精品解析：广东省惠州市惠阳区丰湖高级中学2023-2024学年高一下学期第二次段考测试数学试题

惠州市惠阳区丰湖高级中学 2023-2024学年第二学期高一第二次段考测 试卷说明： 1.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､试室号､座位号填写在答题卷上. 3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 第I卷（选择题共60分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法法则得到，从而确定所在象限. 【详解】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限. 故选：A 2. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D. 甲成绩的方差小于乙成绩的方差 【答案】B 【解析】 【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案. 【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确； 将甲成绩进行排序，又，故从小到大，选择第二个成绩作为甲成绩的第25百分位数，估计值为90分， 将乙成绩进行排序，又，故从小到大，选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，估计值大于90分， 从而甲成绩的第25百分位数小于乙成绩的第75百分位数，B错误； 甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确. 故选：B 3. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）. A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意作出圆锥轴截面图像,根据图像求出圆锥底面半径和母线,根据侧面积公式即可求解. 【详解】如图所示为该圆锥轴截面,    由题意,底面圆半径,母线, 所以侧面积. 故选：C. 4. 某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】由分层抽样抽样比可得答案. 【详解】由分层抽样可知，抽取青年人人数为. 故选：D． 5. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算方法求解. 【详解】 因为有8个数，且，所以分位数第三个数5． 故选：D 6. 在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】由余弦定理可得，，故. 故选：A. 7. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知向量坐标，求投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以，， 向量在向量方向上的投影向量为 . 故选：D. 8. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度（ ） A. B. C. 100 D. 300 【答案】A 【解析】 【分析】求出，由正弦定理求出，进而利用三角函数求出高度. 【详解】如图由题意得：，， 在中，， 在中，， 由正弦定理得：，即， 解得：， 由于CD⊥平面ABC，平面ABC，所以CD⊥BC， 则（m）. 故选：A 二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可． 【详解】对于A，若，，l和m可以相交，故错误； 对于B，若，，，则，正确； 对于C，若，，则或在内，又，则正确； 对于D，若，，，可能，故不一定成立． 故选：BC． 10. 如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（ ） A. 与能构成一组基底 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，由正八边形性质可证与平行，即可由基底定义判断； 对B，由正八边形性质可证，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断； 对C，由，利用平行四边形法则即可计算； 对D，由，即可根据向量数量积定义计算 【详解】 连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误； ，所以，所以，B项正确； 因为，由平行四边形法则可知，，C项正确； 正八边形的每一个内角为，， 所以，D项错误（或者从正八边形的性质可知与的夹角为锐角，则有可判断D错误）. 故选：BC 11. 某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ） A. 样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B. 如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C. 样本的中位数为520 D. 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 【答案】BD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的有关概念计算可得结果. 【详解】 由，得，故样本数据落在区间内的频率为，A错误； 样本数据低于600的频率为，B正确； 对应的频率为，对应的频率为，所以中位数在内，故中位数为，C错误； 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为，D正确． 故选：BD 12. 如图，在直三棱柱中，，，，D是BC的中点．则下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 平面与平面所成角的正弦值为 【答案】ABCD 【解析】 【分析】由线面平行的判断即可判断A，由异面直线夹角的定义以及余弦定理即可判断B，由线面垂直的性质定理即可判断C，由二面角的定义即可判断D 【详解】如图，连接交于E，连接DE，易知E为中点， 则，且面，面，所以面，选项A正确； 因为，D是BC的中点，所以，且为直三棱柱， 则平面，又平面，所以，且， 平面，所以平面， 又平面，所以，故C正确； 延长交于点P，连接PA．则PA为平面与平面的交线， 由于D为BC中点．∴．四边形为平行四边形． ∴，即∠APD为异面直线与所成角， ∴，，，， 可得，故B正确； 关于选项D，平面ABD．则平面平面ABD．从而三面角为“直三面角”． 分离后设，，，二面角的平面角为， 且，． 则在中，．在中，． 在中，．∴．故D正确. 故选：ABCD． 第II卷（非选择题共90分） 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知i为虚数单位，则_________． 【答案】i 【解析】 【分析】根据虚数单位的定义，可得，，，，根据其周期性，可得每一项结果，可得答案. 【详解】由，，，，得． 故答案为：i. 14. 已知平面向量，且与共线，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算可得，结合共线向量的坐标表示计算即可. 【详解】由， 得， 因为与共线，， 所以，解得. 故答案为：3. 15. 某中学为了估计该校高一年级全体学生的平均身高和方差，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生抽取50人，样本的均值为170，方差为19，女生抽取40人，样本的均值为161，方差为28，依据以上数据，若用样本的方差估计高一全体学生身高的方差，则高一年级学生身高方差的估计值为__________. 【答案】43 【解析】 【分析】先由样本均值计算公式求得抽取的样本的均值，再利用样本方差公式即可计算. 【详解】抽取的样本的均值为， 抽取的样本的方差为. 故答案为：43. 16. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】作出直线与平面所成的角，求出OD的长，解直角三角形即可求得答案. 【详解】连接， 因为是圆锥的高，故平面，平面， 故，又点C是底面直径所对弧的中点，则， 平面，故平面， 则即为直线与平面所成的角， 因为圆锥底面半径为3，母线长为4，故， ，则, 故, 在中，, 即直线与平面所成的角的正切值为， 故答案为： 四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 的内角的对边分别是，已知，且的面积为24. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）64 （2）6 【解析】 【分析】(1)利用同角三角函数的基本关系得到，然后利用三角形面积，然后代入向量的数量积即可求解； (2)结合（1）知，可得到，然后利用余弦定理即可求出结果. 【小问1详解】 因为，所以. 因为的面积为24，所以，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，又， 所以，解得，从而， 中，由余弦定理可得：， 解得. 18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）； （3）估计这次考试的众数、平均分． 【答案】（1），直方图见解析 （2）73 （3）众数是75，平均分71 【解析】 【分析】（1）根据频率和等于1，即可求解；（2）根据中位数平分直方图的面积，列出方程求解即可；（3）根据众数的定义及平均数的计算公式求解即可. 【小问1详解】 因为各组频率和等于1， 故第四组的频率： 直方图如图所示． 【小问2详解】 成绩在的频率为 成绩在的频率为：，中位数在内. 设中位数为， 中位数要平分直方图的面积 ， 解得即中位数为. 【小问3详解】 频率最大的是组，则众数是； 利用组中值估算抽样学生的平均分为： 估计这次考试的平均分是分． 19. 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可求的值； （2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值. 【小问1详解】 ， 由，得，所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以，. 令向量与的夹角为θ， 则， 即向量与夹角的余弦值是. 20. 如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，平面ABCD，且. （1）求证：平面AEC； （2）求证：平面AEC. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，由条件可证四边形BOEF为平行四边形，则，再由线面平行的判定定理即可证明； （2）根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面BDEF，从而可得，即可得到证明. 【小问1详解】 如图，设AC与BD交于点O，则O为正方形ABCD的中心，连接OE，不妨令. 则. ∵四边形ABCD为正方形，∴. ∵平面ABCD，且平面平面，面， ∴， ∴，，即四边形BOEF平行四边形， ∴. 又平面AEC，平面AEC， ∴平面AEC. 【小问2详解】 连接OF. ∵，且，，∴四边形ODEF为菱形. ∵平面ABCD， ∴四边形ODEF为正方形，∴. 又四边形ABCD为正方形， ∴. ∵平面ABCD，平面ABCD， ∴. 而，且平面BDEF，平面BDEF， ∴平面BDEF. ∵平面BDEF， ∴. 又，OE，平面AEC， ∴平面AEC. 21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若的面积等于，求的周长的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解； （2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以， ∵，所以， 所以，∴； 【小问2详解】 解：依题意，∴ac＝4， 所以，当且仅当时取等号， 又由余弦定理得， ∴，当且仅当a＝c＝2时取等号， 所以的周长最小值为． 22. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证法一：由面面垂直可得平面，则，再由等边三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可证得结论；证法二：由面面垂直可得平面，再由面面垂直的判定可得平面平面，再由等边三角形的性质可得，然后由面面垂直的性质可证得结论； （2）取，的中点分别为，，连接，，，可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【小问1详解】 证法一： 在正方形中， 又侧面底面，侧面底面，底面， 所以平面，因为平面，所以， 因为是正三角形，是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 证法二： 在正方形中， 又侧面底面，侧面交底面于，所以平面， 又平面，故平面平面， 是正三角形，是的中点，所以 又平面交平面于，平面，故平面． 【小问2详解】 取，的中点分别为，，连接，，， 则，，因为，所以， 又在正中，， 因为，平面，平面， 正方形中，，平面， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以， 设正方形的边长，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州市惠阳区丰湖高级中学 2023-2024学年第二学期高一第二次段考测 试卷说明： 1.本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名､试室号､座位号填写在答题卷上. 3.答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存. 第I卷（选择题共60分） 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图标中心点所对纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ） A. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 B. 甲成绩的第25百分位数大于乙成绩的第75百分位数 C. 甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数 D. 甲成绩方差小于乙成绩的方差 3. 攒尖是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为撮尖,清代称为攒尖.通常有圆形攒尖,三角攒尖,四角攒尖,八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑.如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖,可近似看作一个圆锥,已知其轴截面是底边长为m,顶角为的等腰三角形,则该屋顶的面积约为（ ）. A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 4. 某社区为迎接2022农历虎年，组织了庆祝活动，已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为12：15：13，如果采用分层抽样的方法从所有人中抽取一个80人的样本进行调查，则应抽取的青年人的人数为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 5. 已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的分位数是（ ） A 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 6. 在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（    ） A. B. C. D. 7. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到处时测得公路北侧远处一山顶在西偏北30°的方向上，行驶后到达处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为60°，求此山的高度（ ） A B. C. 100 D. 300 二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的有（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 10. 如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（ ） A. 与能构成一组基底 B. C. D. 11. 某市决定对小微企业的税收进行适当减免，某机构对该市的小微企业年利润情况进行了抽样调查，并根据所得数据画出如下的样本频率分布直方图，则（ ） A. 样本数据落在区间［500，600）内的频率为0.004 B. 如果规定年利润低于600万元的小微企业才能享受减免政策，估计该市有80%的小微企业能享受该政策 C. 样本的中位数为520 D. 若每个区间取左侧端点值为代表，则估计样本的平均数为460 12. 如图，在直三棱柱中，，，，D是BC的中点．则下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 平面与平面所成角的正弦值为 第II卷（非选择题共90分） 三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知i为虚数单位，则_________． 14. 已知平面向量，且与共线，则m的值为______． 15. 某中学为了估计该校高一年级全体学生的平均身高和方差，现采用样本量按比例分配的分层抽样方法抽取了容量为90的样本，经计算得男生抽取50人，样本的均值为170，方差为19，女生抽取40人，样本的均值为161，方差为28，依据以上数据，若用样本的方差估计高一全体学生身高的方差，则高一年级学生身高方差的估计值为__________. 16. 如图，圆锥的底面半径为3，母线长为4，是圆锥的高，点C是底面直径所对弧的中点，点D是母线上的点，，则直线与平面所成的角的正切值为________． 四､解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 的内角的对边分别是，已知，且的面积为24. （1）求； （2）若，求 18. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段后，画出如图所示部分频率分布直方图．观察图形，回答下列问题： （1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）估计这次考试成绩的中位数（结果取整数值）； （3）估计这次考试的众数、平均分． 19. 已知， ，. （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 20. 如图，正方形ABCD与平面BDEF交于BD，平面ABCD，平面ABCD，且. （1）求证：平面AEC； （2）求证：平面AEC. 21. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求B； （2）若面积等于，求的周长的最小值． 22. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求侧面与底面所成二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$