精品解析：江苏省镇江中学2024-2025学年高二上学期期初学情检测数学试题

江苏省镇江中学高二年级期初学情检测（数学） 命题人：林玲 审题人：魏洁 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第19项 【答案】A 【解析】 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 即是这个数列的第项. 故选：A. 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 3. 设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，根据求解即可. 【详解】因为公差的等差数列中，成等比数列， 所以，即，解得， 所以. 故选：A. 4. 数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而满足上式， 因此，， 所以. 故选：D 5. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判断作答.， 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 6. 已知数列的前项和为．若，则（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到，，，，相加得到答案. 【详解】因为，所以，，，， 所以 故选：C 7. 已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的单调性结合分段函数性质列不等式计算求解. 【详解】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得， 函数在上为增函数，可得，可得， 且有，即，即，解得或. 综上所述，. 故选：C. 8. 在正项等比数列中，．则满足的最大正整数的值为（ ） A. 12 B. 11 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】求出等比数列的公比和首项，可得数列的通项公式和及的表达式，化简可得关于n的不等式，解之可得n的范围，取上限的整数部分即可得答案. 【详解】设正项等比数列公比为，则，由题意可得， 解之可得，，故其通项公式为． 记， ． 由题意可得，即，化简得， 由且，因此只须，即， 解得， 由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是10． 故选：D. 二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列和等比数列的求和公式判断选项AB;利用判断选项C；通过举例，判断选项D. 【详解】对于A，若是等差数列，则， 且，故 ，故A正确； 对于B，若是等比数列，则当时，， 且，则； 当时，，舍去，故B正确； 对于C，若，则，， ，故，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，若，则, 此时，不满足，故D错误. 故选：AB 10. 数列的前项和为，若，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等比数列 【答案】AD 【解析】 【分析】BC选项，根据得到，从而得到BC错误；A选项，结合等比数列求和公式得到A正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】BC选项，①，当时，， 当时，②，①-②得 ，故， 故从第二项开始，为公比为3的等比数列，B错误； 故，C错误； A选项，，A正确； D选项，，故为等比数列，D正确. 故选：AD 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先分析，再由得到，，即，然后逐项判断. 【详解】根据题意，等比数列的公比为， 若，则， 又由，必有，则数列各项均为正值， 若，即，必有，，则必有， 依次分析选项： 对于A，数列各项均为正值，则，必有，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C：根据，所以是数列中的最大项，故C正确，D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是公比为的等比数列，若，则______. 【答案】25 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】因为 所以 故答案为：25 13. 数列满足，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数列的递推关系求数列的通项公式，将，经化简可知新的数列是等差数列，在变形可求得. 【详解】由题意知将等式两边同时除以， 可得，因为，所以可知， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 故答案为： 14. 镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】第一空：由对折2次共可以得到，三种规格的图形，所以对折三次的结果有：，，共4种不同规格； 对折4次可得到如下规格：，， ，，共5种不同规格； 对折5次可得到如下规格：，，， ，，共6种不同规格； 第二空：由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形， 不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为, 第次对折后的图形面积为，对于第此对折后的图形的规格形状种数为种， 则， ， 两式作差得： ， 因此. 故答案为：①；②. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）求数列前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求等比数列的公比，再写出通项公式； （2）代入等比数列前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为q，，， 所以，解得（舍去）或4， 所以数列是首项为2、公比为4的等比数列，． 【小问2详解】 因为， 求和可得：． 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明： ∴ 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【小问1详解】 ∵ ，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； 【小问2详解】 略 18. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用公式，已知求即可； （2）求出，后运用错位相减求出，后结合函数单调性可解． 【小问1详解】 ①，且， 当时，代入①得； 当时，.② ①-②得，整理得， 因为，所以，所以数列为等差数列，公差为1，所以. 【小问2详解】 ，，③ ，④ ③-④得， 所以，所以，且，化简得， 令，所以， 所以的最大值为，所以. 所以的取值范围为. 19. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若数列的前项和为，求． （2）若为等差数列，且，求． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列基本量的计算以及的定义即可求解； （2）由等差数列前n项和基本量的计算结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 （ⅰ）由，得，解得， 则，又， 有，即，解得或（舍去）， 所以. （ⅱ），则， 则 . 【小问2详解】 若为等差数列，则有，即， 得，即，解得或， 由，则， 又，，由等差数列性质知，， 即，得， 即，解得或（舍去）， 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 时，，，符合题意， 所以等差数列的公差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省镇江中学高二年级期初学情检测（数学） 命题人：林玲 审题人：魏洁 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列2，，，，，，，则是这个数列的（ ） A. 第20项 B. 第21项 C. 第22项 D. 第19项 2. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 设公差的等差数列中，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 4. 数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ） A. B. C. D. 5. 记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 6. 已知数列的前项和为．若，则（ ） A. 48 B. 50 C. 52 D. 54 7. 已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在正项等比数列中，．则满足的最大正整数的值为（ ） A. 12 B. 11 C. 9 D. 10 二、多选题；本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 若是等差数列，且，则 B. 若是等比数列，且，则 C. 若，则是等差数列 D. 若是公比大于1的等比数列，则 10. 数列的前项和为，若，则有（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 为等比数列 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 是数列中的最大值 D. 数列无最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是公比为的等比数列，若，则______. 13. 数列满足，则数列的通项公式为______． 14. 镇江中学学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折5次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求的通项公式； （2）求数列前n项和． 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． （1）求的通项公式； （2）证明：． 18. 已知正项数列的前项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求k的取值范围. 19. 设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． （1）若， （ⅰ）求的通项公式； （ⅱ）若数列的前项和为，求． （2）若为等差数列，且，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $