第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末复习与总结(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

047 章末复习与总结 知识体系构建 厂不等关系与不等式的概念 等式性质 和不等式 等式性质 性质 不子式的基本性质 比较实数的大小（比较法） 基本不等式的变式与拓展 若a+b=S定值)，则当a=b 基本不等式 最值定理 时，ab数得最大值S V師≤豐 a>0.b>0》 求最值的书用方法 若ab=P(足值)，则当a=b时 方程 (a>0,b>0 a+b取得最小值2/P 等式 求天际应用问胞的最值 基本不等 式的应用 比较买数的大小 证明不等式 一元二次不等式的概@念 二次函数与 一元二次方 三个“二次”《一元二次方程的根，一元二次击数 程、不等式 的零点，一元二次不等式的解集)之间的关 一元二次不 利用三个二次” 不含参数的一元二次不等式的解法 等式的解法 之间的关系 合参数的一元二次不等式的群法 核心考点培优 考点 比较大小 例 设eR且-1，试比较十与1-x的大小 [方法总结1] ●[方法总结] 比较大小的常用方法 1.作差法：①作差；@变 形；③定号：@结论，其 中关键是变形，常采用 配方，因式分解、有理 化等方法把差式变成积 式或者完全平方式.当两 考点二解不等式 个式子都为正数时，有 时也可以先平方再 例2解关于x的不等式：ar2+1-a)-1>0(u<0. 作差： 2.作商法：0作商：@变 形：©判断商与1的大 求出方程(ax+1)(x-1)=0的根，分类讨论 小，回结论， 比较大小，然后结合二次函数图象可得结论 3.特值法：若是选择题、 填空题可以用特值法比 [方法总结2] 较大小：若是解容题， 可先用特值探究思路， 再用作差或作商法判断 注意：用作商法时要注 意商式中分于与分母的 正负，否则极易得出相 反的结论」 048 [方法总结2] 考点三不等式恒成立问题 一元二次不等式可结 合二次函数图象求 例3已知不等式m-m-1<0.已短”设有说明是一元二次不爷 式，故雷讨论二次项系致是否为零 解，一是注意开口方 (1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围： 向，二是分清含参数 (2)若x∈{x1≤x≤3时不等式恒成立，求实数m的取值范围： 两根的大小， (3)若满足Im1≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取 值范围.令u=m2--1=(x-x)m-】可看作是关于m的一次函数 [方法总结3] ●[方法总结3] 不等式恒成立求参数 范图的方法 1,数形结合法：利用不 等式与函数的关系将 恒成立问题通过函数 图象直观化： 2.分高参数法： 3,变更主元法：根据实 考点四不等式的实际应用 际情况的需要确定合 适的主元，一般知道 例年北京张家口202年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会， 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次 取值范国的变量右作 评估.该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件. 主元。 (1)据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2000件，要 使销售的总收入不低于原收入，问该商品每件的售价最高为多 [方法总结4] 少元？ 基本不等式通常用来 (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决 求最值，一般用a+b 定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高售价 ≥2a5(a>0,b0) 解·定积求和，和最 到x元.公司拟投入。(：-60)万元作为技改费用，投入50万元 小·问题，用ab< 地解宽和求 作为固定宜传费用，投入万元作为活动宜传费用.试问：当该商 品改革后的销售量4至少达到多少万件时，才可能使改革后的销 积。积最大”问题.一 售收人不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件的售价为 定要注意适用的范因 和条件：·一正、二 多少元？ [方法总结4] 定、三相等”特别是 利用拆项、漆项。配 凑、分离变量、减少 变元等，构造定值条 件的方法和对等号能 否成立的验证 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二】64不等式骨>0等价于(x-)(x+1)>0,因为不等式14131≤5到 设按销售收入的%征收木材税时，税金收人 为y万元。 骨>0的解集为x<-1或x>4,所以a=4 则=240×(20-子）×%=60(8-f), 7.150依题意得25x≥3000+20x-0.1x2,整理得x2+50x- 令y≥900，即60(81-2)≥900，解得3≤1≤5. 30000≥0.解得x≥150或x≤-200（舍去）.因为0<x<240,15.(1)当4=2时，A=xl2<x<71,B={x4<x<5, 所以150≤x<240.即最低产量是150台. 所以A∩B={xl4<x<51. 8.al1<a<3x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，当x=-1 (2)因为B={x2a<x<a+1| 时.x2+2x+2有最小值，最小值为1，由不等式x2+2x+2> 1a-2I对于-一切实数x均成立，得1a-21<1,解得1<a<3, 当a<宁时，4=13a+1<x<21, ,实数a的取值范围是al1<a<3, 2a≥3a+1. 9.(1)因为y=2+(b-1)x+2<0的解集为x1<x<2!, 要使BCA,必须{a2+1≤2，此时a=-1: 所以1,2是方程2+(b-1)x+2=0的两根. a≠， a>0, 当a=时4=0,8={号<<} 101 不满足BCA, -3解得a=1,6=-2 所以a 舍去， 当e>兮时4=2<x<3a+1,要使BcA, (2)因为当x=-1时y=5,所以a-b=2, 2a≥2 因为存在x∈R,y=x+(b-1)x+2<1成立， 则{m2+1≤3a+1,解得1<a≤3. 即存在x∈R,x2+(a-3)x+1<0成立， a≠1， 综上可得：a的取值范围是|al1<a≤3或a=-1目， 当a=0时>分皮立： 16.(1)当0<x<60且xeN时， 当a<0时，函数y=ar2+(a-3)x+1图象开口向下，成立： L=40x-2-20r-20=-2+20r-200: 当a>0时，4=(a-3)2-4a>0,即a2-10a+9>0, 当x≥60且xeN时， 解得a>9或a<1,此时，a>9或0<a<1, 综上，实数a的取值范围为ala>9或a<1. L=40x-50x-4900+1980-200=1780-10x-4900 -2 x-2 10.由题意知，对于甲车， 1 有0.1x+0.01x2>12,即x2+10x-1200>0, 4+20x-200.0<x<60,xeN, 故L= 解得x>30或x<-40(不符合实际意义，舍去). 这表明甲车的车速超过30k/h 170-10:-9≥0eN 但根据题意知刹车距离略超过12m, (2)当0<x<60且eN时，b=-x-40)2+20, 由此估计甲车的车速不会超过限速40km/h. 当x=40时，L.m=200: 对于乙车，有0.05x+0.005x>10 即2+10x-2000>0,解得x>40或x<-50(不符合实际意义， 当x≥60且x∈N时， 舍去)， 1=1760-10[(x-2)+4900] x-2」 ≤1760-10× 这表明乙车的车速超过40km/h,即超过规定限速， 11,Ax2+x+1>0恒成立.原不等式2-2x-2<2x2+2x 2√x-2).4900 =360 x-2 +22+4x+4>0(x+2)>0∴x≠-2…不等式的解集为 lrlxy-2. 当且仅当-24即=2时，等号成立人360。 12.ABD当a<0时，x2+r+e>0的解集为☑，故A错：当a 又因为360>200 =0,b0时.不等式bx+≤0在R上不能恒成立，舍去，当 故该厂年产量为72千件时，该厂在这一商品的生产中所获 a=b=0且c≤0时也恒成立，故B错：当a=0时，不等式为 利润最大 x-1≤0，此时解集不是R,舍去：当≠0时，要使解集为R 章末复习与总结 孟{0≤0，解得a≤-子，放c对：不等式可化为今 例：作差得十-1-云 0,即：1<0，即x(x-1)<0,解得1x10<x<1.故D错 13.BD关于x的不等式x2-2ax+a>0,对xeR恒成立，则4 ①当=0时01- =4a2-4a<0,解得0<a<1.A选项“0<a<1"是“关于x 2当1+<0，即<-1时云<0<1- 的不等式x2-2ax+a>0对xeR恒成立"的充要条件：B选 1 项“0≤a≤1"是“关于x的不等式x2-2ax+a>0对x∈R桓 ③当1+>0且0，即-1<<0或x>0时，>0 成立"的必要不充分条件：C选项0<a<“是“关于x的 >1-x 不等式x2-2x+a>0对x∈R恒成立”的充分不必要条件： 例2：r2+(1-a)x-1>0可得(m+1)(x-1)>0,即x+ D选项“a≥0”是“关于x的不等式x2-2ar+m>0对x∈R 恒成立”必要不充分条件 a）c-0<0. 331- 当-。<1时，即a<-1时，不等式的解集为-<x< 第三章函数的概念与性质 ->1时，即-1<a<0,不等式的解集 3.1函数的概念及其表示 为印<<-} 3.1.1函数的概念 当-上=1时，即a=-1时，不等式的解集为空集 第1课时函数的概念（一） 故当a<-1时，不等式的解集为{x <<} 教材梳理明要点 当-1<a<0时，不等式的解集为印<<- 新知初探 a了 知识点 当a=-1时，不等式的解集为空集 实数集任意一个数x确定唯一确定取值范围A 例3：(1)①若m=0,原不等式可化为-1<0，显然恒成立： 函数值{f代x)x∈A ②若m≠0.则不等式x-mx-1<0恒成立白 预习自测 「m<0. 1.D函数值只有-1.0.1三个数值，故值域为-1,0.1， 解得-4<m<0. L△=m2+4m<0. 2.1xlx<4 由4-x>0,解得x<4,所以原函数的定义域为 综上可知，实数m的取值范围是{m-4<m≤0：. lxlx<4. (2)令y=mx2-mr-1, 题型探究提技能 ①当m=0时，y=-1<0显然恒成立： 例1：(1)B(2)C ②当m>0时，若对于x∈{x1≤x≤3引不等式恒成立， 【解析】(1)对于A项，x2+y2=1可化为y=±√1-，显 只需当x=1时y<0且x=3时y<0即可， 然对任意xEA,y值不唯一，故不符合：对于B项，符合函数的 所以-1<0， g310鲜得m<6,所以m< 定义：对于C项，2eA,但在集合B中找不到与之相对应的 数，故不符合：对于D项，-1eA,但在集合B中找不到与之 ③当m<0时，函数y的图象开口向下，对称轴为x=2 相对应的数，故不符合， (2)由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象 若x∈x1≤x≤3时不等式恒成立， 至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的 结合函数图象（图略）知只需当x=1时y<0即可，解得 函数 mER, 跟踪训练1：ABDABD均满足函数的定义，C选项，同一个分 所以m<0,符合画意 数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x,都有唯一的y 综上所述，实数m的取值范倒是{m<石} 与其对应，故C选项错误.故选ABD 例2：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 (3)令u=mx2-mx-1=(x2-x)m-1, 若对满足1m≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 2002部得<0，且-2 当m=-2时<0且当m=2时.4<0 即-2(r-x)-1<0 故原函数的定义域为xx<-2或-2<x<0, 解得-，5x<+ (2）要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 12(x2-x)-1<0. 2 2 4-≥0即≤4 所以实数x的取值范围是{： x-10.x≠1， 2 故原函数的定义域为|xx<1或1<x≤4！ 例：(1)设每件的售价为1元，依题意得(8-一气泸x02小≥ 限紧训练2：C要使函数y三十有意义，应满足+1>0 25×8. 整理得2-651+1000≤0，解得25≤1≤40 .x>-1,.函数y= 」二的定义域为xx>-1小 V+I 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为 40元. 第：到x2=2写 (2)依题意得，当x>25时，不等式1x≥25×8+50+ 又g(x)=2+2.,g(2)=22+2=6. 6 (23)=产+2=1，g3]=f)=+7 600)+号有解。 跟踪训练3：(1f(3)=2-3=-1,g(3)=-3+2=-7 等价于当x>25时.a 0+言+有解 150x 因为0+2 50.=10 (21g2)]=2-22-(-2+2令 Vx 6 随堂检测重反馈 当组仅当0言即=30时等号成立，此时0言+号 1.B图①不满足定义域M={x10≤x≤2：图3不满足集合V 6 =y0≤y≤2引：图④不满足函数的定义，如x=1时对应两个 =10.2,所以a≥10.2. 不同的y值：②符合函数定义，定义域为M,值域也恰为N,故 故当该商品改革后的销售量？至少达到10.2万件时，才可能 只有一个表示集合M到集合N的函数关系，选B. 使改革后的销售收人不低于原收入与总投入之和，此时该高品2.C函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应司一个 每件售价为30元 函数值.故选C -332