3.1 不等式的基本性质（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修一）

苏教版2019高一数学（必修一）第三章 不等式 3.1 不等式的基本性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.掌握不等式的基本性质. 2.运用不等式的性质解决有关问题. 3.通过学习不等式的性质及运用不等式的性质解决问题，提升数学抽象及数学运算素养. 3 情景导入 我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能为正数、零和负数中的一种. 那么，对于任意两个实数 a，b，它们的差 a－b 也只可能为正数、零和负数中的一种. 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌，轻与重，不超过或不少于等.类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等.相等用等式表示，不等用不等式表示. 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号 “≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接起来的式子 文字语言 符号表示 当a－b为正数时，称a＞b； a＞b ⇔ a－b＞0 当a－b为零时，称a＝b； a＝b ⇔ a－b＝0 当a－b为负数时，称a＜b. a＜b ⇔ a－b＜0. 新知探究 1.实数比较大小的基本事实 在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质： (1) 若a＝b且 b＝c，则 a＝c； (2) 若a＝b，则 a±c＝b±c； (3) 若a＝b，则 ac＝bc，＝ (c≠0). ● 不等式有哪些基本性质呢? 性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b，即a>b⇔b<a. 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a____c. 性质3　如果a>b，那么a＋c____b＋c. 性质4　如果a>b，c>0，那么ac____bc；如果a>b，c<0，那么ac____bc. 性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c____b＋d. 性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac____bd. > > > < > > 新知探究 2.不等式的性质 性质1 若 a ＞ b，则 b ＜ a. 分析 要证 b ＜ a ，只要证 b － a ＜ 0. 证明 因为 a＞b，所以 a－b＞0. 又因为正数的相反数是负数，所以－(a－b)＜0， 即 b－a＜0. 所以 b＜a. 性质2 若 a ＞ b，b ＞ c，则 a ＞ c. 分析 要证 a＞c，只要证 a－ c＞0. 证明 因为 a＞b，b＞c，所以 a－b＞0，b－c＞0. 由两个正数的和是正数，得(a－b)＋(b－c)＞0， 即 a－c＞0. 因此 a＞c. 性质3 若 a＞b，则 a＋c＞b＋c. 分析 要证 a＋c＞b＋c，只要证(a＋c)－(b＋c)＞0，即 a－b ＞ 0. 证明 因为a ＞ b，所以 a－b＞0. 又因为 (a＋c) －(b＋c) ＝ a－b， 所以 (a＋c) －(b＋c) ＞ 0. 故 a＋c ＞ b＋c. 本性质告诉我们，不等式两边都加上(或都减去)同一个实数，不等号的方向不变. 利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一边，即 a ＋ b ＞ c ⇔ a ＞ c － b. 性质4 若 a ＞ b，c ＞ 0，则 ac ＞ bc；若 a ＞ b，c ＜ 0，则 ac ＜ bc. 证明 ac－bc＝(a － b)c. 因为 a＞b，所以 a－b＞0. 因此，当c＞0时，(a－b)c＞0，从而 ac＞bc； 当c＜0时，(a－b)c＜0，从而 ac ＜ bc. 本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变. 性质5 若 a＞b，c＞d，则 a＋c ＞ b＋d. 证明 由 a ＞ b 和性质3，得 a＋c ＞ b＋c. 又由 c ＞ d 和性质3，得 b＋c ＞ b＋d. 于是，由性质 2，得 a＋c ＞ b＋d. 本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向. 性质6 若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd. 证明 因为a＞b＞0，c＞0，由性质4，得 ac＞bc. 因为c＞d＞0，b＞0，由性质4，得 bc＞bd. 由性质 2，得 ac＞bd. 特别地，当 a＝c，且b＝d时，有a2＞b2. 以后，我们可以用数学归纳法证明如下结论： 若 a＞b＞0，则 an＞bn( n∈N*). 本性质告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。 性质 5 和性质 6 也可以看成是前面性质的推论. 以上性质是求解和证明不等式的基础. 例 1 求解不等式 90－t≥80 ，并用不等式的性质说明理由. 解：不等式 90－t≥80两边同乘以3，得 270－10t≥240. (不等式性质4) 两边同加上－270，得 －10t≥240－270. (不等式性质 3) 即 －10t≥－30. 两边同乘以－，得 t≤3. (不式性质4) 课本例题 2. 解不等式 10－x ≥ 3，并用不等式的性质说明理由. 根据不等式的性质1：不等式的两边同时加上 (或减去) 同一个数(或式子) ，不等号的方向不变. 不等式两边都减10，不等号的方向不变，得 10－x －10 ≥3 －10； － x≥ －7； 课本练习 根据不等式的性质3：不等式的两边同时乘(或除以) 同一个负数，不等号的方向改变. 不等式两边都除以－ ，不等号的方向改变，得 －x ÷(－) ≤ －7÷(－) ； x≤. ∴ 不等式的解为{ x∣x ≤}. 例 2 已知 a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d. 证法1 由a＞b，得 a－b＞0； 由c＜d，得 d－c＞0. 因为(a－c) －(b－d) ＝(a－b)＋(d－c) ＞0， 所以 a－c＞b－d. 证法2 因为c＜d，所以－c＞－d. 又因为 a＞b，所以 a＋ (－c) ＞b＋ (－d). 即 a－c＞b－d 课本例题 证明　(1)因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc. 又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc. ∵a<b<0，∴b＋a<0，b－a>0，ab>0， 练一练 用不等式的性质进行证明时，要善于寻找欲证不等式与已知条件的关系,利用相应的不等式性质证明; 要注意观察一个不等式是不是在某个已知条件的两边同乘(除以)一个常数; 一个不等式是不是某两个同向不等式相加得到的; 一个不等式是不是将一个不等式的两边取了倒数而得到的等等. 概念归纳 例 3 比较两数(a2＋1)2与 a4＋a2＋1的大小. 解： 因为 (a2＋1)2－ (a4＋a2＋1) ＝ a4＋2a2＋1－a4－a2－1 ＝a2. 当a＝0时，a2＝0，所以(a2＋1)2 ＝a4＋a2＋1； 当a≠0时，a＞0，所以 (a2＋1)2＞a4＋a2＋1. 课本例题 3.比较和的大小. 【解】运用作差法： 2＞0， ＞ 作差 变形 定号 定论 0是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆. 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于0的数(式). 这是解决不等式问题的常用方法. 练一练 作差法比较两个实数大小的基本步骤 概念归纳 作差 变形 定号 结论 a-b 采用配方、因式分解、通分、有理化等手段 判断差与0的大小 利用实数a，b大小比较的基本事实 错因分析 1.若a＞b，则ac2________bc2. 易错警示　忽视因式可能为0 错解：因为c2＞0，且a＞b，所以ac2＞bc2，故填＞. 易错防范：上面的解法错在忽视了c＝0的情况．当c＝0时，ac2＝bc2.防范措施是使用不等式的性质时，不可忽视条件． 正解：因为c2≥0，且a＞b，所以ac2≥bc2，故应填≥. 2.若A=a2+3ab,B=4ab-b2,则A,B的大小关系是(　　) A.A≤B B.A≥B C.A>B D.大小关系不确定 错因分析 因忽视配方法在判断符号中的应用致错 错解:因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab,所以A,B的大小关系不确定. B 防范措施 1.用作差法比较两个数(式)的大小时,其关键是变形,一般采用配方、因式分解、通分、有理化等手段变形,这样有利于定号.特别是作差后的式子为二次三项式时,常考虑因式分解或配方法变形. 2.注意培养逻辑推理素养和数学运算素养. 归纳总结 错用不等式的性质 1.已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围. 错解:1≤a-b≤2,① 2≤a+b≤4,② 错因分析 这个方法错在哪里？ 提示:上面的解法看上去似乎每一步都是合情合理的,但实际上答案是错误的. 那到底是为什么呢? 我们先看不等式4a-2b ≥3什么时候取等号, 由上述解题过程可知,当 ,才取等号,而此时a-b=0,不满足①式, 因此4a-2b是不能等于3的.同理可验证4a-2b也不能等于12. 出现上述错误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的,用它来做变形,是非同解变形,因此结论是错误的. 归纳总结 错因分析 防范措施 1.建立待求取值范围的整体与已知取值范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的取值范围. 2.同向(异向)不等式的两边可以相加(减),但这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,就有可能扩大其取值范围,所以我们选用不等式的性质求代数式的取值范围时务必小心谨慎,必要时改换求解的思路和方法. 归纳总结 课本练习 1. 回答下列问题，并说明理由. (1)由 a＞b，能否得到ac2＞bc2？ 不能 解：当c＝0时，ac2＝bc2＝0，∴当c＝0时，不能得到 ac2＞bc2. 当c≠0时，c2＞0，∴ ac2＞bc2， ∴ c≠0 时，能得到 ac2＞bc2， 故 c＝0时，不能得到ac2＞bc2； c≠0 时，能得到 ac2＞bc2 . (2) 由 a＞b，c＞d，能否得到 a－c ＞ b－d ? 不能 解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d. 例如，令 a＝3，b＝2，c＝－1，d ＝－2， 满足 a＞b，c＞d，但是 a－c＝b－d， 故 a＞b，c＞d 不一定能得到 a－c＞b－d. 1. 回答下列问题，并说明理由. 课本练习 (3) 由 a＞b，c＞d，能否得到ac＞bd ? 不能 解：由 a＞b，c＞d 不一定能得到 ac＞bd. 例如，令a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－3. 满足a＞b，c＞d，但是ac＝bd， 当 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到 ac＞bd. 故只有 a＞b＞0，c＞d＞0时，可以得到ac＞bd. 1. 回答下列问题，并说明理由. 课本练习 3. 比较两数 (x＋1)(x2－x＋1)与(x－1)(x2＋x＋1)的大小. 解：(x＋1)(x2－x＋1)＝x3－x2＋x＋x2－x＋1＝x3＋1， (x－1)(x2＋x＋1)＝x3＋x2＋x－x2－x－1＝x3－1， ∵ x3＋1＞x3－1 ∴ (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1)， 综上所述，结论为： (x＋1)(x2－x＋1) ＞(x－1)(x2＋x＋1) 课本练习 4. 已知 a ＜ b ＜ 0，求证： a2 ＞ b2. 证明：∵ a＜b＜0， ∴－a＞－b＞0. (→或由 a＜b＜0 得 ∣a∣＞∣b∣＞0， 进而得 a2＞b2. 由不等式性质6，得(－a)2＞(－b)2， 即a2＞b2. 课本练习 5. 已知 a ＞ b ＞ 0，求证：b ≤ ≤ a . 证明：∵ b－＝ ＝ . ∵ a≥b＞0，∴ b－a≤0， ∴ ≤0，∴ b－≤0， ∴ b ≤ 课本练习 ∵ －a ＝ ＝ ， ∵ a≥b＞0，∴ b－a≤0， ∴ ≤0， ∴ －a≤0， ∴ ≤ a， ∴ b≤≤a . 题型一　用不等式的性质判断真假 a＋b<0，ab>0，则a＋b<ab成立，③正确； a3>b3，④正确. 故不正确的不等式的个数为2. C 典例剖析 ①③ 综上，真命题的序号是①③. 对于②，若a＝7，b＝6，c＝0，d＝－10， 则7－0<6－(－10)，②错误； 对于③，对于正数a，b，m， 若a<b，则am<bm，所以am＋ab<bm＋ab， 所以0<a(b＋m)<b(a＋m)， 不等式的性质常与比较大小结合考查，此类问题一般结合不等式的性质，利用作差法或作商法求解，也可以用特殊值法求解. 题型二　证明不等式 ∵a>b>0，c<d<0， ∴a＋b>0，c＋d<0，b－a<0，c－d<0， ∴(a＋b)－(c＋d)>0，(b－a)＋(c－d)<0. ∵e<0，∴e[(a＋b)－(c＋d)][(b－a)＋(c－d)]>0. 37 ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0，∴(a－c)2>(b－d)2>0， 1.不等式证明的实质是比较两个实数(代数式)的大小； 2.证明不等式可以利用不等式性质证明，也可以用作差比较法证明，利用不等式性质证明时，不可省略条件或跳步推导. 题型三　利用不等式的性质求范围 解　∵3<b<4，∴－4<－b<－3. ∴1－4<a－b<6－3，即－3<a－b<3. 典例剖析 求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘(同正)不可除. B 一、选择题 1.设x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A.x2<ax<a2 B.x2>ax>a2 C.x2<a2<ax D.x2>a2>ax 解析　∵x<a<0，∴x2>a2. ∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax. 又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2. ∴x2>ax>a2. 分层练习-基础 41 2.设a<b<0，则下列不等式中不正确的是(　　) 当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确； |a|＝－a>－b，则选项C正确； B ∵a>b>c，∴b－c>0，c－a<0，b－a<0， A A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 C 4.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) 解析　当c＝0时，A不成立；当c<0时，B不成立； ACD 5.(多选题)已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是(　　 ) A.若a>b，c>b，则a>c B.若a>－b，则c－a<c＋b 解析　选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；B正确； 选项C，不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0<d时，不成立； 选项D，若a＝－3，b＝2，显然不成立.故选ACD. D.若a2>b2，则－a<－b 又因为12<a<60， 解析　由15<b<36得－36<－b<－15. 又因为12<a<60，所以－24<a－b<45. (－24，45) ①②④ 7.下列命题中的真命题是________(填序号). ②a>b⇒－2a<－2b⇒c－2a<c－2b； 解析　∵a>b>c>0， y2－x2＝b2＋(c＋a)2－a2－(b＋c)2＝2ac－2bc ＝2c(a－b)>0， ∴y2>x2，即y>x.同理可得z>y，故z>y>x. z>y>x 三、解答题 9.判断下列四个命题的真假. (2)∵a>b，|c|≥0，当c≠0时，|c|>0，∴a|c|>b|c|. 当c＝0时，|c|＝0，∴a|c|＝b|c|＝0. ∴(2)是假命题. (3)当b<a<0时，－b>－a>0.∴(－b)n>(－a)n. ∵n为奇数，∴－bn>－an.∴an>bn.∴(3)是真命题. ∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0，a－b>0. B 11.若a>b>0，c<d<0，则一定有(　　) 法二　依题意取a＝2，b＝1，c＝－2，d＝－1，代入验证得A，C，D均错误，只有B正确. 分层练习-巩固 51 13.已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，求4a－2b的取值范围. ∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v. ∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6. 则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10. 故4a－2b的取值范围为[－2，10]. 法二　令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)， ∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b. ∴4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b). 故4a－2b的取值范围为[－2，10]. 14.已知x∈R，a＝x2－1，b＝2x＋2. (1)求a＋b的取值范围； (2)求证：a，b中至少有一个大于或等于0. (1)解　a＋b＝x2－1＋2x＋2＝(x＋1)2≥0. 故a＋b的取值范围为[0，＋∞). (2)证明　假设a，b都小于0， 即a＜0，b＜0，∴a＋b＜0. 又a＋b＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0， 这与假设所得结论矛盾.故假设不成立， ∴a，b中至少有一个大于或等于0. 分层练习-拓展 感受·理解 1. 解不等式2－＜，并用不等式的性质说明理由. 证明：由 2－ ＜ 得， 12－2x＋2＜3x＋3 (理由：不等式两边同时乘以相同的正数，不等式的不等号方向不变) 11－2x＜3 (理由：不等式两边同时加上或者减去相同的数，不等式的不等号方向不变) 习题3.1 11＜5x (理由：不等式两边同时加上或减去相同的式子，不等式的不等号方向不变) x＞ (理由：不等式两边同时乘以或者除以相同的正数，不等式的不等号方向不变) ∴该不等式的解集为{ x∣x ＞ }. 2. 已知a ≠b，比较 a2－ab 与ba－b2 的大小. 解： a2－ab－(ba－b2) ＝ a2－ab－ba＋b2 ＝ a2－2ab＋b2 ＝ (a－b)2 ∵ a ≠b， ∴ (a－b)2＞0， ∴ a2－ab ＞ ba－b2. 3. 已知 x≠0，比较(x2＋2)2与x4＋x2＋4的大小. 解： (x2＋2)2 － x4＋x2＋4 ＝ x4＋4x2＋4－x4 － x2－4＝3x2， ∵ x≠0， ∴ 3x2＞0， ∴ (x2＋2)2 － x4＋x2＋4 ＞0， ∴ (x2＋2)2 ＞ x4＋x2＋4 . 4. 证明下面的结论： (1) 如果 a＞b＞0，c＞d，且 c＞0，那么ac＞bd； 证明：由题知 a＞b＞0，c＞d，c＞0， 若d＞0即c＞d＞0， 由不等式的同向可乘性得 ac＞bd， 若 d＝0，则bd＝0，又ac＞0，所以 ac＞bd， 若 d＜0，则bd＜0，又ac＞0，所以 ac＞bd， 综上 ，ac＞bd； (2) 如果 a＜b＜0，c＜d＜0，那么 ac＞bd； 证明：由题知 a＜b＜0，c＜d＜0， 则－a＞－b＞0，－c＞－d＞0， ∴ (－a)·(－c) ＞(－b)·(－d)， 即 ac＞bd； (3) 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ＜ ； 证明：由a＞b＞0，c＞d＞0，得 ac＞bd＞0， 两边同时除以 abcd，得 ＞， 即 ＜ ； (4) 如果 a＞b＞0，c＞d＞0，e＞0，那么 ＜ ； 证明：由a＞b＞0，c＞d＞0，得 ac＞bd＞0， 两边同时除以 abcd，得 ＞，即 ＜ ， 又 e＞0，所以 ＜ . 5. 设m为实数，解关于 x 的不等式 m(x＋2)x＋m. 解：∵ m (x＋2) ＜ x＋m，∴ mx＋2m ＜ x＋m， ∴ mx－x＜m－2m，∴ (m－1)x＜－m. 当 m－1＞0，即 m＞1 时，x＜ ； 当 m－1＝0，即 m＝1时，无解； 当 m－1＜0，即 m＜1时，x＞. 6. 设 x，y 为正数，比较 ＋ 与 的大小. 解：＋－＝ ＝ . ∵ x，y 为正数， ∴ xy＞0，x＋y＞0，x2＋y2＞0. ∴ ＞0， ∴ ＋ ＞ . 思考·运用 7. 已知 －1＜x＜y＜0，比较 ， ，x2，y2 的大小关系. 解：∵－1＜x＜y＜0， ∴ x－y＜0，x＋y＜0，xy＞0. ∵ － ＝ ＞0，∴ ＞. ∵ x2－y2 ＝(x－y)(x＋y)＞0 ， ∴ x2＞y2 . 8. 已知 a＜b＜0，求证：a4＞ b4. 证明：∵ a＜b＜0 ， ∴ a－b＜0，且 a＋b＜0. 从而 (a－b)(a＋b)＞0，即 a2－b2＞0. 又∵ a＞0，b＞0， ∴ a＋b＞0， 从而 (a2－b2)(a2＋b2)＞0，即a－b＞0，故a4＞b4. 9. 已知 a ＞ b ＞ 0，求证： (1) ＞ ； 证明：－＝ ＝ ， ∵ a ＞ b ＞ 0， ∴ ＞0， ＞0， ∴ ＞0， ∴ . (2) a ＞ ＞ b. 证明：由(1)可知 ＞＞ 0， ∴ · ＞ · ， · ＞ · ， ∴ a＞， ＞b； ∴ a＞＞b. 9. 已知 a ＞ b ＞ 0，求证： 10. 已知 a ＞ b，ab ≠ 0，试比较 与 的大小. 解： － ＝，∵ a ＞ b，∴ ＜0. 若 a＞b＞0 或 b＜a＜0，则 ab＞0，则－＜0， ∴ ＜. 若 a＞0＞b，则ab＜0，则 －＞0，∴ ＞. 探究·拓展 11. 已知b g糖水中含有a g(b＞a＞0)，若再添m g(m＞0) 解在其中，则糖水变得更甜(即糖水中含糖浓度变大). 试根据这个事实写出 a，b，m 所满足的不等关系，并给予证明. a，b，m 所满足的不等关系是 ＞ . 证明如下： －＝＝ ， ∵ b＞a＞0，m＞0. ∴ b－a＞0，b＋m＞0. ∴ ＞0， ∴ ＞ . 1.牢记2组性质 (1)等式的3个性质；(2)不等式的7个性质. 2.掌握不等式性质应用的条件： (1)使用的前提条件. (2)是否可逆. 3.注意1个易错点 注意不等式性质的单向性或双向性. 课堂小结 ∴<0，故<. (2)eq \f(b,a)－eq \f(a,b)＝eq \f(b2－a2,ab)＝eq \f(（b＋a）（b－a）,ab)， 2. (1)已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac<e－bc. (2)已知a<b<0，求证：eq \f(b,a)<eq \f(a,b). 提示:以上错解中忽视了配方法的应用,事实上,本题中a2+b2-ab 可继续化为b2. 正解:因为A-B=a2+3ab-4ab+b2=a2+b2-ab=b2≥0, 所以A≥B. ①+②,得3≤2a≤6,≤a≤3.③ ②+①×(-1),得0≤2b≤3,0≤b≤.④ ③×4+④×(-2),得3≤4a-2b≤12. a=,且b=时 正解:令a+b=μ,a-b=v, 则2≤μ≤4,1≤v≤2. 由解得 则4a-2b=4·-2·=2μ+2v-μ+v=μ+3v. 而2≤μ≤4,3≤3v≤6,则5≤μ+3v≤10. 故5≤4a-2b≤10. 解析　由eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0可得b<a<0，从而|a|<|b|，①②均不正确； 【例1】　(1)若eq \f(1,a)<eq \f(1,b)<0，有下面四个不等式：①|a|>|b|，②a<b，③a＋b<ab，④a3>b3，则不等式不正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 又a>b，所以eq \f(a,ab)>eq \f(b,ab)，所以eq \f(1,a)<eq \f(1,b)，所以①正确； (2)给出下列命题： ①若ab>0，a>b，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b)； ②若a>b，c>d，则a－c>b－d； ③对于正数a，b，m，若a<b，则eq \f(a,b)<eq \f(a＋m,b＋m). 其中真命题的序号是________. 解析　对于①，若ab>0，则>0， 又eq \f(1,b（b＋m）)>0，所以eq \f(a,b)<eq \f(a＋m,b＋m)，③正确. 【例2】　若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：eq \f(e,（a－c）2)>eq \f(e,（b－d）2). 证明　法一　eq \f(e,（a－c）2)－eq \f(e,（b－d）2)＝eq \f(e[（b－d）2－（a－c）2],（a－c）2（b－d）2) ＝ ＝eq \f(e[（a＋b）－（c＋d）][（b－a）＋（c－d）],（a－c）2（b－d）2). 法二　eq \f(\f(e,（a－c）2),\f(e,（b－d）2))＝eq \f(（b－d）2,（a－c）2).∵c<d<0，∴－c>－d>0. ∴0<<1，∴0<<1. 又(a－c)2(b－d)2>0，∴eq \f(e,（a－c）2)－eq \f(e,（b－d）2)>0， 即>. eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(（a－c）2>（b－d）2>0⇒\f(1,（a－c）2)<\f(1,（b－d）2),　　　　　　　　　　　　　　　　　　e<0))⇒ >. 又eq \f(e,（b－d）2)<0，∴eq \f(e,（a－c）2)>eq \f(e,（b－d）2). 法三　eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(c<d<0⇒－c>－d>0, 　　　　a>b>0))⇒a－c>b－d>0⇒ 又<<，∴<<，即<<2. ∴a－b的取值范围为(－3，3)，eq \f(a,b)的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2)). 【例3】　已知1<a<6，3<b<4，求a－b，eq \f(a,b)的取值范围. A.> B.ac<bc C.|a|>－b D.> 解析　a<b<0，则>，选项A正确； 由－a>－b>0，可得eq \r(－a)>eq \r(－b)，则选项D正确，故选B. ∴＋>0，故选A. 解析　eq \f(1,b－c)＋eq \f(1,c－a)＝eq \f(c－a＋b－c,（b－c）（c－a）)＝eq \f(b－a,（b－c）（c－a）)， 3.已知a>b>c，则eq \f(1,b－c)＋eq \f(1,c－a)的值是(　　) 当ab<0时，a>b⇒<， 即>，C成立.同理可证D不成立. A.a>b⇒ac3>bc3 B.>⇒a>b C.⇒> D.⇒> C.若a>b，c<d，则> 由15<b<36得<<. 所以<<4. 二、填空题 6.已知12<a<60，15<b<36，则a－b的取值范围为______________，eq \f(a,b)的取值范围为________. 解析　①a>b>0⇒0<<⇒<； ③中取a＝－2，b＝1，则eq \r(－a)<eq \r(b)不成立.④正确. ①若a>b>0，则eq \f(1,a2)<eq \f(1,b2)；②若a>b，则c－2a<c－2b；③若a<0，b>0，则eq \r(－a)<eq \r(b)；④若a>b，则2a>2b. 8.设a>b>c>0，x＝eq \r(a2＋（b＋c）2)，y＝eq \r(b2＋（c＋a）2)，z＝eq \r(c2＋（a＋b）2)，则x，y，z的大小顺序是________(按从大到小的顺序). ∴a·<b·，∴<.∴(1)是假命题. (1)若a<b<0，则eq \f(1,a)<eq \f(1,b)； (2)若a>b>c，则有a|c|>b|c|； (3)若b<a<0，n∈N，n>1，且n为奇数，则有an>bn. 解　(1)∵a<b<0，∴ab>0，∴>0. ＝eq \f(ac－ab－bc＋ab,（c－a）（c－b）)＝eq \f(c（a－b）,（c－a）（c－b）). ∴>0.∴>. 10.已知c>a>b>0，求证：>. 证明　eq \f(a,c－a)－eq \f(b,c－b)＝eq \f(a（c－b）－b（c－a）,（c－a）（c－b）) A.> B.< C.> D.< 解析　法一　eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(c<d<0⇒cd>0,　　c<d<0))⇒eq \f(c,cd)<eq \f(d,cd)<0⇒eq \f(1,d)<eq \f(1,c)<0⇒eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－1,d)>\f(－1,c)>0,a>b>0))⇒eq \f(－a,d)>eq \f(－b,c)⇒eq \f(a,d)<eq \f(b,c). 解析　∵－＜α＜，－＜β＜， ∴－＜－β＜， ∴＜α－β＜. ∴－＜＜0. 又∵α＜β，∴α－β＜0，∴－eq \f(2π,3)＜α－β＜0. 12.已知－eq \f(π,3)＜α＜β＜eq \f(π,3)，则eq \f(α－β,2)的取值范围为________. 又eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤a＋b≤4，,－3≤3（a－b）≤6.))∴－2≤4a－2b≤10. 解　法一　设u＝a＋b，v＝a－b得a＝eq \f(u＋v,2)，b＝eq \f(u－v,2)， ∴∴ $$