精品解析：重庆市西北狼教育联盟2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题

西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键． 根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可． 【详解】解：A． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； B． 属于最简二次根式，故本选项符合题意； C． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； D． 不属于最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 5，12，13 D. 9，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，则此项不符合题意； B、，不能构成三角形，则此项符合题意； C、，能构成直角三角形，则此项不符合题意； D、，能构成直角三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 3. 有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．由于比赛设置了10个获奖名额，共有21名选手参加，故应根据中位数的意义分析． 【详解】解：10位获奖者的分数肯定是21名参赛选手中最高的，而21个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之后的共有11个数， ∴只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了， 故选：D． 4. 在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理逐一判断即可求解，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，该选项不能判定是平行四边形，符合题意； 、，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 、，，根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形，该选项能判定是平行四边形，不合题意； 故选：． 5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查与抽样调查、判断事件发生的可能性、根据方差判断稳定性，根据全面调查与抽样调查的定义、方差的意义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，说法正确，本选项不符合题意； B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，说法正确，本选项不符合题意； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，说法正确，本选项不符合题意； D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是乙，故原说法错误，符合题意； 故选：D． 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】先计算二次根式的除法运算，再利用＜＜进行估算即可得到结论. 【详解】解： ＜＜ ＜＜ 故选： 【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，无理数的估算，掌握二次根式的除法运算的法则是解题的关键. 7. 将直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ） A. 直线经过一、三、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 与y轴交于（1， 0） D. 与x轴交于（－3， 0） 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的性质，得；根据代数式的性质，得直线与y轴交于（0， 1）；根据一元一次方程的性质，得直线与x轴交于（-3， 0），根据直角坐标系的性质，得直线经过一、二、四象限，即可得到答案． 【详解】直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b ∴ ∴y随x的增大而增大， 当时，，即直线与y轴交于（0， 1） 当时，得： ∴，即直线与x轴交于（-3， 0） ∴直线经过一、二、四象限， ∴选项A、B、C错误，选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数、平移、一元一次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数和平移的性质，从而完成求解． 8. 如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A. 15尺 B. 24尺 C. 25尺 D. 28尺 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正方形的性质等知识，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．根据题意，可知EB'的长为14尺，则尺，设出尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程即可． 【详解】解：依题意画出图形， 设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴水深为：尺， 故选：B． 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数图象，注意：一次函数的图象有四种情况：①当，，函数的图象经过第一、二、三象限；②当，，函数的图象经过第一、三、四象限；③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；④当，时，函数的图象经过第二、三、四象．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，，即，正比例函数的图象可知，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即，与正比例函数的图象可知矛盾，故此选项不符合题意； 故选：B． 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点、，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②根据三角形中位线定理可作判断；③先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长；④由三角形中线的性质可得：． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ②，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ∴，故③错误； ②由③知：是的中位线， ， ， ，故②正确； ④， ，故④正确； 故正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 小张面试时的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分，分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 _____________分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数，掌握加权平均数的定义是解题的关键． 根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】这个人的面试成绩是：（分）， 故答案为：． 13. 若实数，满足则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，实数的运算，根据非负数的性质得到，则，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可． 【详解】解：如图所示，将圆柱沿着经过点F的高展开， 由题意得， 在中，由勾股定理得， ∵两点之间线段最短， ∴蜘蛛所走最短路径长度为， 故答案为：20． 15. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，即可进行解答． 【详解】解：把代入得：， ∴， ∵点P为一次函数与的图象交点， ∴方程组的解是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两个一次函数的交点的横坐标和纵坐标的值等于对应二元一次方程组的解． 16. 如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 若关于的不等式组无解，且关于的一次函数的图像经过第一、三、四象限，则符合条件的所有整数的和是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与其系数之间的关系，解不等式组，根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式中两个不等式，再根据不等式组无解求出；根据一次函数图象经过第一、三、四象限时，一次项系数和常数项都为负数列出关于a的不等式组，解不等式组确定a的取值范围，再求出满足题意的整数a，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， ∴； ∵关于的一次函数的图像经过第一、三、四象限， ∴， ∴； 综上所述，， ∴符合题意的整数a的值可以为3和4， ∴符合条件的所有整数的和是， 故答案为：． 18. 已知一个三位数M，如果满足百位上的数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍，则称M为“四喜数”，最小的“四喜数”为______，若“四喜数”M的前两位数字组成的两位数与M的个位上的数字的和记为；交换M的百位数字和十位数字，将这两位数字组成的新两位数与M的个位数字的和记为．当能被4整除时，符合条件的M的最大值为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的运算、列代数式、有理数的整除特性等知识点，准确理解题干中的定义和公式并熟练运用是解题的关键． 设这个三位数，根据“四喜数”的定义即可确定最小的“四喜数”； 设“四喜数”的百位为a，十位为b，个位为c，即；进而得到、，代入可得，然后取得a、b、c的值即可解答. 【详解】解：设这个三位数， ∵三位数M的百数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍， ∴， ∴当时，，M有最小值， 设“四喜数”的百位为a，十位为b，个位为c ∴， ∴，， ∴， ∴当时，， ∴当 能被4整除时，符合条件的M的最大值为． 故答案为：，． 三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算或化简： （1）化简： （2）计算： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，二次根式的混合计算： （1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （2）先计算二次根式乘除法，再去绝对值后计算加减法即可． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解； ． 20. 如图，四边形是矩形，连接相交于点平分交于点M． （1）用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点N，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ， ①_______， 平分平分， ， ②_______， 在和中有， ③_______， ④_______， 又， 四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据基本尺规作图-作角平分线的方法即可得到答案； （2）由矩形性质得到，再由角平分线定义得到，进而结合三角形全等判定与性质得到，再结合，根据平行四边形的判定定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：所求图形，如图所示。 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ， ①， 平分平分， ， ②， 在和中有， ③， ④， 又， 四边形是平行四边形． 故答案为：①；②；③；④ 【点睛】本题考查特殊平行四边形综合，涉及基本尺规作图——作角平分线、矩形性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、平行四边形的判定等知识，熟练掌握基本尺规作图及相关几何性质与判定是解决问题的关键． 21. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81； 八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 90 90 八年级 90 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级学生竞赛成绩更好，理由见解析 （3）780人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是关键． （1）根据中位数，众数定义可得，的值，根据优秀率的定义可得的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及优秀率的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 七年级20名学生的比赛成绩中，94出现的次数最多，故众数； 把八年级20名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是91、92，故中位数， ， ， 故答案为：94，91.5，30； 【小问2详解】 八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均和优秀率高于七年级，所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 （名， 答：估计七年级、八年级学生参加此次征文比赛成绩为优秀的共大约有780人． 22. 随着科学技术发展，人工智能在各行各业得到广泛运用．某零件生产企业购进甲、乙两类智能机器共30台，其中甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花费 180万元． （1）购进的甲、乙两类智能机器分别是多少台？ （2）在运用这两类智能机器中，每台智能机器每小时完成的零件数量，甲类比乙类多20个，1台甲类智能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等．甲类智能机器每天能工作16小时，乙类智能机器每天能工作12小时．该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是多少? 【答案】（1）购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台； （2）该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是15200件． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，有理数混合运算的应用，正确理解题意，准确找出数量关系列方程是解题关键． （1）设购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台，根据“甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花费 180万元”列方程求解即可； （2）设甲类智能机器每小时完成的零件数量为件，则乙类智能机器每小时完成的零件数量为件，根据“1台甲类智能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等”列分式方程，求出甲、乙两类智能机器每小时完成的零件数，再计算求解即可． 【小问1详解】 解：设购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台， 由题意得：， 解得：， （台）， 答：购进的甲类智能机器是台，则购进的乙类智能机器是台； 【小问2详解】 解：设甲类智能机器每小时完成的零件数量为件，则乙类智能机器每小时完成的零件数量为件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， （件）， 即甲类智能机器每小时完成的零件件，乙类智能机器每小时完成的零件件， （件）， 答：该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是15200件． 23. 如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，到达点时停止，设点运动路程为，的面积为（注：三角形的面积不能为0）． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； （3）已知函数，根据图象直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析，当时，y随着x的增大而增大．（任写一条性质即可） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，一次函数一次函数图象和性质，读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意分类讨论：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时； （2）根据函数解析式描点作出函数图象，再写出一条性质即可； （3）先求出两函数的交点坐标，再根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 当点P在边上运动，即时，， ∴； 当点P在边上运动，即时，， ∴， ∴； 综上，． 【小问2详解】 解：如图所示函数图象即为所求； 性质：当时，y随着x的增大而增大．（任写一条性质即可）； 【小问3详解】 解：联立，解得， ∴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，的函数图象在的函数图象上方，即此时。 24. 如图，四边形是一个环湖公园的步行道，，在正东方；在正东方，在的东北方，在北偏东方向． （1）求的长度； （2）小王和小张同时从出发，小王沿方向跑，小张沿方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点？（参考数据：，） 【答案】（1） （2）小张先到达终点 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，根据题意可得：，从而可得，然后证明是等腰直角三角形，求出的长，从而求出的长，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，即可解答； （2）根据题意可得：，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，进而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， 在中，，， ∴是等腰直角三角形， ， ∴， 在中，， ， 的长度为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，则， 在中，， ， 小王跑的路程， 小张跑的路程， 两人速度相同，且 小张先到达终点． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，平行线间的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 25. 如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为． （1）求直线的表达式； （2）点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标； （3）把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）作点C关于x轴的对称点H，连接，则，由轴对称的性质可得，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，故点M即为直线与x轴的交点，求出直线的解析式为，在中，当，据此可得答案； （3）分把线段绕点顺时针旋转得到线段和把线段绕点逆时针旋转得到线段，通过一线三垂直模型构造全等三角形求出点E的坐标，进而求出直线解析式，再联立直线解析式和直线解析式求出点D的坐标即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入中得：， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图所示，作点C关于x轴的对称点H，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∴点M即为直线与x轴的交点， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 【小问3详解】 解：当把线段绕点逆时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作y轴的垂线，垂足分别为H、G， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴ 当把线段绕点顺时针旋转得到线段时，如图所示，过点C、E分别作x轴的垂线，垂足分别为H、G， 同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 联立，解得， ∴； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 【答案】（1）， 理由：如图1中， 正方形的对角线，交于点， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ； （2）；（3）4或2 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，证明，得到，即可求解； （2）取的中点，连接，根据菱形的性质可得是等边三角形，可证明，得到，即可证明； （3）分两种情况：当点靠近点时，；当点靠近点时；过点作于，连接，作交于，结合（2），根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）结论变为，理由如下： 如图2中，取的中点T，连接， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （3）如图3﹣1中，当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G． 是等边三角形，， ，， 在中，， ， 由（2）可知，， ； 如图中，当点靠近点时，同法可得，， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或； 故答案为：4或2． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，正方形及菱形的性质，等腰三角形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研 九年级数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列式子中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 1，2，3 C. 5，12，13 D. 9，12，15 3. 有21名同学参加学校组织的几何画板比赛，已知他们所得的分数互不相同，共设10个获奖名额．某同学知道自己的比赛成绩后，要判断自己能否获奖，在下列关于这21名同学成绩的统计量中只需知道一个量，它是（ ） A. 方差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数 4. 在四边形中，、相交于点，下列选项中，不能判定是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（　　） A. 为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B. 了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C. 了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D. 甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差，，则发挥稳定的是甲 6. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 将直线向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说法正确的是（ ） A. 直线经过一、三、四象限 B. y随x的增大而减小 C. 与y轴交于（1， 0） D. 与x轴交于（－3， 0） 8. 如图，有一个水池，截面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池的一边，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（　　） A. 15尺 B. 24尺 C. 25尺 D. 28尺 9. 下列图形中，表示一次函数与正比例函数，为常数，且的图象的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，平行四边形的对角线，相交于点O，平分，分别交，于点、，连接，，，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 小张面试时的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别是分，分，分，若依次按，，的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 _____________分． 13. 若实数，满足则的值为______． 14. 如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是______． 15. 如图，一次函数与的图象相交于点，则方程组的解是__． 16. 如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 17. 若关于的不等式组无解，且关于的一次函数的图像经过第一、三、四象限，则符合条件的所有整数的和是______． 18. 已知一个三位数M，如果满足百位上的数字与个位上的数字和是十位上的数字的四倍，则称M为“四喜数”，最小的“四喜数”为______，若“四喜数”M的前两位数字组成的两位数与M的个位上的数字的和记为；交换M的百位数字和十位数字，将这两位数字组成的新两位数与M的个位数字的和记为．当能被4整除时，符合条件的M的最大值为______. 三、解答题：（本大题2个小题，19题8分，20题10分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 计算或化简： （1）化简： （2）计算： 20. 如图，四边形是矩形，连接相交于点平分交于点M． （1）用尺规完成基本作图：作的角平分线交于点N，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）求证：四边形是平行四边形． 证明：四边形是矩形， ， ①_______， 平分平分， ， ②_______， 在和中有， ③_______， ④_______， 又， 四边形是平行四边形． 21. 某学校团委举行了以“热血青春逐梦想，挺膺担当筑韶华”为主题的建国知识竞赛活动.为了了解七、八年级学生对建国知识的掌握情况，现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为，，，四个等级，分别是：.，.，.，..下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的竞赛成绩分别是：100，97，97，96，94，94，94，92，91，90，90，89，88，88，87，85，83，82，82，81； 八年级被抽取的20名学生的竞赛成绩在等级中的数据分别是：90，91，92，93，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 90 90 八年级 90 96 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有1500人、八年级有1600人参加了这次竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 22. 随着科学技术发展，人工智能在各行各业得到广泛运用．某零件生产企业购进甲、乙两类智能机器共30台，其中甲类智能机器8万元/台，乙类智能机器5万元/台，共花费 180万元． （1）购进的甲、乙两类智能机器分别是多少台？ （2）在运用这两类智能机器中，每台智能机器每小时完成的零件数量，甲类比乙类多20个，1台甲类智能机器完成200个零件与1台乙类智能机器完成120个零件的时间相等．甲类智能机器每天能工作16小时，乙类智能机器每天能工作12小时．该企业购进的这30台智能机器，每天能完成的零件总量是多少? 23. 如图，中，，，，动点从点出发，沿着折线匀速运动，到达点时停止，设点运动路程为，的面积为（注：三角形的面积不能为0）． （1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质； （3）已知函数，根据图象直接写出当时的取值范围． 24. 如图，四边形是一个环湖公园的步行道，，在正东方；在正东方，在的东北方，在北偏东方向． （1）求的长度； （2）小王和小张同时从出发，小王沿方向跑，小张沿方向跑，若两人速度相同，问谁先到达终点？（参考数据：，） 25. 如图，一次函数与坐标轴交于，两点，将线段以点为中心逆时针旋转一定角度，点B的对应点落在第二象限的点处，且点坐标为． （1）求直线的表达式； （2）点是轴上一点，当最小时，请求出点的坐标； （3）把线段绕点旋转得到线段，连接，直线与直线相交于，请直接写出点的坐标． 26. 【问题呈现】 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合）．探索线段之间的数量关系． 【问题初探】 （1）爱动脑筋的小悦发现，通过证明两个三角形全等，可以得到结论．请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题引申】 （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你帮小悦得出此时线段、、之间的数量关系是 ； 【问题解决】 （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $