精品解析：安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

马鞍山市第二中学2023级高二年级9月练习 数学试题 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 3. 某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ） 比赛成绩 6 7 8 9 10 班级数 3 5 4 4 4 A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 以上都不对 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为 8. 如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（ ）米. A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 若甲､乙两组数据的平均数分别为，则 B. 若甲､乙两组数据的方差分别为，则 C. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 二面角的正切值的最大值为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三角形的周长最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆台的母线长为，上､下底面半径分别为，，则该圆台的体积为__________. 13. 在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为__________. 14. 空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求周长的最大值. 16. 漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； （2）已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，点为中点. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列. （1）求的正交点列； （2）判断是否存在正交点列？并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马鞍山市第二中学2023级高二年级9月练习 数学试题 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为， 所以，故的虚部为. 故选：A. 2. 已知向量，，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求得，再求其模. 【详解】根据题意，， 所以. 故选：A 3. 某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是（ ） 比赛成绩 6 7 8 9 10 班级数 3 5 4 4 4 A. 8.5 B. 9 C. 9.5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可. 【详解】因为， 所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是. 故选：C. 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断. 【详解】对于A，如图，，此时，故A错误； 对于B，若，面内可以找一条直线，使得； 而，与内任意一条直线都垂直，则，则.故B正确； 对于C， 如图，，此时，故C错误； 对于D， 如图，，此时，故D错误． 故选：B. 5. 一个射手进行射击，记事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的意义逐项分析判断作答. 【详解】射手进行射击时，事件=“脱靶”，=“中靶”，=“中靶环数大于4”， 事件与不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件与是互斥且对立，A不是； 事件与不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件与是互斥不对立，B是； 事件与可以同时发生，即事件与不互斥不对立，C不是，显然D不正确. 故选：B 6. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知，，，则边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，再根据三角形的面积列方程即可得解. 【详解】由余弦定理可知，即， 又，， 则， 所以的面积， 又面积，即， 解得， 故选：B. 7. 如图，是由斜二测画法得到的水平放置的直观图，其中，点为线段的中点，对应原图中的点，则在原图中下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积为2 C. 在上的投影向量为 D. 与同向的单位向量为 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出原图，然后逐个分析判断即可. 【详解】根据题意可知原图如图所示，其中，则， 因为点为线段的中点，所以为的中点，则， 对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，因为，所以在上的投影向量为 ，所以C错误， 对于D，因为，所以与同向的单位向量为 ，所以D正确. 故选：D 8. 如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.某同学为测量钟楼的高度，在钟楼的正西方向找到一座建筑物，高为米，在地面上点处（三点共线）测得建筑物顶部，钟楼顶部的仰角分别为和，在处测得钟楼顶部的仰角为，则钟楼的高度为（ ）米. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用求出，在中利用正弦定理求出，最后借助于中三角函数的定义即可求得钟楼的高度. 【详解】 如图所示，在中，， 在中，, 则， 由正弦定理，，故得, 在中，. 故选：C. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 若甲､乙两组数据的平均数分别为，则 B. 若甲､乙两组数据的方差分别为，则 C. 甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数 D. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 【答案】ACD 【解析】 【分析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A、B、D；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C. 【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学, 其他次考试成绩都高于乙同学,所以，故选项A正确； 由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得.故选项B错误； 因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数， 由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上， 而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数. 故选项C正确； 因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D正确. 故选：ACD. 10. 在复平面内，下列说法正确的是（ ） A. 复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B. 若复数，则 C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积. 【详解】A选项，复数，则， 故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确； B选项，设，，， 则，即， 故， 两边平方得， 故，所以， 即，故， 其中，故，B正确； C选项，设复数，满足， 但，C错误； D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部， 表示原点为圆心，为半径的圆的内部， 则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界）， 故面积为，D正确. 故选：ABD 11. 如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足，下列结论正确的是（ ） A. B. 二面角的正切值的最大值为2 C. 三棱锥的体积为定值 D. 三角形的周长最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】连接交于点，利用线面垂直的判定性质证得判断A；求出二面角的正切值表达式判断B；利用等体积法推理判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，在正方体中，连接交于点，连接，则， 由平面，平面，得， 而平面，则平面，又平面， 于是，又为的中点，因此，A正确； 对于B，过作于，连接，由平面，平面， 得，而平面，则平面， 又平面，于是，是二面角的平面角， ，，，当与重合时取等号，B错误； 对于C，由平面，为棱上的动点，得点到平面的距离为定值1， 而的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，C正确； 对于D，当点与重合时，的周长为，D错误. 故选：AC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆台的母线长为，上､下底面半径分别为，，则该圆台的体积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先求出圆台的高，再由圆台的体积公式计算可得. 【详解】因为圆台的母线长为，上､下底面半径分别为，， 所以圆台的高， 所以圆台的体积. 故答案为： 13. 在直角三角形中，，点在斜边的中线上，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】在中，由，得， 由点在斜边的中线上，得， 得. 故答案为： 14. 空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先得到，两边平方后，结合边长和直线与所成角得到方程，求出或，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】因为，所以， 两边平方得， ，且异面直线与成， 故， 或， 所以，或， 解得，或（舍去）， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求角； （2）若，求周长的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和正弦公式化简已知得，再利用辅助角及特殊角求值即可. （2）利用正弦定理把周长化为，利用正弦函数的性质即可求解最值. 【小问1详解】 因为，整理得，， 即， 即， 因为，可得，所以， 结合，解得，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 所以周长 ， 当时，，故周长的最大值为. 16. 漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并人选首批“中国历史文化街区”.五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达20万人次.为了解游客的旅游体验满意度，某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了100名游客，该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据（满分100分）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计100名游客满意度分值的众数和中位数（结果保留整数）； （2）已知满意度分值落在的平均数，方差，在的平均数为，方差，试求满意度分值在的平均数和方差. 【答案】（1），众数为85，中位数为82 （2）平均数为81；方差为30 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1即可求得a的值；结合众数和中位数的含义即可求得它们的值； （2）根据平均数以及方差的计算公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得，，解得， 由频率分布直方图可估计众数为85， 满意度分值在的频率为， 在的频率为， 所以中位数落在区间内， 所以中位数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图得，满意度分值在的频率为，人数为20； 在的频率为，人数为30， 把满意度分值在记为，其平均数，方差， 在内记为，其平均数，方差， 所以满意度分值在的平均数， 根据方差的定义，满意度分值在的方差为 由，可得， 同理可得， 因此， 17. 已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是. （1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数； （2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色. （i）写出该试验的样本空间； （ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由. 【答案】（1）盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； （2） （i） . （ii）游戏不公平，理由： 由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以 所以 因为，所以此游戏不公平. 【解析】 【分析】（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，根据为两两互斥事件， 由求解. （2）（i）根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；（ii）由（i）利用古典概型的概率求解. 【小问1详解】 解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件， 因为为两两互斥事件， 由已知得， 解得. ∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是； 【小问2详解】 （i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点， 则样本空间 . （ii）略 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面平面，点为中点. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证得平面，进而由线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可. （2）过点作交于点，则平面ABCD，利用等体积法求得点到平面的距离，然后利用线面角的定义结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，平面平面，且， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 设，由（1）知平面， 又平面，所以，所以， 过点作交于点， 则平面平面，平面平面，且， 所以平面ABCD，且，设点到平面的距离为， 则由，可得， 即，解得， 所以与平面所成角的正弦值为， 因为，所以，故， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是. 19. 在平面直角坐标系中，横､纵坐标都是整数的点称为整点，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列与，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同：②，其中，则称与互为正交点列. （1）求的正交点列； （2）判断是否存在正交点列？并说明理由. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由正交点列的定义可知，设，由正交点列的定义可知，求解即可. （2）设点列是点列的正交点列，则可设因为与与相同,即可得出结论. 【小问1详解】 设点列的正交点列是， 由正交点列的定义可知， 设， 由正交点列的定义可知， 即，解得 所以点列的正交点列是. 【小问2详解】 由题可得， 设点列是点列的正交点列， 则可设 因为与与相同，所以有 因为得方程，显然不成立， 所以有序整点列不存在正交点列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $