精品解析：重庆市西北狼教育联盟2024-2025学年八年级上学期开学考数学试题（B版）（北师大版）

西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研 八年级数学 试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 2. 下列旗子中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A ​ B. ​ C. ​ D. ​ 4. 用三根长度分别为的木条首尾顺次相接围成三角形，这属于（　　） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不确定事件 5. 如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 小明和小亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 7. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（ ） A 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，等腰中，，于D，的平分线分别交，于E，F两点，M为的中点，延长交于点N，连接．则下列结论：①，②，③，④；其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是6，表明数字6周围的8个位置有6颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为________． 12. 计算______． 13. 已知一个长方形的周长为，长与宽的平方和为，则该长方形的面积为______． 14. 高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的大致数据，推断D地水的沸点为_________，与的关系式为________． 城市 A地 B地 C地 D地 E地 海拔（米） 0 300 600 1500 x 沸点（度） 100 99 98 m y 15. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P； ③作射线，交于点D．若，则点D到直线的距离是________． 16. 如图a，是长方形纸带（），，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的大小是______． 17. 在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则______． 18. 如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则________．（用含的代数式表示） 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题各10分，78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算：； （2）先化简， 再求值：， 其中 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别为A、B、C． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）求的面积． （3）在x轴上画出点P，使最小． 21. 在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 123 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0406 0.403 a （1）按表格数据格式，表中的a＝______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； （3）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只． 22. 如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 23. 今年大年初一上午十点整，首届四川天府新区兴隆湖新春环湖跑正式开跑．男子竞速组、女子竞速组、新春欢乐行三大方队相继出发，十余位世界及全国冠军领跑，来自各地数千名跑友一起奔向新的一年． 新春欢乐行路线为天府新区大阳台南(起点)—环湖跑道—天府路演艺术中心(终点)，全长为5000 米． 小成和爸爸的行程S(单位：米) 随时间t(单位：分钟) 变化的图象如图所示． 根据图中信息回答以下问题： （1）第6分钟时，小成和爸爸相距多少米？ （2）由于体力不支，小成在中途降低速度，降速后小成速度是爸爸速度的，求小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有多远？ （3）调整状态后，小成再次提高速度，当爸爸到达终点时，小成离终点还有880米，求整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间． 24. 【阅读理解】例：若满足，求的值． 解：设、，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： 【跟踪训练】 （1）若满足，求的值． （2）若满足，求值． （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 25. 已知：直线与直线内部有一个点，连接． （1）如图1，当点在直线上，连接，若，求证：； （2）如图2，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：； （3）如图3，在(2)的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点，和直线相交于点，当时，若，，求 的度数． 26. 已知等腰中，，点D在射线上，连接，在右侧作等腰，且 （1）如图1，若平分，延长、交于点F，求证：； （2）如图2，点M为的中点，求证：点M在线段的垂直平分线上； （3）如图3，射线与射线交于点G，若，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 西北狼教育联盟2024年秋季开学学业调研 八年级数学 试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图(包括作辅助线)请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 石墨烯堪称目前世界上最薄的材料，约为0.3纳米（1纳米米）．与此同时，石墨烯比金刚石更硬，是世界上最坚硬又最薄的纳米材料．0.3纳米用科学记数法可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.3纳米米米． 故选：D． 2. 下列旗子中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；进行解答即可． 【详解】解：B、C、D都是轴对称图形，A不是轴对称图形，故A符合题意； 故选择：A． 【点睛】此题考查了轴对称图形意义，确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分对折后可完全重合． 3. 下列运算正确的是（ ） A. ​ B. ​ C. ​ D. ​ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的除法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．分别根据合并同类项的法则，同底数幂陈除法法则，幂的乘方以及积的乘方运算法则逐一判断即可． 【详解】解：，故选项A不合题意； ，故选项B不合题意； ，正确，故选项C符合题意； ，故选项D不合题意． 故选：C． 4. 用三根长度分别为的木条首尾顺次相接围成三角形，这属于（　　） A. 不可能事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不确定事件 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据三角形三边的关系，即可判定这三根木条首尾顺次相接能否围成一个三角形，再根据事件发生的可能性的大小，即可得到答案． 【详解】解：， 用三根长度分别为的木条首尾顺次相接不能围成一个三角形， 这属于不可能事件， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系与事件发生的可能性的大小，熟练掌握和运用三角形三边的关系与事件发生的可能性的大小是解决本题的关键． 5. 如图，在和中，再添两个条件不能使和全等的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可． 【详解】解：A、∵， ∴， 又∵， ∴，故A选项不符合题意； B、 ∵，，，不能根据判定两三角形全等，故B选项符合题意； C、∵，， 又， ∴，故C选项不符合题意； D、 ∵， ∴， 又∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 6. 小明和小亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率 C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【解析】 【分析】根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】图中，符合该结果的频率在和之间 A. 掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B. 掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的频率约为，不合题意； C. 从分别标有1，1，2，2，3，3的6张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D. 从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为； 故选：C． 【点睛】本题考查频率的计算，理解频数与频率的概念是解题的基础． 7. 通过实验发现凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向， 点F是凸透镜的焦点，，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故选；B． 8. 如图，和都是等边三角形，点D，E，F分别在边上，若的周长为15，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，然后求解即可． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题关键． 9. 如图（1），在长方形中，厘米，厘米，动点从点出发，沿路线运动，到点停止；点出发时的速度为1厘米/秒，秒时点的速度变为厘米/秒，秒后点以厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点出发秒后，的面积（平方厘米）与时间（秒）之间的关系图象．有以下结论：①；②；③点从点运动到点用时4秒；④当的值为10时，点运动的路程为20厘米；⑤当的面积是长方形面积的时，的值为4或12．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由图象，当点P在边上时，，则， 又点P运动8秒时到点B处， ∴，故①正确； ∵点P运动c秒时到达点D处， ∴，故②错误； 点从点运动到点用时秒，故③正确； 当的值为10时，点在边上运动，则点运动的路程为厘米，故④错误； 由题意，长方形面积为， 当的面积是长方形面积的时，， 由图知，点P在边上时，由得； 当点P在边上时，由得， ∴， 即当面积是长方形面积的时，的值为4或15，故⑤错误， 综上，正确结论的个数是2个， 故选：B． 10. 如图，等腰中，，于D，的平分线分别交，于E，F两点，M为的中点，延长交于点N，连接．则下列结论：①，②，③，④；其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】对于①，证明，即可得到； 对于②，先利用角边角定理，证明，得到，再利用直角三角形斜边上的中线性质，即可得到； 对于③，先利用角边角定理，证明，即可得到； 对于④，连接，先证明，得到，，因此，又，所以可得． 【详解】对于①，平分， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 所以①正确； 对于②，，M为的中点， ， ， ， 又，， ， ， ， ， 所以②正确； 对于③，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 所以③正确； 对于④，连接， 由②知， ， ，， ， ，， ， ， 又由①知， ， 所以④不正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角的性质，等腰三角形的三线合一性质，直角三角形两锐角的性质，直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是6，表明数字6周围的8个位置有6颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率计算，掌握求概率的公式是关键．由题意可知数字6周围的8个位置中有2个位置有地雷，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知数字6周围的8个位置中有6个位置有地雷， 任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为． 故答案为：． 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，逆用积的乘方法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为． 13. 已知一个长方形的周长为，长与宽的平方和为，则该长方形的面积为______． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．设长方形的长、宽分别为、，则，，根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：设长方形的长、宽分别为、，则，， ， ， 即， 解得；， 该长方形的面积为， 故答案为：． 14. 高山地区海拔高，空气稀薄，所以大气压低于一个标准大气压，水的沸点随高原气压的减小而降低．下表是各个城市的海拔高度及水的沸点统计情况，请根据表中的大致数据，推断D地水的沸点为_________，与的关系式为________． 城市 A地 B地 C地 D地 E地 海拔（米） 0 300 600 1500 x 沸点（度） 100 99 98 m y 【答案】 ①. 95度 ②. 【解析】 【分析】根据表格得出相应规律，然后列出函数关系式即可． 【详解】解：由表得：海拔每上升米，沸点降低1度， ∴D地水的沸点为度； 与的关系式为； 故答案为：①度；②． 【点睛】题目主要考查确定函数关系式，理解题意，根据表格得出相应规律是解题关键． 15. 如图，在中，，按以下步骤作图： ①以B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N； ②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P； ③作射线，交于点D．若，则点D到直线的距离是________． 【答案】3 【解析】 【分析】过点作于，如图，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：过点作于，如图， 由作法得平分， 又∵ ∴ ， 即点D到直线的距离是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了尺规基本作图：作已知角的角平分线，点到直线的距离，角平分线的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 16. 如图a，是长方形纸带（），，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形的翻折变换，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据翻折的性质及同旁内角互补可知在图中，，图中，代入数据进行计算即可得解．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 【详解】解：∵， ∴， 在图中，由折叠可知，则， 即： ∴， 所以在图中． 故答案为∶． 17. 在中，于E，于D，交于F，平分交延长线于M，连接，．若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题意证明，，，得出，．进而根据得出，，根据得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ∴， 又∵ ∴， ∴ ∵于E，于D， ∴，， ∴ 又∵ ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，锐角内有一定点A，连接，点B、C分别为、边上的动点，连接、、，设（），当取得最小值时，则________．（用含的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】当取得最小值时，即三点共线，作图，把真正的点B、C作图出来即图中的点和的位置，连接，，解答即可． 【详解】解：作A关于和的对称点，分别记作和，连接分别交和于点和，连接，，如图所示： ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴，， ∵， ∴， ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴， ∴是等腰三角形， 即， ∵作A关于和的对称点，分别记作和， ∴，， ∵当取得最小值时，即三点共线， 此时， 即当取得最小值时，则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是线段最短以及垂直平分线的性质内容，正确理解题意并正确作图是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20-26题各10分，78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1）计算：； （2）先化简， 再求值：， 其中 ． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和整式的化简求值，熟记负指数幂和零指数幂的运算法则是解决（1）的关键；熟记乘法公式及整式除法的法则是解决（2）的关键． （1）先计算乘方、负指数幂、零指数幂，化简绝对值，然后计算加减即可； （2）先利用完全平方公式和整式乘法法则计算，然后合并同类项，简后代入字母的值计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， 当 时，原式． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为A、B、C． （1）在图中作出关于y轴的对称图形． （2）求的面积． （3）在x轴上画出点P，使最小． 【答案】（1）图见解析 （2）4 （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称： （1）根据轴对称的性质，画出； （2）分割法求出三角形的面积即可； （3）根据轴对称的性质，利用将军饮马模型画出点即可． 【小问1详解】 解：∵的三个顶点的坐标分别为，，， ∴它们关于y轴的对称点的坐标为：，，， ∴的图形如下图所示， 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如下图所示，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，即为所求作的点． 21. 在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球试验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 123 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 a （1）按表格数据格式，表中的a＝______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球频率将会接近______（精确到0.1）； （3）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只． 【答案】（1）0.404 （2）0.4 （3）15 【解析】 【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数求得a的值即可； （2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右； （3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，根据白球的个数求出球的总个数，再利用球的总个数减去白球的个数，即可得出红球的个数． 【小问1详解】 解：． 故答案为：0.404． 【小问2详解】 当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.4． 故答案为：0.4． 【小问3详解】 由题意得：摸到白球的概率为0.4，因此球的总个数为：（只）， 这一个不透明的口袋中红球有（只）． 故答案为：15． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，理解利用频率来估计概率的意义是解题的关键. 22. 如图，在中，，于点D，平分交于点，交于点，过点作，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，得到，即可得证； （2）角平分线的性质，得到，证明，得到，进而得到是线段的垂直平分线，分割法求出四边形的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴ ∴； 【小问2详解】 解：∵平分，，， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴四边形的面积． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 23. 今年大年初一上午十点整，首届四川天府新区兴隆湖新春环湖跑正式开跑．男子竞速组、女子竞速组、新春欢乐行三大方队相继出发，十余位世界及全国冠军领跑，来自各地数千名跑友一起奔向新的一年． 新春欢乐行路线为天府新区大阳台南(起点)—环湖跑道—天府路演艺术中心(终点)，全长为5000 米． 小成和爸爸的行程S(单位：米) 随时间t(单位：分钟) 变化的图象如图所示． 根据图中信息回答以下问题： （1）第6分钟时，小成和爸爸相距多少米？ （2）由于体力不支，小成在中途降低速度，降速后小成速度是爸爸速度的，求小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有多远？ （3）调整状态后，小成再次提高速度，当爸爸到达终点时，小成离终点还有880米，求整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间． 【答案】（1）600米 （2）2600米 （3）整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为第4分钟或第8分钟或第16分钟或第28分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用： （1）根据函数图象求出爸爸的速度，进而求出第6分钟时爸爸所走的路程即可得到答案； （2）设小成和爸爸在出发t分钟后相遇，先求出降速后小成的速度为米/分，再根据两人相遇时所走的路程相同列出方程求解即可； （3）求出小成再次提高速度后的速度为160米/分，设整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为m分钟，分当小成没有降速时，两人相距400米，当小成降速后，二人相遇前，两人相距400米，当小成降速后，二人相遇后且小成未再次提速前，两人相距400米，当爸爸到达终点后，两人相距400米，四种情况分别列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；由函数图象可知，小成爸爸的速度为米/分， ∴第6分钟时小成和爸爸相距米； 【小问2详解】 解：设小成和爸爸在出发t分钟后相遇， 由题意得，降速后小成的速度为米/分， ∴， 解得， ∴小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有米； 【小问3详解】 解：米/分， ∴小成再次提高速度后的速度为160米/分， 设整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为m分钟， 当小成没有降速时，两人相距400米，则，解得； 当小成降速后，二人相遇前，两人相距400米，则，解得； 当小成降速后，二人相遇后且小成未再次提速前，两人相距400米，则，解得； 当爸爸到达终点后，两人相距400米，则，解得； 综上所述，整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为第4分钟或第8分钟或第16分钟或第28分钟． 24. 【阅读理解】例：若满足，求的值． 解：设、，则，， ． 请仿照上面的方法求解下面问题： 【跟踪训练】 （1）若满足，求的值． （2）若满足，求的值． （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】（1）5 （2）5 （3）16． 【解析】 【分析】本题主要考查了应用新运算解决问题，掌握完全平方公式的意义，利用公式进行适当的变形是解决问题的关键． （1）先根据题中提供的方法，类比计算即可； （2）根据题意可求出，，再求出的值，即可求出答案； （3）长方形的长，宽， 则有，因此有，求出x的值，再代入阴影部分的面积中计算即可求出结果． 【小问1详解】 解：设，， 则，， ∴． 【小问2详解】 解：设，， 则， ， ∵， ∴， ， ∴． 【小问3详解】 解：由题意得，长方形的长，宽， 则有， 由题意得， 即， ∴， ∴，（舍去）． 所以阴影部分的面积为：， 答：阴影部分的面积为16． 25. 已知：直线与直线内部有一个点，连接． （1）如图1，当点在直线上，连接，若，求证：； （2）如图2，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：； （3）如图3，在(2)的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点，和直线相交于点，当时，若，，求 的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）的度数为 【解析】 【分析】（1）过点作，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证； （2）分别过点和点作，，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证； （3）过点作，同理（1）（2）证，设，，，则，结合角平分线的定义及（2）的条件得，接着分别用含的式子代替和，代入求出的值即可． 【小问1详解】 证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，分别过点和点作，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 如图3，过点作， 由（2）得， ∴， ∴，， ∴， 设，，，则， ∵分别是的角平分线， ∴，，， ∵， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的度数为 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的推论，角平分线的定义，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 26. 已知等腰中，，点D在射线上，连接，在右侧作等腰，且 （1）如图1，若平分，延长、交于点F，求证：； （2）如图2，点M为的中点，求证：点M在线段的垂直平分线上； （3）如图3，射线与射线交于点G，若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，进而求出，则可得，利用三角形外角的性质可得，即可证明； （2）如图所示，在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接，证明是等腰直角三角形，推出，证明，，进而证明，得到，则；证明，得到，进而推出，证明，得到，则；证明都是等腰直角三角形，得到，即可证明，则点M在线段的垂直平分线上； （3）如图所示，延长到K使得，连接，设直线与交于M，证明，得到，由三角形内角和定理得到，再证明，得到，同理可得，则 ． 【小问1详解】 证明：∵都是等腰直角三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图所示，在上取一点H使得，连接并延长到T，使得，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵是等腰直角三角形，M是的中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点M在线段的垂直平分线上； 【小问3详解】 解：如图所示，延长到K使得，连接，设直线与交于M， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∴同理可得， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$