精品解析：山东省泰安市泰山区东岳中学2024-2025学年七年级上学期数学第一次月考数学试题

泰安市泰山区东岳中学2024-2025学年七年级数学第一次月考数学试题 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（ ） A. 5，12，13 B. 5，7，7 C. 1，2，3 D. 30，40，50 2. 小明把一副，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 （ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或22 4. 三角形的重心是（　　） A. 三角形三条边上中线的交点 B. 三角形三条边上高线交点 C. 三角形三条边垂直平分线交点 D. 三角形三条内角平分线的交点 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（　　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 6. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 7. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件点P，则点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，，，，，垂足分别是点D，E，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 9. 已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为．满足下列条件的三角形与已知三角形不一定全等的是( ) A. 两个角是，它们的夹边为4 B. 三条边长分别是4，5，5 C. 两条边长分别为4，5，它们的夹角为 D. 两条边长是5，一个角是 10. 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( ) A. 90° B. 100° C. 130° D. 180° 11. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 12. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____． 14. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 15. 如图，在中，，，P是内一点，且，则_________°． 16. 如图所示，O为的三条角平分线的交点，，则________度． 17. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为_____． 18. 如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第__________块去商店，让师傅割出来，依据是________ 三、解答题：（7个小题，共计78分） 19. 如图，中，，，是的平分线，的延长线垂直于过C点的直线于E，直线交的延长线于F．试说明：． 20. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接． （1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明：． 21. （1）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． （2）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度． 22. 已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 24. 图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形. (1)如图1，求证：AD=CE. (2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF ①求证：∠CFA=60°. ②求证：CF+BF=AF. 25. 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N． （1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是　 　； （2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？ （4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰安市泰山区东岳中学2024-2025学年七年级数学第一次月考数学试题 一、选择题（每题4分，共48分） 1. 下列各组数中不可能是一个三角形的边长的是（ ） A. 5，12，13 B. 5，7，7 C. 1，2，3 D. 30，40，50 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，只要满足两短边的和大于最长的边，就可以构成三角形．看哪个选项中两条较小的边的和不大于最大的边即可． 【详解】解：A． 由于，故 5，12，13是一个三角形边长； B．由于，故5，7，7是一个三角形的边长； C．由于，故1，2，3不是一个三角形的边长； D．由于，故30，40，50是一个三角形的边长． 故选C． 2. 小明把一副，的直角三角板如图摆放，其中，，，则等于 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质．根据三角形的外角的性质结合角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ，， ， ∴， ∴， 故选：B． 3. 等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（ ） A. 17 B. 22 C. 13 D. 17或22 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用； 分两种情况，结合三角形的三边关系定理进行求解即可． 【详解】解：当等腰三角形的边长为4，4，9时， ∵， ∴此情况不符合题意； 当等腰三角形的边长为4，9，9时，能构成三角形， 此时周长为， 故选：B． 4. 三角形的重心是（　　） A. 三角形三条边上中线的交点 B. 三角形三条边上高线的交点 C. 三角形三条边垂直平分线的交点 D. 三角形三条内角平分线的交点 【答案】A 【解析】 【详解】三角形的重心是三条中线的交点， 故选A． 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线交AC，AD，AB于点E，O，F，则图中全等三角形的对数是（　　） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵AB＝AC， D为BC中点， ∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90°， ∴在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD； ∵EF垂直平分AC， ∴OA=OC，AE=CE， 在△AOE和△COE中， ， ∴△AOE≌△COE； 在△BOD和△COD中， ， ∴△BOD≌△COD； 在△AOC和△AOB中， ， ∴△AOC≌△AOB；所以共有4对全等三角形， 故选：D． 6. 如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是 A. ∠A=∠C B. AD=CB C. BE=DF D. AD∥BC 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可． 详解】解：∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF． ∴AF=CE． A．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意． C．在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意． D．∵AD∥BC， ∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法． 7. 如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】要使△ABP与△ABC全等， 必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离， 即3个单位长度， 所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个， 故选C． 8. 如图，，，，，垂足分别是点D，E，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，，再根据求解即可得． 【详解】解：， ， ，， ，， ， 在和中，， ， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键． 9. 已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为．满足下列条件的三角形与已知三角形不一定全等的是( ) A. 两个角是，它们的夹边为4 B. 三条边长分别是4，5，5 C. 两条边长分别为4，5，它们的夹角为 D. 两条边长是5，一个角是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，等腰三角形的定义．能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，． 根据全等三角形的判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、符合全等三角形的判定定理，能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； B、符合全等三角形的判定定理，能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； C、符合全等三角形的判定定理，能判定两三角形全等，故本选项不符合题意； D、不符合全等三角形的判定定理，不能判定两三角形全等，故本选项符合题意； 故选：D． 10. 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1＋∠2等于( ) A. 90° B. 100° C. 130° D. 180° 【答案】B 【解析】 【详解】解：如图，∠1=90°-∠BAC； ∠2=120°-∠ACB； ∠3=120°-∠ABC； ∴∠1+∠2+∠3=90°-∠BAC+120°-∠ACB+120°-∠ABC=150° ∵∠3=50° ∴∠1+∠2=100° 故选B 11. 如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ ） A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条 【答案】D 【解析】 【详解】如图所示，根据点到直线的距离就是这个点到这条直线垂线段的长度可知， 线段AB是点B到AC的距离， 线段CA是点C到AB的距离， 线段AD是点A到BC的距离， 线段BD是点B到AD的距离， 线段CD是点C到AD的距离， 所以图中能表示点到直线距离的线段共有5条． 故选：D. 12. 下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高． 故选：D 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 如图，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则∠A=_____． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义得到∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，再根据三角形内角和定理得∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，则∠BOC=180°﹣（∠ABC+∠ACB），由于∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，所以∠BOC=90°+∠A，然后把∠BOC=110°代入计算可得到∠A的度数． 【详解】解：∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， 而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°， ∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A， ∴∠BOC=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A， 而∠BOC=110°， ∴90°+∠A=110° ∴∠A=40°． 故答案为40°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°． 14. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 【答案】1<m<4 【解析】 【详解】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD， ∴△ADB≌△EDC， ∴EC=AB=5， 在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为1＜m＜4． 15. 如图，在中，，，P是内一点，且，则_________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了三角形的内角和定理．对相等的角进行等量代换转化为一个角是解答本题的关键．由已知条件根据三角形的内角和定理，求得，再根据和三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图所示，O为的三条角平分线的交点，，则________度． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，利用角平分线的定义和三角形内角和定理计算的度数，从而得出答案，熟练进行角度的转换是解题的关键． 【详解】解： O为三条角平分线的交点， 可得， ， ， 故答案为：． 17. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC．若AC=6，则四边形ABCD的面积为_____． 【答案】18 【解析】 【详解】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N； ∵∠BAD=∠BCD=90°， ∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°； ∵∠BAD=90°， ∴∠BAM=∠DAN； 在△ABM与△ADN中， ∵∠BAM=∠DAN，∠AMB=∠AND，AB=AD， ∴△ABM≌△ADN（AAS）， ∴AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等； ∴四边形AMCN为正方形， ∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积； ∵AC2=AM2+MC2， AC=6； ∴2AM2=36，即AM2=18， 即四边形ABCD的面积为18． 故答案为18 18. 如图，一块三角形玻璃板，不小心摔成三块，小亮要想得到一块与原来一样的三角形玻璃板，需要带着第__________块去商店，让师傅割出来，依据是________ 【答案】 ①. ③ ②. （角边角） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，显然第③中有完整的三个条件，用易证现要的三角形与原三角形全等，学会把实际问题数学化为正确解答本题的关键． 【详解】解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用易证三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③；． 三、解答题：（7个小题，共计78分） 19. 如图，中，，，是的平分线，的延长线垂直于过C点的直线于E，直线交的延长线于F．试说明：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有、、、、．根据已知条件，易证，所以，再证明，证得，从而证得． 【详解】证明：的平分线交于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又∵， ． 20. 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接． （1）请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明：． 【答案】（1），理由见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据角的和差关系得出，证明根据全等三角形的判定解答即可； （2）根据全等三角形的性质和垂直定义解答即可． 【小问1详解】 解：．理由如下： ， ， 即， 又， ； 【小问2详解】 证明：∵ ∴， 又， ， ∴DC⊥BE． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 21. （1）如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：． （2）如图，是的中线，E是上一点，交于F，若，，，求线段的长度． 【答案】（1）见解析（2）1.5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，可根据全等三角形的判定定理证明，得，，由，得，可推导出，得，所以； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，等边对等角和对顶角相等，得到，得到，求出的长即可． 【详解】⑴证明：如图，延长至点，使，连接． 为的中线， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， ， ． （2）解：如图，延长到G，使，连接，    ∵是的中线 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 22. 已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）度 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 23. 如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH＋CH代换即可得证． 【详解】证明：如图，在上取一点H，使，连接． ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 24. 图1、图2中，点B为线段AE上一点，△ABC与△BED都是等边三角形. (1)如图1，求证：AD=CE. (2)如图2，设CE与AD交于点F，连接BF. ①求证：∠CFA=60°. ②求证：CF+BF=AF. 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②证明见解析. 【解析】 【分析】(1)如图1，利用等边三角形性质得：BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°，再证∠ABD=∠CBE，根据SAS证明△ABD≌△CBE得出结论； (2)①如图2，利用(1)中的全等得：∠BCE=∠DAB，根据两次运用外角定理可得结论； ②如图3，作辅助线，截取FG=CF，连接CG，证明△CFG是等边三角形，并证明△ACG≌△BCF，由线段的和得出结论. 【详解】证明：(1)如图1，∵△ABC与△BED都是等边三角形， ∴BD=BE，AB=BC，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD， 即∠ABD=∠CBE， ∴△ABD≌△CBE(SAS)， ∴AD=CE， (2)①如图2，由(1)得：△ABD≌△CBE， ∴∠BCE=∠DAB， ∵∠ABC=∠BCE+∠CEB=60°， ∴∠ABC=∠DAB+∠CEB=60°， ∵∠CFA=∠DAB+∠CEB， ∴∠CFA=60°， ②如图3，在AF上取一点G，使FG=CF，连接CG， ∵∠AFC=60°， ∴△CGF是等边三角形， ∴∠GCF=60°，CG=CF， ∴∠GCB+∠BCE=60°， ∵∠ACB=60°， ∴∠ACG+∠GCB=60°， ∴∠ACG=∠BCE， ∵AC=BC， ∴△ACG≌△BCF， ∴AG=BF， ∵AF=AG+GF， ∴AF=BF+CF. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质问题，该图是典型全等模型中的“手拉手”模型，是全等中的典型模型，需要熟练掌握. 25. 现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N． （1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON数量关系是　 　； （2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由； （3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？ （4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明） 【答案】（1）OM=ON；（2）成立．（3）O在移动过程中可形成线段AC；（4）O在移动过程中可形成线段AC 【解析】 【分析】（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系； （2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON； （3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上； （4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论． 【详解】解：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON； （2）仍成立． 证明：如图2，连接AC、BD． 由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°． ∵∠MON=90°， ∴∠BOM=∠CON 在△BOM和△CON中， ∵∠OBM=∠OCN，BO=CO，∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON（ASA）， ∴OM=ON； （3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°． 又∵∠C=90°， ∴∠EOF=90°=∠MON， ∴∠MOE=∠NOF． 在△MOE和△NOF中， ∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON， ∴△MOE≌△NOF（AAS）， ∴OE=OF． 又∵OE⊥BC，OF⊥CD， ∴点O在∠C的平分线上， ∴O在移动过程中可形成线段AC； （4）O在移动过程中可形成直线AC． 如图4，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90° 又∵∠C=90° ∴∠EOF=90°=∠MON ∴∠MOE=∠NOF △MOE和△NOF中， ， ∴△MOE≌△NOF（AAS） ∴OE=OF 又∵OE⊥BC，OF⊥CD ∴点O在∠C的平分线上， ∵点O在正方形外部， ∴O在移动过程中可形成直线AC中除去线段AC的部分． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．解题时需要运用全等三角形的判定与性质，以及角平分线的判定定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$