精品解析：重庆市西北狼教育联盟2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题（A卷）（人教版）

西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研 八年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项: 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 3. 下列调查工作需采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 某品牌新能源汽车的最大续航里程的调查 B. “嫦娥六号”月球探测器的零部件质量的调查 C. 对端午节期间市面上粽子质量情况的调查 D. 中央电视台《开学第一课》的收视率的调查 4. 如图，在下列条件中，能判定的是（　　） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 6. 在下列命题中，为真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 负数的立方根是负数 D. 垂线段叫做点到直线的距离 7. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C 4到5之间 D. 5到6之间 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺．下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右→向上→向右→向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到，…第次移动到．则的面积是（ ）m2． A. B. C. D. 10. 在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（ ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 算术平方根是__________． 12. 已知点，则点到轴的距离是______． 13. 已知是关于的一元一次不等式，则______． 14. 若实数x，y满足，则______． 15. 如图，将长方形沿折叠，点C落在点Q处，点D落在边上过点E处，若，则等于 ________° 16. 若关于x，y二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_______________． 17. 若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的方程为非负整数解，则满足条件的所有整数的和是为____________． 18. 任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则______；若四位数，满足，，则______． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20～26题各10分，共78分）请将每小题的解答过程填写在答题卡中对应位置． 19. 计算： （1） （2） 20. （1）解方程组： （2）解不等式组 21. 如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴　　（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（ ）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴　　（ ）， ∴　　（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 22. 如图，中任意一点经平移后的对应点为，将作同样的平移得到． （1）直接写出点，，的坐标； （2）作出平移后的； （3）求四边形的面积． 23. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校七年级准备开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会．为了解学生最喜爱的项目，现对七年级所有学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查七年级学生有______人，并将条形统计图补充完整； （2）求类人数占七年级学生总人数的百分比； （3）求扇形统计图中类所对应扇形圆心角的度数； （4）若该校共有1800名学生，估计全校最喜爱“七巧板”项目的学生有多少人？ 24. 如图，在△ABC中，，点D是BC边上一点，且满足．CE平分∠ACB交AD于点E． （1）若，求∠2的度数； （2）过点E作，交BD于点F，请说明． 25. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 26. 如图，，点，，，不在同一条直线上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研 八年级 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项: 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图(包括作辅助线)请一律用黑色 2B 铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将每小题的答案填涂在答题卡中对应的位置． 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，解题的关键是理解：无理数是无限不循环小数；有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数．据此解答即可． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是整数，属于有理数，故此选项不符合题意； C．是无理数，故此选项符合题意； D．，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，在第（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】由第二象限内的点的坐标特点：横坐标为负，纵坐标为正，从而可得答案． 【详解】解：由第二象限内的点的坐标特点：横坐标为负，纵坐标为正， 在第二象限． 故选B． 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系内点的坐标特点，掌握四个象限内与坐标轴上的点的坐标特点是解题的关键． 3. 下列调查工作需采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 某品牌新能源汽车的最大续航里程的调查 B. “嫦娥六号”月球探测器的零部件质量的调查 C. 对端午节期间市面上粽子质量情况的调查 D. 中央电视台《开学第一课》的收视率的调查 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抽样调查和全面调查，解题的关键：选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此逐一判断即可． 【详解】解：A．某品牌新能源汽车的最大续航里程的调查，适合采用抽样调查，故此选项不符合题意； B．“嫦娥六号”月球探测器的零部件质量的调查，适合采用全面调查，故此选项符合题意； C．对端午节期间市面上粽子质量情况的调查，适合采用抽样调查，故此选项不符合题意； D．中央电视台《开学第一课》的收视率的调查，适合采用抽样调查，故此选项不符合题意． 故选：B． 4. 如图，在下列条件中，能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定逐个判断即可． 【详解】解：A．由可判定，不符合题意； B．不能判定图中直线平行，不符合题意； C．由可判定，符合题意； D．由可判定，不符合题意． 故选：C． 5. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可； 【详解】解：．，当时，，所以选项不符合题意； ．当，，，所以选项不符合题意； ．，则，，所以选项符合题意； ．，，则，所以选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，准确分析判断是解题的关键． 6. 在下列命题中，为真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 同旁内角互补 C. 负数的立方根是负数 D. 垂线段叫做点到直线的距离 【答案】C 【解析】 【分析】有公共顶点，且角的两边互为方向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据立方根的定义可判断C；点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，据此可判断D． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； C、负数的立方根是负数，原命题是真命题，符合题意； D、点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，立方根的定义，对顶角的定义，平行线的性质，点到直线的距离的定义，熟知相关知识是解题的关键． 7. 估计的值在（ ） A. 2到3之间 B. 3到4之间 C. 4到5之间 D. 5到6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺．下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，以及将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，列出方程组即可． 【详解】解：设绳索长x尺，竿长y尺，由题意，得： ； 故选B． 9. 在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右→向上→向右→向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到，…第次移动到．则的面积是（ ）m2． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形的规律，三角形的面积，由题意得，由得出，从而求出的长，再根据三角形面积公式计算即可．确定的长是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 10. 在整式，，前添加“”或“”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M．例如： ，则，当时，M的化简求值结果为：．下列说法正确的个数为（ ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数； ②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果； ③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题以新定义阅读题为背景考查了绝对值化简和相反数定义，考核了学生对绝对值和相反数定义的理解及灵活运用，弄清定义，读懂题目按照规律列举出所有可能结果解题事半功倍．根据题意，找出一种“优绝对值”操作使操作后化简结果为常数，即为正确，可判定①正确；写出所有可能的结果数，然后可判定②错误，③正确． 【详解】解：使操作后化简的结果为常数，即使a的系数为0， 有，故①正确． ， ， 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； 当时， ∵， ∴不可能等于17； 当 ， 当时，， ∴； 当 ， ∵， ∴不可能等于17； ∴把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有4种不同的结果，故②错误； ∴在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a有且只有一个，此时，故③错误； 综上分析可知：正确的有1个． 故选：B． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 的算术平方根是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义的定义解答即可． 【详解】解：， ∵4的算术平方根是2， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 12. 已知点，则点到轴的距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，解题的关键是掌握：点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴点到轴的距离是． 故答案为：． 13. 已知是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 若实数x，y满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确求出x、y的值．由二次根式有意义的条件，先求出x、y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：根据题意， ，解得：， ∴， ∴． 故答案为： 15. 如图，将长方形沿折叠，点C落在点Q处，点D落在边上过点E处，若，则等于 ________° 【答案】106 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ∴， ． 故答案为：106． 16. 若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_______________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】将k看做已知数求出x与y，代入2x十3y= 6中计算即可得到k的値． 【详解】解： ①+②得：2x=14k，即x=7k， 将x=7k代入①得：7k+y=5k，即y=-2k， 将x=7k，y=-2k代入2x+3y=6得：14k-6k=6， 解得：k= 故答案为： 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边成立的未知数的值． 17. 若实数使关于的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于的方程为非负整数解，则满足条件的所有整数的和是为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地解一元一次方程和一元一次不等式组是解题的关键．根据不等式组求出m的范围，然后再根据方程有非负整数解求出m的范围，从而确定m的可能值，再求和． 【详解】解： 解①得：， 解②得：， ∵不等式组至多有3个整数解， ∴， ∴， 解可得： ， ∵方程的解为非负整数解， ∴ 且m为偶数， 解得：， ∴，且m为偶数， ∴或0或2或4， ∴满足条件的所有整数的和是， 故答案为：4． 18. 任意一个个位数字不为0的四位数，都可以看作由前面三位数和最后一位数组成，交换这个数的前面三位数和最后一位数的位置，将得到一个新的四位数，记，例如：，则，，则______；若四位数，满足，，则______． 【答案】 ①. ②. 1986 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义可得；根据题意得到，，进而求出，，再根据建立方程求出d的值即可得到答案． 详解】解：当时，， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：，1986． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20～26题各10分，共78分）请将每小题的解答过程填写在答题卡中对应位置． 19 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）π 【解析】 【分析】本题考查开立方，绝对值化简，乘方，二次根式的性质，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． （1）先利用二次根式的性质，开立方，绝对值意义进行化简，再进行加减计算，即可解题； （2）先根据乘方，二次根式的性质，绝对值意义化简各项，再进行加减计算，即可解题． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. （1）解方程组： （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组： （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 21. 如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知）， ∴　　（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（ ）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴　　（ ）， ∴　　（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；，同旁内角互补，两直线平行； 【解析】 【分析】本题考查了平分线的定义，平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据角的平分线的定义，平行线的判定和性质，等量代换思想证明即可． 【详解】证明：∵平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴（等量代换）．． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，同旁内角互补，两直线平行；． 22. 如图，中任意一点经平移后的对应点为，将作同样的平移得到． （1）直接写出点，，的坐标； （2）作出平移后的； （3）求四边形的面积． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）14 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，已知点平移前后坐标，判断平移方式，平移作图，割补法求四边形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据图形直接写出点，，的坐标，即可解题； （2）由点经平移后的对应点为，推出图形平移方向和距离，再根据平移的方向和距离作图即可； （3）连接、，利用割补法求四边形面积即可． 【小问1详解】 解：由图知，，； 【小问2详解】 解：点经平移后的对应点为， 图形向右平移3个单位，向下平移了2个单位， 如图所示，即为所作； 【小问3详解】 解：连接、，如图所示： ． 23. 为落实“双减提质”，进一步深化“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某学校七年级准备开展“双减”背景下的初中数学活动型作业成果展示现场会．为了解学生最喜爱的项目，现对七年级所有学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： （1）本次被调查的七年级学生有______人，并将条形统计图补充完整； （2）求类人数占七年级学生总人数的百分比； （3）求扇形统计图中类所对应扇形圆心角的度数； （4）若该校共有1800名学生，估计全校最喜爱“七巧板”项目的学生有多少人？ 【答案】（1）120人，见解析 （2） （3） （4）640人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用B组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，再求出E类人数即可补全统计图； （2）用C类的人数除以参与调查的人数即可得到答案； （3）用360度乘以样本中E类的人数占比即可得到答案； （4）用1800乘以样本中B类的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人）， ∴七年级学生的总人数为120人； ∴组人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：120； 【小问2详解】 解：， 答：类人数占七年级学生总人数的； 【小问3详解】 解：， 答：类所对应扇形圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计全校最喜爱“七巧板”项目的学生有640人． 24. 如图，在△ABC中，，点D是BC边上一点，且满足．CE平分∠ACB交AD于点E． （1）若，求∠2的度数； （2）过点E作，交BD于点F，请说明． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）先根据三角形的外角性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据角平分线的定义即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据、三角形的外角性质即可得． 【小问1详解】 解：，， ， ，， ， 平分， ． 【小问2详解】 解：平分， ， ， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平行线的性质、角平分线等知识点，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的定义是解题关键． 25. “文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元． （1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？ （2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元 （2）共有5种购买方案，最低费用是8440元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，正确地列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设每套甲型号“文房四宝”价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，得出方程，解方程即可； （2）设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套，根据题意得到不等式组，解不等式组即可得到结论． 【小问1详解】 解：设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是元， 由题意可得， 解得， ． 答：每套甲型号“文房四宝”的价格是100元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是60元； 【小问2详解】 解：设需购进乙种型号“文房四宝”m套，则需购进甲种型号“文房四宝”套， 由题意可得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取85，86，87，88，89； ∴共有5种购买方案， 方案1：购进35套甲型号“文房四宝”，85套乙型号“文房四宝”； 方案2：购进34套甲型号“文房四宝”，86套乙型号“文房四宝”； 方案3：购进33套甲型号“文房四宝”，87套乙型号“文房四宝”； 方案4：购进32套甲型号“文房四宝”，88套乙型号“文房四宝”； 方案5：购进31套甲型号“文房四宝”，89套乙型号“文房四宝”； ∵每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元， ∴甲型号“文房四宝”的套数越少，总费用就越低， ∴最低费用是（元）． 26. 如图，，点，，，不在同一条直线上． （1）如图1，求证：； （2）如图2，直线，交于点，且，， ①试探究与的数量关系； ②如图3，延长交射线于点，若，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角的计算， （1）如图1，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （2）①设，，，，由（1）知：，如图2，过作，根据平行线的性质即可得到结论； ②如图3，过作，根据平行线的性质即可得到结论； 熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：如图1，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， 即； 【小问2详解】 解：①∵，， ∴设，，，， 由（1）可知：， ∴， 如图2，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与的数量关系为； ②如图3， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由①知：， 过作， ∴，， ∴， ∴的度数为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$