精品解析：山东省德州市齐河县刘桥乡中学2024-2025学年九年级上学期开学阶段检测数学试题

2024-2025学年度第一学期开学阶段性检测九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在 中，点D，E分别是 ， 边的中点，点F在 的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 3 5. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 ， ， 的计算公式：，，，其中 ， ， 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 7，24，25 6. 如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（8，6），以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ） A. 128 B. 64 C. 32 D. 144 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形ABMP为矩形 B. 当时，四边形CDPM为平行四边形 C. 当时， D. 当时，或6s 9. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 10. 如图，菱形 的对角线 长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 当时，的值是______． 12. 如果一个三角形的三边分别为1，，，则其面积为______． 13. 如图，在矩形 中，对角线相交于点O，过点O作于点E，，则 的长为 ___________． 14. 已知：，，则________． 15. 如图，在平行四边形 中，点 为边上一点，，点，点 分别是中点，若，则 的长为__________． 16. 如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB=6，BC=8，CD=10．则AD的长为_____． 17. 如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点O，E为 上一点，，F为 的中点，若的周长为32，则的长为___________． 18. 如图，在四边形 中，， ，， ，垂足为，且．若，则线段 的长为______． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 22. 如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB 外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长． 23. 【阅读学习】 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中 ， ， ， 均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法． 【解决问题】 （1）当 ， ， ， 均为正整数时，若，用含 ， 的式子分别表示 ， ，得：______， ______； （2）利用（1）的结论，找一组正整数，使得成立，且的值最小．请直接写出 ， ， ， 的值； （3）若，且 ， ， 均为正整数，求 的值． 24. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． （1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图1，菱形 中，，， 分别是 ， 上的点，且，求证：四边形是完美四边形； （3）如图2和如图3中，四边形 均为完美四边形， ，，连接 ． ①在图2中，求证： 平分； ②在图3中，当时，直接用等式写出线段 ， ， 之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期开学阶段性检测九年级数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，令二次根式的被开方数大于或等于零即可求出结论． 【详解】 二次根式在实数范围内有意义， ，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查二次根式的定义的理解与掌握情况．形如的式子叫作二次根式，根号下的数 叫作被开方数．正确理解只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义是解本题的关键． 2. 下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选B． 3. 如图，在 中，点D，E分别是 ， 边的中点，点F在 的延长线上．添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则这个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理得到DE∥AC且DE=AC，结合平行四边形的判定定理进行选择． 【详解】解：∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AC且DE=AC， A、根据∠B=∠F不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误． B、根据DE=EF可以判定DF=AC，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得到四边形ADFC为平行四边形，故本选项正确． C、根据AC=CF不能判定AD∥DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误． D、根据AD=CF，FD∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 4. 计算的结果是（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可． 【详解】解： 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键． 5. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数 ， ， 的计算公式：，，，其中 ， ， 是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是（　　） A. 3，4，5 B. 5，12，13 C. 6，8，10 D. 7，24，25 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明出，得到a，b是直角三角形的直角边然后由 ， ， 是互质的奇数逐项求解即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴． ∴a，b是直角三角形的直角边， ∵ ， 是互质的奇数， ∴A．， ∴当 ， 时，，，， ∴3，4，5能由该勾股数计算公式直接得出； B．， ∴当 ， 时，，，， ∴5，12，13能由该勾股数计算公式直接得出； C．，， ∵ ， 是互质的奇数， ∴6，8，10不能由该勾股数计算公式直接得出； D．， ∴当， 时，，，， ∴7，24，25能由该勾股数计算公式直接得出． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数的应用，通过 ， ， 是互质的奇数这两个条件去求得符合题意的t的值是解决本题的关键． 6. 如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为（8，6），以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于MN长为半径画弧两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AC于点E，由勾股定理可求AC=10，由“AAS”可证△ADO≌△ADE，可证AE=AO=8，OD=DE，可得CE=2，由勾股定理可求OD的长，即可求点D坐标． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E， ∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（8，6）， ∴OA=8，OC=6 ∴AC==10 由题意可得AD平分∠OAC ∴∠DAE=∠DAO，AD=AD，∠AOD=∠AED=90° ∴△ADO≌△ADE（AAS） ∴AE=AO=8，OD=DE ∴CE=2， ∵CD2=DE2+CE2， ∴（6-OD）2=4+OD2， ∴OD= ∴点D（0，） 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明△ADO≌△ADE是本题的关键． 7. 如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中，，则的值是（ ） A. 128 B. 64 C. 32 D. 144 【答案】A 【解析】 【分析】13和5为两条直角边长时，求出小正方形的边长8，即可利用勾股定理得出EF2的长． 【详解】解：根据题题得：小正方形的边长等于BE-AE， ∵，， ∴小正方形的边长=13-5=8， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． 8. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（ ） A. 当时，四边形ABMP为矩形 B. 当时，四边形CDPM为平行四边形 C. 当时， D. 当时，或6s 【答案】D 【解析】 【分析】计算AP和BM的长，得到AP≠BM，判断选项A；计算PD和CM的长，得到PD≠CM，判断选项B；按PM=CD，且PM与CD不平行，或PM=CD，且PM∥CD分类讨论判断选项C和D． 【详解】解：由题意得PD=t，AP=AD-PD=10-t，BM=t，CM=8-t，∠A=∠B=90°， A、当时，AP=10-t=6 cm，BM=4 cm，AP≠BM，则四边形ABMP不是矩形，该选项不符合题意； B、当时，PD=5 cm，CM=8-5=3 cm，PD≠CM，则四边形CDPM不是平行四边形，该选项不符合题意； 作CE⊥AD于点E，则∠CEA=∠A=∠B=90°， ∴四边形ABCE是矩形， ∴BC=AE=8 cm， ∴DE=2 cm， 当PM=CD，且PM与CD不平行时，作MF⊥AD于点F，CE⊥AD于点E， ∴四边形CEFM是矩形， ∴FM=CE； ∴Rt△PFM≌Rt△DEC（HL）， ∴PF=DE=2，EF=CM=8-t， ∴AP=10-4-(8-t)=10-t， 解得t=6 s； 当PM=CD，且PM∥CD时， ∴四边形CDPM是平行四边形， ∴DP=CM， ∴t=8-t， 解得t=4 s； 综上，当PM=CD时，t=4s或6s；选项C不符合题意；选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，应注意分类讨论，求出所有符合条件的t的值． 9. 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（　　） A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】解：∵S1=3，S3=9， ∴AB=，CD=3， 过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB=∠DCB， ∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴CE=AD，AE=CD=3， ∵∠ABC+∠DCB=90°， ∴∠AEB+∠ABC=90°， ∴∠BAE=90°， ∴BE= =2， ∵BC=2AD， ∴BC=2BE=4， ∴S2=（4）2=48， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等，正确地添加辅助线是解题的关键. 10. 如图，菱形 的对角线 长度为4，边长，M为菱形外一个动点，满足，N为中点，连接．则当M运动的过程中，长度的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接 ，交 于点 ，连接 ，易得 是的中位线，得到，取 的中点，连接，得到，得到当三点共线时，最长，进行求解即可． 【详解】解：连接 ，交 于点 ，连接 ， ∵菱形 的对角线 长度为4，边长， ∴，，， ∴， ∵N为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 取 的中点，连接， 则：， ∵， ∴当三点共线时，的长度最大为； 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 当时，的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把代入计算即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 12. 如果一个三角形的三边分别为1，，，则其面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 先根据勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴边1，为直角边， ∴三角形面积． 故答案为：． 13. 如图，在矩形 中，对角线相交于点O，过点O作于点E，，则 的长为 ___________． 【答案】8 【解析】 【分析】先由矩形的性质得出 ，从而得出，再推出，最后利用含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的性质和特殊直角三角形的性质，综合运用图形的性质解题是关键． 14. 已知：，，则________． 【答案】10 【解析】 【分析】将a、b的值代入求值即可． 【详解】 ， ． 故答案为：10 【点睛】本题主要考查二次根式的加减、乘法混合运算，熟记二次根式的加减法、乘法运算法则是解题关键． 15. 如图，在平行四边形 中，点 为边上一点，，点，点 分别是中点，若，则 的长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理可得BC的长，再根据平行四边形的性质可得AD的长，然后根据即可得． 【详解】 点，点 分别是中点 是的中位线 四边形ABCD是平行四边形 又 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识点，解题的关键是熟记三角形中位线定理． 16. 如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB=6，BC=8，CD=10．则AD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，利用勾股定理得到：a2+d2=62，c2+d2=82，b2+c2=102，将三个等式相加，求得a2+b2的值即可． 【详解】解：如图，∵AC⊥BD， ∴由勾股定理得到：a2+d2=62①， c2+d2=82②， b2+c2=102③， 由①+②+③得：a2+b2+2（c2+d2）=62+82+102， 即a2+b2+2×82=62+82+102， ∴a2+b2=72， ∴AD2=72， ∴AD=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中，方程思想在解题过程中的巧妙应用． 17. 如图，在正方形 中，对角线 与 相交于点O，E为 上一点，，F为 的中点，若的周长为32，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和的周长，求出的长，进而求出 的长，勾股定理求出 的长，进而求出 的长，利用三角形的中位线定理，即可得解． 【详解】解：的周长为32， ． 为DE的中点， ． ， ， ， ， ． 四边形 是正方形， ，O为BD的中点， 是的中位线， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理．熟练掌握斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 18. 如图，在四边形 中，， ，， ，垂足为，且．若，则线段 的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，过点 作的延长线于点 ，可得四边形 是矩形，，即得，由求出，即可求得，再由求出 ，即得，最后利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点 作的延长线于点 ，则， ∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， ∴四边形 是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2） ； （3） ； （4）． 【解析】 【分析】（ ）利用二次根式的性质化简，再合并即可求解； （ ）利用完全平方公式和二次根式的性质分别运算，再合并即可求解； （ ）利用二次根式的乘除法运算法则计算，再合并即可求解； （ ）利用二次根式的性质先化简括号内的二次根式，再进行除法运算即可求解； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ， ， ； 【小问4详解】 解：原式 ， ． 20. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1），， （2）能构成三角形，周长为 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b、c的值； （2）根据三角形三边关系，实数大小的比较方法，二次根式加减运算法则进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：能构成三角形，理由如下： 由（1）知：，，， ∵， ∴， ∴能构成三角形， 三角形的周长为：． 21. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD=∠ADF， ∵∠AEO=∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）； （2） 解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO=DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD=90°， ∴平行四边形AODF为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可； （2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键． 22. 如图1，在△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为边，在△OAB 外作等边△OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E． （1）求证：四边形ABCE是平行四边形； （2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长． 【答案】（1）见解析；（2）OG=1. 【解析】 【分析】（1）首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得DO=DA，再根据等边对等角可得∠DAO=∠DOA=30°，进而算出∠AEO=60°，再证明BC∥AE，CO∥AB，进而证出四边形ABCE是平行四边形． （2）设OG=x，由折叠可得：AG=GC=8-x，再利用三角函数可计算出AO，再利用勾股定理计算出OG的长即可． 【详解】解：（1）证明：在Rt△OAB中，D为OB的中点，∴DO="DA" ． ∴∠DAO=∠DOA ="30°," ∠EOA="90°" ．∴∠AEO ="60°" ． 又∵△OBC为等边三角形，∴∠BCO=∠AEO =60°．∴BC∥AE． ∵∠BAO=∠COA =90°，∴OC∥AB． ∴四边形ABCE是平行四边形． （2）设OG=x，由折叠可知：AG=GC=8－x． 在Rt△ABO中，∵∠OAB =90°，∠AOB =30°，OB=8，∴OA=OB·cos30°=8×=． 在Rt△OAG中，OG2+OA2=AG2，即，解得，． ∴OG=1． 23. 【阅读学习】 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中 ， ， ， 均为整数），则有． ∴，．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法． 【解决问题】 （1）当 ， ， ， 均为正整数时，若，用含 ， 的式子分别表示 ， ，得：______， ______； （2）利用（1）的结论，找一组正整数，使得成立，且的值最小．请直接写出 ， ， ， 的值； （3）若，且 ， ， 均为正整数，求 的值． 【答案】（1）， （2） （3）14或46 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式计算，由此即可得； （2）先根据（1）的结论可得，再根据都是正整数，且可得当时，的值最小，即的值最小，然后代入求出的值即可； （3）先利用完全平方公式可得，，再根据均为正整数可得 ， 或， ，然后代入求出 的值即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，． 【小问2详解】 解：由（1）可知，，， ， 都是正整数，且， 当时，的值最小，即的值最小， 则，， 综上，． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，，即， ∵ ， 均为正整数， ∴ ， 或， ， 当 ， 时，， 当， 时，， 综上， 的值为14或46． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用、二次根式乘法的应用，熟记完全平方公式是解题关键． 24. 我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做完美四边形． （1）在以下四种四边形中，一定是完美四边形的是______（请填序号）； ①平行四边形 ②菱形 ③矩形 ④正方形 （2）如图1，菱形 中，，， 分别是 ， 上的点，且，求证：四边形是完美四边形； （3）如图2和如图3中，四边形 均为完美四边形， ，，连接 ． ①在图2中，求证： 平分； ②在图3中，当时，直接用等式写出线段 ， ， 之间的数量关系． 【答案】（1）④ （2）见解析 （3）①见解析，②BC+CD=AC 【解析】 【分析】（1）根据“完美四边形”的定义即可判断； （2）连接BD，先证△ABD是等边三角形得AD=BD，再证△ADE≌△BDF得DE=DF，∠AED=∠BFD，结合∠AED+∠DEB=180°知∠BFD+∠DEB=180°，从而得证； （3）①延长CB至点E，使BE=CD，连接AE，证△ADC≌△ABE得∠ACD=∠E，AC=AE，继而知∠ACE=∠E，从而得∠ACD=∠ACE，即可得证； ②延长CB使BE=CD，连接AE，由“SAS“可证△ADC≌△ABE，可得AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE，在Rt△CAE中，由勾股定埋可求CE=AC，即可求解． 【小问1详解】 解：根据完美四边形的定义，可知“正方形”是完美四边形； 故答案为：④； 【小问2详解】 证明：如图，连接BD， ∵菱形ABCD， ∴AB=AD，AD∥BC. ∵∠A=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120°， ∴AD=BD ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=60°=∠A， ∵AE=BF， ∴△ADE≌△BDF（SAS）， ∴DE=DF，∠AED=∠BFD， ∵∠AED+∠DEB=180°， ∴∠BFD+∠DEB=180°， ∴四边形DEBF是完美四边形． 【小问3详解】 ①证明：延长CB至点E，使BE=CD，连接AE， ∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABE=180°， ∴∠ABE=∠D， 又∵AB=AD， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴∠ACD=∠E，AC=AE， ∴∠ACE=∠E， ∴∠ACD=∠ACE， ∴CA平分∠DCB； ②BC+CD=AC，理由如下：如图2，延长CB，使BE=CD，连接AE， ∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°， ∴∠ADC=∠ABE， 又∵AD=AB，BE=CD， ∴△ADC≌△ABE（SAS）， ∴AC=AE，∠EAB=∠CAD，CD=BE， ∴∠CAE=∠DAB=90°， ∴， ∴CD+BC=AC． 【点睛】本题考查了完美四边形的定义，三角形面积，三角形全等的性质和判定，圆内接四边形的性质等知识，是四边形综合题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $