3.4 二元一次方程组及其解法 课件-2024-2025学年沪科版七年级数学上册

第一课时 二元一次方程组 第3章 一次方程与方程组 3.4 二元一次方程组及其解法 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.经历从实际问题中抽象出二元一次方程组的过程，进一步体会方程是有效刻画现实世界的数学模型，发展模型观念. 2.了解二元一次方程组及二元一次方程组的解的概念. 3. 能根据实际问题列二元一次方程组. 课堂导入 只含有_______未知数（元），未知数的次数都是____，且等式两边都是_______的方程叫作一元一次方程. 下列式子中，是一元一次方程的是_______（填序号）. ① x-2= ；② 0.3x=1；③ =5x+1；④ x2-4x=3； ⑤ x=6；⑥ x+2y=0. 一个 1 整式 ②③⑤ 新知探究 问题1：“鸡兔同笼”是我国古代数学著作《孙子算经》上的一道题. 今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何. 思考1：如何列一元一次方程？ 解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只. 2x+4(35-x)=94. 知识点1 二元一次方程 新知探究 思考2：问题中有两个未知数，能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？ 分析： 鸡的只数+兔的只数=总头数 鸡的脚数+兔的脚数=总脚数 解：设鸡有x只，兔有y只. 鸡 兔 合计 头数 x y 35 脚数 2x 4y 94 x+y=35 2x+4y=94 知识点1 二元一次方程 新知探究 x+y=35 2x+4y=94 观察下面的方程： 2.它与你学过的一元一次方程比较有什么区别？ 1.它们有什么共同特征？ 3.你能给它起个名字吗？ 知识点1 二元一次方程 新知探究 定义：含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程. 注意： 1.是整式方程； 2.只含有两个未知数，且未知数的系数不为0； 3. “一次”是指含未知数的项的次数是1，而不是未知数的次数. x+y=35 2x+4y=94 二元一次方程 三者缺一不可！ 知识点1 二元一次方程 新知探究 例1 下列式子中，是二元一次方程的是_______（填序号）. ① 8x-y=3y；② 3x-z=y；③ 2x-5=3；④ +y=2； ⑤ xy=2；⑥ 3x2+1=y；⑦ x-y= . 判断一个方程是否为二元一次方程的方法： 1.原方程是否是整式方程且只含有两个未知数； 2.整理化简后的方程中两个未知数的系数都不为0，且含未知数的项的次数都是1. ①⑦ 知识点1 二元一次方程 新知探究 x+y=35 2x+4y=94 ① ② 几个方程联立在一起，称为方程组. 定义：由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组. 注意： 1.组成方程组的方程都是整式方程； 2.两个方程共含有两个未知数； 3.方程组中含有未知数的项的次数必须都是1. 知识点2 二元一次方程组 新知探究 例1 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 看两个方程是否为整式方程 看方程组是否一共含有两个未知数 看含未知数的项的次数是否都是1 C 知识点2 二元一次方程组 新知探究 问题2：某班同学在植树节时植樟树和白杨树共50棵. 已知樟树苗每棵10元，白杨树苗每棵3元，购买这些树苗用了290元.樟树苗、白杨树苗各买了多少棵? 解:设樟树苗买了x棵，白杨树苗买了y棵，可得二元一次方程组 x+y=50， 10x+3y=290. ① ② 知识点2 二元一次方程组 随堂练习 1.根据题意，列出二元一次方程组： （1）小华买了60分与80分的邮票共10枚，花了7元2角，那么60分和80分的邮票各买了多少枚? 【教材P109 练习 第1题】 解：设买了x枚60分的邮票和y枚80分的邮票. 根据题意，得 随堂练习 （2）植树节七(1)班和七(2)班共植树138棵，七(1)班植树数量比七(2)班的 多8棵. 两班分别植树多少棵? 解：设七(1)班植树x棵，七(2)班植树y棵. 根据题意，得 随堂练习 （3）将一摞笔记本分给若干同学. 每个同学5本，则剩下8本；每个同学8本，又差了7本. 共有多少本笔记本、多少个同学? 解：设共有x本笔记本，y个同学. 根据题意，得 随堂练习 2.请你根据生活实例，编一道应用二元一次方程组的问题，并列出方程组. 解：答案不唯一，如：某船的载重为260t，容积为1000m3. 现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为8m3，乙种货物每吨体积为2m3，若要充分利用这艘船的载重与容积，则甲、乙两种货物应各装多少吨（装运货物时不留空隙）？ 设甲、乙两种货物应各装x t，y t. 根据题意，得 【教材P109 练习 第2题】 课堂小结 二元一次方程组 二元一次方程及二元一次方程组的定义 根据实际问题列二元一次方程组 含有两个未知数的一次方程叫作二元一次方程. 由两个一次方程组成，且含两个未知数的方程组叫作二元一次方程组. 第二课时 代入消元法 第3章 一次方程与方程组 3.4 二元一次方程组及其解法 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.会用代入消元法解二元一次方程组，发展运算能力. 2.了解“消元”的思想，体会“化未知为已知”的化归思想在数学中的应用. 课堂导入 根据已知的x或y的值，求另一个未知数的值，并填入下表. x+y=10 x … -2 0 2 5 8 … y … 12 10 8 5 2 … y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 … y … 0 4 8 14 20 … 二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值. 二元一次方程有无数组解！ 课堂导入 x+y=10 x … -2 0 2 5 8 … y … 12 10 8 5 2 … y-2x=4 x … -2 0 2 5 8 … y … 0 4 8 14 20 … 观察表格可知， 同时满足两个二元一次方程. 所以 是此二元一次方程组的解. 使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值. 新知探究 思考：问题1（“鸡兔同笼”）中，我们得到方程组 x+y=35， ① ② 怎样求出其中x，y的值呢？ 解：设鸡有x只，则兔有(35-x)只. 2x+4(35-x)=94 2x+4y=94 知识点 代入消元法解二元一次方程组 新知探究 x+y=35 2x+4y=94 ① ② 由①，得 y=35-x， ③ 把③代入②，得2x+4(35-x)=94， 解方程，得x=23. 把x=23代入③，得y=12. 所以这个二元一次方程组的解是 . 二元一次方程组 一元一次方程 代入消元 转化 代入 消元法 知识点 代入消元法解二元一次方程组 新知探究 代入消元法：从一个方程中求出某一个未知数的表达式， 再把它“代入”另一个方程，进行求解，这种方法叫作代入消元法，简称代入法. 知识点 代入消元法解二元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 转化 代入 消元法 代入消元 新知探究 例1 解方程组. 2x+3y=-7， ① ② x+2y=3. 解：由②，得x=3-2y，③ 把③代入①，得2(3-2y)+3y=-7. -y=-13. y=13. 把y=13代入③，得x=3-2×13. x=-23. 所以 变形 代入 求解 回代 写解 可以用x表示y吗?试试看. 解题步骤： 变 代 解 回 写 知识点 代入消元法解二元一次方程组 新知探究 例1 解方程组. 2x+3y=-7， ① ② x+2y=3. 解：由②，得y= (3-x)，③ 把③代入①，得2x+ (3-x)=-7. x= . x=-23. 把x=-23代入③，得y= (3+23). y=13. 所以 知识点 代入消元法解二元一次方程组 新知探究 （1） （2） ① ② （1）解：把①代入②，得3x+2(2x-3)=8. x=2. 把x=2代入①，得y=2×2-3=1. 所以 知识点 代入消元法解二元一次方程组 例2 用代入消元法解二元一次方程组： 新知探究 例2 用代入消元法解二元一次方程组： （1） （2） ① ② （2）解：由①，得x=2y-1，③ 把③代入②，得2(2y-1)+y=3. y=1. 把y=1代入③，得x=1. 所以 知识点 代入消元法解二元一次方程组 随堂练习 1.