第1章 集合与常用逻辑用语 章末复习与总结(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

029 章末复习与总结 知识体系构建 常用返样用情 集合 venn周 表 存在量词习 你量词 方 件 件 包含关 法 元 描 素性 存在量同命 全你量词命 是 是9的元要条 q的 9的 法 法 语 互 等 子 集 悲 安 丹 条 性 件 全称（存在）量 件 词命题的否定 p<-7q 99p p=q 核心考点培优 考点一 集合的基本概念 例.(1)已知集合4=10,1,2，则集合B=a1a=x-,xEA,y∈A1中元 [方法总结1] 求解与集合中元素有 素的个数是 ( ) 关问题的注意点 1.集合中元素的互异 A.1 B.3 C.5 D.9 性对解趣结果的形响 (2)已知集合M={a,2a-1,2a2-1|,若1∈M,则M中所有元素之和 较大，特别是含有字 为 ) 母的集合，在求出字 ( 母的值后，要注意检 A.3 B.1 C.-3 D.-1 验集合中的元素是否 满足互异性， [方法总结1] 2用指述法表示集 合，首先要搞清楚集 考点二集合间的关系 合中代表元素的含 义，再有元素的限制 例2(1)已知集合A满足1CAC1,2,3,41,这样的集合A有 条件，明白集合的类 型，是数集、点集还 个 是其他类型的集合 [方法总结2] A.5 B.6 C.7 D.8 破解集合间基本关系 (2)已知集合A=x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,若 的方法 1.若B二A,应分B= B二A,则实数a的取值范围为 ☑和B≠☑两种情况 讨论： ●[方法总结2] 2.已知两个集合间的 关系求参数时，关键 考点三集合的运算 是将两个集合间的关 系转化为元素或区间 例3(1)已知集合U,4B之间的关系如图所示，则 端点间的关系，进而 0.4.7.8 转化为参数满足的关 (C B)0A= A 系解决这类问题常常 A.13 B.0.1.2.4,7.8 1.2 5.6 要合理利用数轴 Vern图，化抽象为直 C.1,2 D.1,2,3 观进行求解 030 (2)已知集合A={1,3,√m},B=1,m},AUB=A,则m等于(） [方法总结3] 在进行集合的交集、 A.0或5 B.0或3 C.1或3 D.1或3 并集、补集运算时， 借助数袖（或Venn图】 [方法总结3] 分析，能将复杂问避 直观化，从而使何题 考点四充分条件与必要条件 变得简单，是数形结 4.(1)已知集合P=xla+1≤x≤2a+1,aeR,Q={x|-2≤x≤5}.若 合思想具体应用之一 “xeP”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围。 在具体应用时要注意 端点值是否符合题 (2)设全集U=R,集合A=x1≤x<5},非空集合B={x|2≤x≤1+ 意，以免增解或漏解 2a,其中a∈R.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取 [方法总结4] 值范围。 [方法总结4] 充分、必要、充要条 件的常用判断方法 /.定义法：直接判断 “若P,则9”，“若 9,则p”的真假. 2.利用集合何的包含 关系判断：设命题P 对应的集合为A,命题 9对应的集合为B,若 ACB,则p是9的充 分条件或9是P的必要 条件：若A军B,则P 是9的无分不心要条件 或9是P的必要不充分 条件：若A=B,则P 是9的无要条件 考点五全称量词命题与存在量词命题 [方法总结5] 全称量词命趣与存在 例5.(1)命题Yx≤2,2+2x-8>0"的否定是 量词命题问稳的两钟 A.3x≤2，x2+2x-8≤0 B.x>2,x2+2x-8>0 题型 C.3x≤2，x2+2x-8>0 D.3x>2,x2+2x-8>0 1,对合有量词的命题 进行否定，一要改变 (2)若命题“HxeR,都有mx2+4x-1≠0”为假命题，则实数m的取 量词，二要否定结论： 值范围为 2.根据全称量词命题 A.{ml-4<m<0 B.mlm >0 和存在量词命题的真 假求参数的取值范 C.{mlm≥-4 D.{ml-4≤m≤0 因，一般把问题转化 为函数、不等式或集 ·[方法总结5] 合问趣解决 素养等级测评 请同学们认真完成考案（一）3该命题的否定：3a,bCR,使方程r=b的不唯一或不存在.： 0,是直命题.3x∈R.2x+1为奇数的否定：HxaR,2x+1都 当a=0,b=1,方程x=b的解不存在，所以这是一个真命题 不是奇数，是假命题。 ④该命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位不是0：155.ABD“有的三角形为正三角形"为存在量词命题，其否定为 是可以被5整除的整数，但末位不是0.所以这是一个真 全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C 命题 错误 跟踪训练1：(1)该命题的否定：3xe{-2,-1.0.1,2,1x-216.3a,b∈R,方程ax+b=2无解或至少有两解 p:3a,be <2. R,方程ar+b=2无解或至少有两解 (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数。 (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数： {m≥4}命题“3xe{ ≥-}+m<0是假命 (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似， 例2：(1)D(2)见解析 愿，即命题的否定为直命题其否定为：“Vxe{≥一} 【解析】(1)命题p:3x>1,x2-4<0的否定是：Hx>1, -4≥0.故选D +m≥0”解得m≥子 8.存在量词命题假VxeR,x2+2x+5≥0命题p:3x∈ (2)①Hx∈R.2x+1<0,为假命题.②Hx∈R.x-x+ 4 R,x2+2x+5<0是存在量词偷题.因为x2+2x+5=(x+1)2 0圈为x2-x+= +4>0恒成立，所以命题为假命题.命题的否定为Vxe 4=（x-2 ≥0，所以是真命题.③一切分 R,x+2x+5≥0 数都是有理数，是真命题。 9.(1)至少存在一个正方形不是矩形，假命题 跟踪训练2：(1)该命题的否定：任意一个奇数都能被3整除.这 (2)对任意x∈R,x’+1≠0，假命题. 个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除， (3)所有的四边形都有外接圆，假命题。 (2)该命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都是60°. 0.(1)该命题是全称量问命题，是真命题.该命题的否定：存在 这个命题是假命题.如等边三角形的三个内角都是60°. 一个非空集合，空集不是该集合的真子集， (3)该命题的否定：xeR,有1x+11>1,这个命题为假命 (2)该命题是全称量词命题，是真命题.该命题的否定：存在 题，如x=0时，不满足x+11>1. 一对等圆，其面积不相等或周长不相等。 (④)该命题的否定：任意xeR广+x+子>0因为之+x十 (3)该命题是存在量词命题，是真命题因为当x=1时，x 子：+)厂>0这个命圈是直命题 21-1<2.该命题的否定：x∈|-2，-1,0,1,2引，1x-2 3 ≥2. 例3：因为p为假命题，所以命题p:Vx∈R,m+x2-2x+5>0 11.AC因为命题p:“xeR,x2+1≠0"的否定是“3xeR,x2 为真命题，m+x2-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x +1=0”,且p为真命题，则一p是假命题.故选AC -1)2-4.即m>-(x-1)2-4对任意xeR恒成立，只需m 12.B对于p而言，取x=-1,则有x+1I=0<1,故是假命 >-4即可，故实数m的取值范围为mm>-4引. 题，7P是真命题，对于g而言，取x=1,则有x=1》=1=x, (说明：本题也可利用二次函数y=x2-2x+5+m的图象恒在 故9是真命题，9是假命题，综上，一p和9都是真命题.故 x轴上方，转化为对应方程△<0进行解题) 选B. 跟踪训练3：A因为“3x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0” 13.3a≥0，关于x的方程x2+ax+1=0没有实数解 不成立，则不等式x-4x-a-1≥0对Hx∈R恒成立.等价 14.{ala>41HxeR,x2-4x+a≠0若命题p为假命题，则 于xeR时a≤(x2-4x-1)恒成立，因为(x2-4x-1)。= 7p:xeR,x2-4x+a≠0为真命题，则4=(-4)2-4a< -5,.a≤-5.故B、C,D不正确.故选A. 0.解得a>4. 随堂检测重反馈 15.命题“3m∈R,使得A∩B≠☑”为假命题，则其否定“VmE 1,C命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即 R,A门B=☑”为真命题. 对任意的实数m,方程x+mx+1=0无实数根. 当a<0时，集合A=|x0≤x≤a=☑ 2.D存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A:由命题 符合A∩B=☑，当a≥0时，因为m2+3>0. 的否定要否定结论，可排除C:由存在量同“3”应改为全称量 所以由Hm∈R.AAB=⑦. 词“Y”,可排除B 得a<m+3对于HmER恒成立， 3.至少有两个 当meR时.有m+3≥3，所以a<3.则0≤a<3 4,1aa≥1因为p为假命题.所以p为真命题.所以Hx> 综上，实数a的取值范围为ala<31, 0,x+a-1≠0，即x≠1-a,所以1-a≤0，即a≥1. 16.命题p的否定为：“V1≤x≤2，使得x2+2ar+2-a≤0”"， 设y=x2+2ax+2-,1≤x≤2， 练案[9] 由题意，有+2a+2-a≤0. 解得a≤-3. 1.C原命题是全称量词命题其否定是”3xER.|x1+x2<0” 14+4a+2-a≤0， 2.B根据全称量同命题的否定是存在量词命题，“.命题：所 因为命题p为真命题.所以p的否定为假命题 有一班学生都会做第1题的否定是存在一个一班学生不会做 所以a>-3,即a的取值范围是a>-3. 第1题.故选B. 章末复习与总结 3.C由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全 称量词命题，再否定命题结论.故选C 例1：(1)C(2)C 4,ABD由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数， 【解析】(1)①当x=0时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为 是假命题。有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱 0,-1,-2;2当x=1时，y=0,1,2,此时-y的值分别为1， 形，是假命题.Vx∈R,x2-2x>0的否定：3xeR,x2-2x≤ 0,-1:③当x=2时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0. 320 所以B=|-2,-1,0,1,2,故选C. 预习自测 (2)若a=1,划2-1=1，矛盾：若2a-1=1,则a=1,矛盾， 1.(1)V(2)V(3)×(4)V 故2a2-1=1,解得a=1(舍)或a=-1,故M=1-1,-3, 【解析】(1)不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2 1,M中所有元素之和为-3，故选C (2)若x2=0.则x=0,所以x≥0成立. 例2：(1)D(2){ala<-8或a≥3 (3)若x-1≤0，则x<1或者x=1,即x≤1 【解析】(1)由题意得集合A=1,11,2,11,3,1,4 (4)任意两数之间，有且只有a>b,=b,a<b三种关系中的 1,2,3,1,2,4,11,3,4,11,23,4{.故选D 一种，没有其他大小关系。 (2)用数轴表示两集合的住置关系，如图所示， 2.>因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b.所以(a- b)2>0. BA A 3.2+4>4x方法一：x2+4-4x=(x-2)2.而x≠2，所以(x- +1a13-504 2)2>0,所以x2+4-4x>0.所以x2+4>4x A A8 方法二：由重要不等式可知x2+4≥4x,当且仅当x=2时等号 或 -5044+14+3 成立，又x≠2，所以x2+4>4x 要使B二A,只需a+3<-5或a+1≥4，解得a<-8或a≥ 题型探究提技能 3.所以实数a的取值范围为ala<-8戏a≥31. 例1：设复兴号列车速度为，k/小，民航飞机的最低速度为 km/h,普通客车速度为D1km/h. 例3：(1)C(2)B 【解析】(1)由题图所示，U=0,1,2,3,4,5,6,7,8,A= 2的关系：2n,+100≤2,1西的关系：>3 跟踪训练1：由于炬形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m, 312.3.B=3,5,6,所以B=0,1,2,4.7.8,(B)∩4 所以0<x≤18， =1,2,故选C (2)由AUB=A知B二A,所以m=3或m=√m,当m=3时 这时来园的另一条边长为”2：(5-壹）水m A=1.3.31,B=1,3,满足AUB=A:若m=√m,则m=1 因此菜园面积S=x·（15-专)，依题意有≥10. 或0.当m=1时，m=1,不合题意，含去，当m=0时，A= 1,3,01,B=1,0,满足AUB=A. 即x(15-7)≥1I0, 例4：(1)由题意得P是Q的真子集，当P是空集时，满足PQ, 故该题中的不等关系可用不等式组表示 即a+1>2a+1,解得a<0: r0<x≤18， ru≥0. 为 当P是非空集合时，要使P车Q,则{a+1≥-2，且m+1=-2 (15-支)≥0 2a+1≤5 例2：(x3-1)-(2x2-2x）=x3-2x2+2x-1 与2a+1=5不同时成立 =(x-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 解得0≤a≤2，故a的取值范围是{ala≤2. (2)若“xEA”是“xEB”的必要条件，则BCA =(x-x-x*)=x-(-)）+] 又集合B为丰整集合放有：2部得时<和<2 (-）+>0-1<0. 所以a的取值范围{a片≤a<2} --号）广+引<0-1<2-2x 例5：(1)A(2)C 跟踪训练2：5x2+y2+2-(2)y+4x+2:-2) 【解析】(1)命题“Vx≤2，x+2x-8>0”的否定是：3x≤ =4x2-4x+1+x2-2y+y2+2-2:+1 2,x+2x-8≤0.故选A =(2x-1)2+(x-y)2+(:-1)2≥0， (2)由题意得“3xeR,使得m2+4x-1=0“是真命题，当m 5x2+y2+2≥2xy+4x+2:-2, =0,x=4符合题意：当m0,只要4=16+4m≥0即可，解 当且仅当x=y=2且：=1时取等号. 得m≥-4且m≠0.综上：实数m的取值范围是|m|m≥ 例3：i证法一：利用a2+62≥2ah. -4. a>0.a+=+(信 22 第二章一元二次函数、方程和不等式 2 当且仅当a=二即a=1时，等号成立.a+ 2.1等式性质与不等式性质 证法a+日-2=6+（）广-2=（6-） 第1课时不等式关系与比较大小 ≥0， 教材梳理明要点 新知初探 跟踪调练3：因为a2+362-2b(a+b)=a2-2ab+2=(a-b) 知识点一 ≥0 不等号的式子 当且仅当a=b时.等号成立，所以a+3b≥2b(a+b) 知识点二 随堂检测重反馈 a>b a>b a=b a=b a<b a<b 1.CA应为x≤2000：B应为x<y:D应为y≤a,故选C 知识点三 2.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-24+1=(x-1)2≥0. ≥a=b ∴.a-b≥0即a≥b.故选C. 321-