精品解析：河南省开封市多校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024-2025学年第一学期教学质量检测一 九年级数学 华东师大 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 关于的方程是一元二次方程，则□可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，此选项符合题意； B．，是二元二次方程，此选项不符合题意； C．，是二元二次方程，此选项不符合题意； D．，是一元一次方程，此选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．是最简二次根式； D．是最简二次根式； 故选B． 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可，熟练选择解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ， 解得， 故选：C． 4. 若，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．二次根式的性质有：，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值可以是． 故选C． 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，及一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的分布与系数的关系，求出实数a的取值范围． 【详解】解：根据一元二次方程有两个不相等的实数根， 可得它的判别式，且， 解得且 ． 故选：C． 6. 已知关于的方程的解是，均为常数，且，那么方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法求解 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，整体思想的运用，熟练掌握整体思想的应用是关键．已知方程的解，对比所求方程，两者在结构上是一致的，因此只需要把看作一个整体对应已知方程的解，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的解， ∴令，，满足方程，即． ∴，， ∴方程的解是，， 故选：B 7. 若式子的运算结果是无理数，那么“□”中的运算符号不可以是（ ） A. + B. - C. × D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的混合运算，熟记无理数的定义，二次根式的运算法则是解题的关键．将符号代入式子分别计算，再根据无理数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，是无理数，不符合题意； B、，是有理数，符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是无理数，不符合题意； 故选：B 8. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运的歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，根据题意得，， 故选：B． 9. 估计的值应在（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算．根据二次根式混合运算的法则求得，然后估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴估计的值应在4和5之间， 故选：B． 10. 一元二次方程（a，b，c为常数，且）的两个根分别为则下列命题判断正确的是（　　） ①若，则也是方程的一个根． ②若x2也为方程和方程的一个根，则一定为零． A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①②都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，配方法方应用，先利用方程的解的含义可判断①，把代入，和方程，三个方程再相加，结合配方法可判断②． 【详解】解：①把代入， 得， 得， 故也是方程的一个根．符合题意； ②把代入，和方程， 三个方程再相加， 得， ∴， ∵， ∴．故②符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项． 首先去括号，然后移项，把等号右边化为0，再合并同类项即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．由数轴知，即可得，据此依据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知， 则， ∴原式 ， 故答案为：5． 14. 已知，则的值为 ________ 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，换元法化为一元二次方程是解题关键；设，则原方程可化为，再利用因式分解法解方程即可得到答案； 【详解】解；设，则原方程可化为， 整理得， 解得（舍去）或， ， 故答案为：1． 15. 如图，在菱形中，交于点，动点从出发沿方向以每秒2cm的速度匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒1cm的速度匀速直线运动到，若同时出发，问出发后______s时，点与点的距离为3cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形性质，勾股定理，设出发后x秒时，点与点的距离为3cm，根据题意得：，进而可得出答案． 【详解】解：∵菱形中，， ∴，，， 设出发后x秒时，点与点的距离为3cm， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵动点从出发沿方向以每秒2cm的速度匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒1cm的速度匀速直线运动到， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）本题考查了二次根式的混合运算，，，熟悉其运算规则是解决问题的关键． （2）本题考查了二次根式与平方差公式和完全平方公式的结合，熟悉二次根式混合运算规则和公式是解决问题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 17. 根据要求解下列方程 （1） （2）（用配方法）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）先把常数项移到方程右边，然后利用直接开平方的方法解方程即可； （2）先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解： 解得． 18. 已知的整数部分是，小数部分是． （1）写出的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小，二次根式的混合运算，熟练掌握估算的方法是解题的关键． （1）先估算出的大小，然后可求得、的值； （2）把的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：， ． ，． 【小问2详解】 解： ． 19. （1）对于一元二次方程，当时，它的求根公式为 ，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，则满足：① ；② ．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． 【答案】（1）：，，，证明见解析；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程求根公式及根与系数关系，数量掌握求根公式是求解的关键． （1）利用一元二次方程的求根公式和根与系数的关系求解； （2）先利用根与系数的关系得，，再把变形为后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：（1）对于一元二次方程（），当时，它的求根公式为， 若方程的两个根为x1，x2，则满足①；②． 证明如下：一元二次方程（）， 当时，， ∴，， ∴， 故答案为：，，； （2）根据根与系数的关系得，， ∴． 20. 如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板面积； （2）求剩余木料的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，再求出原矩形木板的长为，宽为，进而根据矩形的面积得到答案； （2）求出剩余木料的长为，宽为，进而可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为，， ∴原矩形木板的长为，宽为， ∴原矩形木板的面积为； 【小问2详解】 解：剩余木料的长为，宽为， ∴剩余木料的周长为． 21. 已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． （1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 【答案】（1） （2）原方程有两个不相等的实数解，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，勾股定理； （1）根据是等边三角形，得出，进而解一元二次方程，即可求解； （2）根据勾股定理得出，进而计算一元二次方程根的判别式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 即， 解得：； 【小问2详解】 解：原方程有两个不相等的实数解 理由：∵是以为斜边的直角三角形， ∴，， ∴ ∵， ∴ ∴原方程有两个不相等的实数解 22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出______； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了分母有理化： （1）根据分母有理化的方法化简即可； （2）根据分母有理化的方法化简后再计算即可； （3）将a分母有理化，化简为，代入计算即可 【小问1详解】 解： ； 故答案为： 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵ ∴，即， ∴，， ∴ 23. 河南烩面是一道河南特色的传统美食，在安阳市一家烩面馆考察得知，一份烩面的成本价为8元，若每份卖18元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为320元． （1）每份烩面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润？ （2）面馆能实现每天1800元的净利润吗？说明理由． 【答案】（1）20元或22元 （2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键． （1）设当每份烩面提高x元时，每天销量为份，每份的利润为元，根据“每份的利润×总销量-各种费用=净利润”列出方程并解答求得x的值；然后由销售价格求得答案； （2）根据题意得：，整理得，根据一元二次方程根的判别式即可得出答案 【小问1详解】 解：设当每份烩面提高x元时，每天的销量为份，每份的利润为元， 由题意，得， 解得，． 所以或22． 答：每份烩面的价格是20元或22元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润． 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴面馆不能实现每天1800元的净利润． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期教学质量检测一 九年级数学 华东师大 （考试时间：100分钟，满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 关于的方程是一元二次方程，则□可以是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. ， D. ， 4. 若，则的值可以是（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8 5. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 已知关于的方程的解是，均为常数，且，那么方程的解是（ ） A. B. C. D. 无法求解 7. 若式子的运算结果是无理数，那么“□”中的运算符号不可以是（ ） A. + B. - C. × D. 8. 《2024年春节联欢晚会》以匠心独运歌舞创编、暖心真挚的节目表演、充满科技感和时代感的视觉呈现，为海内外受众奉上了一道心意满满、暖意融融的除夕“文化大餐”．截至2月10日2时，总台春晚全媒体累计触达142亿人次，其中“竖屏看春晚”直播播放量亿次．据统计，2022年首次推出的“竖屏看春晚”累计观看2亿次，设“竖屏看春晚”次数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程( ) A. B. C. D. 9. 估计的值应在（　　） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 10. 一元二次方程（a，b，c为常数，且）的两个根分别为则下列命题判断正确的是（　　） ①若，则也是方程的一个根． ②若x2也为方程和方程的一个根，则一定为零． A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都错误 D. ①②都正确 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___________． 12. 一元二次方程的一般形式（二次项系数为正）为______． 13. 如图，数轴上点表示数为，化简的值是______． 14. 已知，则的值为 ________ 15. 如图，在菱形中，交于点，动点从出发沿方向以每秒2cm速度匀速直线运动到，动点从出发沿方向以每秒1cm的速度匀速直线运动到，若同时出发，问出发后______s时，点与点的距离为3cm． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 根据要求解下列方程 （1） （2）（用配方法）； 18. 已知的整数部分是，小数部分是． （1）写出值； （2）求的值． 19. （1）对于一元二次方程，当时，它的求根公式为 ，求根公式不仅可以由方程的系数求出方程的根，而且反映了根与系数之间的关系．若方程的两个根为，则满足：① ；② ．（这也称作韦达定理，是由16世纪法国数学家韦达发现的）．请利用一元二次方程的求根公式证明韦达定理； 知识应用： （2）已知一元二次方程的两根分别为，求的值． 20. 如图，有一块矩形木板，木工沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）求剩余木料的周长． 21. 已知关于的一元二次方程，其中a，b，c分别是的三边的长度． （1）如果是等边三角形，求这个一元二次方程的根； （2）如果是以为斜边的直角三角形，判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由． 22. 小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ∵， ∴， ∴，． ∴， ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）观察上面解答过程，请写出______； （2）化简； （3）若，请按照小明的方法求出的值． 23. 河南烩面是一道河南特色的传统美食，在安阳市一家烩面馆考察得知，一份烩面的成本价为8元，若每份卖18元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为320元． （1）每份烩面价格是多少元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润？ （2）面馆能实现每天1800元的净利润吗？说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$