根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将代入原方程可得：， 解得：， 关于x的方程为：， ， 方程另一个根为， 答：k的值为2，方程的另一个根为0． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题关键是：（1）当时，方程有两个不相等的实数根；（2）两根之和等于． 21. 庆祝中国共产党建党100周年，某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成A，B，C，D，E五个等级，并绘制了如下不完整的统计图，请结合统计图，解答下列问题： 等级 成绩x 频数 A m B 40 C n D 70 E 24 （1）本次抽样调查的样本容量是_________，频数分布直方图中________，扇形统计图中，D等级对应的圆心角度数为_________； （2）补全学生成绩频数分布直方图； （3）若成绩在80分及以上为优秀，全校共有2000名学生，估计成绩优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）200，16， （2）见解析 （3）全校学生成绩优秀的学生人 【解析】 【分析】本题考查了调查统计的知识；解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解． （1）根据频率分布直方图和扇形统计图的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，计算得等级C的学生人数，根据频率分布直方图的性质补全即可； （3）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案． 【小问1详解】 根据题意，得等级B的学生人数为：40人，等级B的学生人数占比为： ∴本次调查随机抽取的学生总数为：人， 则本次抽样调查的样本容量是200； ∵等级A的学生人数占比为：， ∴等级A的学生人数为：人，即 ； ∴D等级对应的圆心角度数 故答案为：，16，； 【小问2详解】 ∵ ∴等级C的学生人数为：人 频数分布直方图如下： ； 【小问3详解】 成绩在80分及以上的学生人数占比为： ∴全校学生成绩优秀的学生人． 22. 如图，平行四边形的两条对角线与相交于点O，E，F是线段上的两点，且，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）从下列条件：①平分，②，③中选择一个合适的条件添加到题干中，使得四边形为菱形．我选的是 （请填写序号），并证明． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）选①平分， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形 ； 选③， ∵平行四边形， ∴O为中点， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，菱形的判定定理，熟练掌握各判定定理并正确应用是解题的关键． （1）利用证明，得出，然后证明，即可得证； （2）由（1）知：四边形是平行四边形，则要证四边形为菱形，只需证明一组邻边相等或对角线互相垂直即可，如添①平分，则可证；如添③，则可证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数图象与x轴，y轴分别相交于点D，C． （1）填空：______，______； （2）求一次函数的解析式和的面积． （3）当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】（1）3，3； （2），4 （3）或 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，数形结合求不等式的解集，难点是根据图形面积的和差来求的面积． （1）将点代入反比例函数表达式可求出，进而可得反比例函数表达式，再将代入已求出的反比例函数表达式求出； （2）求出点B坐标，然后再将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的表达式；先求出点，可得，然后根据即可得出答案； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入，得：， 反比例函数的表达式为：， 将代入，得：， 点的坐标为； 故答案为：3，3； 【小问2详解】 将，代入， 得：，解得：， 一次函数的表达式为：； 对于，当时，， 点， ， ； 【小问3详解】 由图象可知，当时， 的范围为或． 24. 清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． （1）请你算出A，B两种商品每件的进价； （2）店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】（1）每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元； （2）①(，且为5的正整数倍)；②W与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)；该店所获利润的最大值为1900元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，利用一次函数的性质求最值是解题的关键； （1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元，根据题中等量关系可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再结合，均为正整数，即可得出的取值范围； 根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元， 根据题意，得， 解方程组，得． 答：每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元． 【小问2详解】 （2）根据题意，得， ， ， ， ， 又，为正整数， ， 与之间的关系式为(，且为5的正整数倍) ． 根据题意，得 ， ， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值为， 答：与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)，该店所获利润的最大值为1900元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． （1）求m和b的值； （2）直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①7秒；②存在，或或8 【解析】 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点C，，； （2）①由题意得：，中，当时，，，，即可求解； ②分三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入直线中得：， ∴点， ∵直线过点C， ， 解得； 【小问2详解】 ①由题意得：， 中，当时，， 解得， ∴， 中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得， 则t的值7秒； ②设点，点A、C的坐标为：， 当时，则点C在AP的中垂线上，即， 解得：； 当时，则点P在点C的正下方，故， 解得：； 当时， 同理可得：或（舍去） 故：当或或8时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中②，要注意分类求解，避免遗漏． 26. 综合与探究 问题情境：数学课上，老师引导同学们以“正方形中线段的旋转”为主题开展数学活动，已知正方形中，，点E是射线上一点（不与点C重合），连接．将绕点E顺时针旋转得到，连接． 特例分析：（1）如图1，当点E与点D重合时，则的度数为___________； 深入探究：（2）当点E不与点D重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请在图2与图3中选择一种情况进行证明；若不成立，请说明理由； 问题解决：（3）如图4，当点E在线段上，交于点G，当时，请直接写出线段的长和的面积． 【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3），． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质即可作答； （2）选图2，过点F作交的延长线于点G，先证明．即有，．进而有，，根据等边对等角问题得解；若选图3，过点F作交的延长线于点G，同理先证明．再证明，即可作答． （3）过点F作于点N，过点F作交的延长线于点M，先证明即是等腰直角三角形，即有，进而可得，，，再证明四边形是矩形，即有，，则，再利用等面积法求解，可得，问题随之得解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，． ∴． 由旋转可知， ∴． （2）仍然成立． 若选图2，证明如下： 如图，过点F作交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． 由旋转的性质可知，． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴，即． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 若选图3，证明如下： 如图，过点F作交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形， ∴，． ∴，． 由旋转的性质可知，． ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴，即． ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． （3）如图，过点F作于点N，过点F作交的延长线于点M，则． ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵正方形中，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴． ∴， ， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，二次根式的混合运算等知识，作出合理的辅助线，构造全等三角形，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 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