把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式： （1）3x-2y=4； （2）5x-y=5； （3）5x+2y+1=0. 【教材P111 练习 第1题】 解：（1） ； （3） . （2）y=5x-5； 随堂练习 （1） （2） 2.用代入法解下列方程组： （3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 【教材P111 练习 第2题】 随堂练习 3.已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 求a，b的值. 【教材P111 练习 第3题】 解：由 是二元一次方程组 的解， 得 随堂练习 由②，得a=9-3b.③ 把③代入①，得3(9-3b)+2b=13. -7b=-14. b=2. 把b=2代入③，得a=9-3×2=3. 所以 用一个未知数表示另一个未知数 代入消元 解一元一次方程得到一个未知数的值 求另一个未知数的值 代入法的核心思想是消元 课堂小结 第三课时 加减消元法 第3章 一次方程与方程组 3.4 二元一次方程组及其解法 沪科版数学七年级上册 学习目标 1.会用加减消元法解二元一次方程组，发展运算能力. 2.了解“消元”的思想，体会“化未知为已知”的化归思想在数学中的应用. 复习回顾 1.解二元一次方程组的基本思路是什么？ 基本思路：消元 二元 一元 转化 2.用代入法解方程的步骤是什么？ 变形 代入 求解 回代 写解 用一个未知数的代数式表示另一个未知数 新知探究 思考：解问题1中的方程组，除代入消元法外，是否还有别的消元方法? x+y=35 2x+4y=94 x+y=35 ① ② x+2y=47 等式的基本性质 此方程组中各个未知数的系数有什么特点？ 知识点 加减消元法解二元一次方程组 新知探究 x+y=35 ① ② x+2y=47 方程②的两边分别减去方程①的两边，得 2y-y=47-35. 一元一次方程 解方程，得y=12. 把y=12代入①，得x+12=35. 解方程，得x=23. 所以 知识点 加减消元法解二元一次方程组 新知探究 联系上面的解法，想─想怎样解下列方程组： 3x +10y=2.8 ① ② 15x-10y =8 1.未知数的系数有什么关系? 2.如何消元? 方程②的两边分别加上方程①的两边，得 3x+15x=2.8+8. 解方程，得x=0.6. 把x=0.6代入①，得1.8+10y=2.8. 解方程，得y=0.1. 所以 知识点 加减消元法解二元一次方程组 新知探究 x+y=35 x+2y=47 3x +10y=2.8 15x-10y=8 1.这两个方程组是如何消元的？ 思考： 方程的两边分别相加或相减. 2.两个方程相加或相减的依据是什么？ 3.两个方程加减后能够实现消元的前提条件是什么？ 等式的基本性质. 两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数. 加减 消元法 知识点 加减消元法解二元一次方程组 新知探究 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫作加减消元法，简称加减法. 二元一次方程组 一元一次方程 转化 知识点 加减消元法解二元一次方程组 新知探究 例1 解方程组： 4x+y=14， ① ② 8x+3y=30. 在这个方程组中，直接将两个方程相加或相减，都不能消去未知数x或y，怎么办? 解：①×2，得8x+2y=28. ③ ②-③，得 y=2. 把y=2代入①，得4x+2=14. x=3. 所以 如果消去y，如何求解？ 知识点 加减消元法解二元一次方程组 新知探究 解：①×3，得12x+3y=42. ③ ③-②，得4x=12. x=3. 把x=3代入①，得12+y=14. 解方程，得y=2. 所以 变形 加减 求解 回代 写解 知识点 加减消元法解二元一次方程组 例1 解方程组： 4x+y=14， ① ② 8x+3y=30. 新知探究 4x+2y=-5， ① ② 5x-3y=-9. 1.方程组符合加减消元法的条件吗? 2.此方程组如何使用加减消元法? 分析：比较方程组中的两个方程，y的系数的绝对值比较小，①×3，②×2，就可使y的系数绝对值相等，再用加减法即可消去y. y y 找系数的最小公倍数. 知识点 加减消元法解二元一次方程组 例2 解方程组： 新知探究 4x+2y=-5， ① ② 5x-3y=-9. 解：①×3，得12x+6y=-15. ③ ②×2，得10x-6y=-18. ④ ③+④，得22x=-33. x= . 把x= 代入①，得 -6+2y=-5. y= . 所以 知识点 加减消元法解二元一次方程组 例2 解方程组： 随堂练习 1.用加减法解下列方程组： 【教材P114 练习 第1题】 （1） ① ② （1）解：①-②，得-y=6. y=-6. 把y=-6代入②，得2x-2×(-6)=-1. x=-8. 所以 （2） 随堂练习 （1） （2） （2）解：②×2，得6x－2z+2=0.③ ①+③，得7x-7=0. x=1. 把x=1代入①，得 1+2z-9=0. z=4. 所以 ① ② 2.用加减法解下列方程组： 【教材P114 练习 第1题】 随堂练习 （3） ① ② （3）解：①×2，得8x-4y=78.③ ③-②，得5x=60. x=12. 把x=12代入②，得3×12-4y=18. y= . （4） 所以 随堂练习 （3） （4） （4）解：②×9，得3y+27x=99.③ ③-①，得 x=80. x=3. 把x=3代入①，得 ×3+3y=19. y=6. ① ② 所以 课堂小结 加减消元法 条件： 步骤： 两个二元一次方程中同一未知数的系数相等或互为相反数 变形 加减 求解 回代 写解 第四课时 选择合适的方法解方程组 第3章 一次方程与方程组 3.4 二元一次方程组及其解法 沪科版数学七年级上册 学习目标 能够根据二元一次方程组的情况选择合适的方法进行求解. 复习回顾 交流：1.用代入法、加减法解方程组的基本思路、具体步骤各是什么? 加减法： 基本思路：消元 二元 一元 转化 变形 代入 求解 回代 写解 代入法： 变形 加减 求解 回代 写解 复习回顾 交流：2.用代入法、加减法解题时各应注意些什么？ 用代入法解二元一次方程组的变形技巧： 1.当方程组中含有用一个未知数表示另一个未知数的关系式时，直接代入； 2.当方程组中有未知数的系数为1或﹣1时，选择系数为 1或﹣1的方程进行变形； 3.当未知数的系数都不是1或﹣1时，一般选择未知数系数 的绝对值小的方程变形. 复习回顾 交流：2.用代入法、加减法解题时各应注意些什么？ 用加减法解二元一次方程组的变形技巧： 1.当某个未知数的系数的绝对值相等时，直接相加减消去该未知数； 2.当某个未知数的系数成整数倍时，消去该未知数； 3.当两个未知数的系数都成整数倍或者系数的绝对值既不相等，也不成整数倍时，常消去系数绝对值的最小公倍数较小的那个未知数. 新知探究 例1 解方程组： 【教材P115 例4】 2(x-150)=5(3y+50)， ① ② 10%·x+6%·y=8.5%×800. 加减法？ 代入法？ 知识点 选择合适的方法解二元一次方程组 新知探究 2(x-150)=5(3y+50)， ① ② 10%·x+6%·y=8.5%×800. 解：将原方程组化简，得 ③+④×5，得27x=17550. x=650. 将x=650代入④得，5×650+3y=3400. 解得y=50. 所以 知识点 选择合适的方法解二元一次方程组 新知探究 解：原方程组整理得 ②-①，得4y=-16，解得y=-4. 将y=-4代入①，得2x+4=16，解得x=6. 故原方程组的解为 知识点 选择合适的方法解二元一次方程组 例2 解方程组： 随堂练习 （1） （2） 1.解下列方程组： （3） （4） 【教材P115 练习 第1题】 随堂练习 （1） 解：将原方程组化简，得 ②×3，得18x-9y=12.③ ③-①，得10x=10. x=1. 把x=1代入②，得6-3y=4. y= . 所以 随堂练习 （2） 解：将原方程组化简，得 ②×3，得12m+n=24.③ ③-①，得5m=0. m=0. 把m=0代入①，得n=24. 所以 随堂练习 （3） 解：①+②，得16(x+y)=64，即x+y=4.③ ①-②，得2(x-y)=-4，即x-y=-2.④ ③+④，得2x=2. x=1. 把x=1代入③，得1+y=4. y=3. 所以 ① ② 随堂练习 （4） 解：将原方程组化简，得 ②-①，得y=20-60. y=-40. 把y=-40代入①，得x-40=60. x=100. 所以 课堂小结 代入法和加减法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消元使方程组转化为一元一次方程. 我们应该根据方程组的具体情况，选择合适的解法. 谢谢观看 $$