精品解析：重庆市江北区巴川量子学校2024-2025学年八年级上学期开学考试数学试题

数学练习（一） （本卷共五个大题，满分150分，时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列数中，是无理数的是（ ） A. B. 3 C. D. 4.1 2. 下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，6 3. 根据下列条件画三角形，不能唯一确定三角形的是（ ） A. 已知三个角 B. 已知三边 C. 已知两角和夹边 D. 已知两边和夹角 4. 下列调查：①对某品牌电脑使用寿命的调查；②对旅客上飞机前是否携带违禁品的调查；③对某市七年级学生“一分钟跳绳”次数的调查；④对歌乐山某日空气质量的调查．其中适合全面调查的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 如图，、、是某正多边形相邻的三条边，延长、交于点P，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，沿直线向右平移后到达的位置，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为，乙的坐标为，则丙的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 甲乙两个小组共同生产某种产品．若甲组先生产1天，然后甲、乙合作生产5天，则两个小组产量一样多；若甲组先生产300个产品，然后两组合作生产4天，则乙比甲多生产100个产品．若设甲每天生产x个产品，乙每天生产y个产品，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD=12，CD=5，则ED的长度是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10. 如图，在中，，，平分，，，则的面积为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 13. 平面直角坐标系中，若点在第四象限，则a的取值范围是______． 14. 如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据______判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空） 三、解答题（本大题5个小题，第15、16、17题每题8分，第18、19题每题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 按要求解答下列问题： （1）解方程组； （2）解不等式组 16. 林林自主探究时发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（保留作图痕迹） （2）已知：在中，是的角平分线，． 求证：． 证明：∵是的角平分线， ∴①______． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴③______． 林林进一步研究发现，若在上图中已知是的角平分线，，同样可以通过证明三角形全等得到．因此，林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的④______重合时，这个三角形是等腰三角形． 17. 某校组织500名学生观看英语节节目．某数学兴趣小组进行了“我最喜欢的一类节目（歌曲、舞蹈、乐器、合唱、戏剧，每人只能选择一类节目作为最喜欢的节目）”的随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图．本次随机抽样调查中喜欢合唱类的男生与女生的人数比为，喜欢戏剧类的男生人数比女生人数少9人，根据图中信息解答如下问题： （1）扇形统计图中歌曲所对应的圆心角的大小为______度，补全条形统计图． （2）本次随机抽样调查的样本容量是______． （3）估计该校观看节目的500名学生中，最喜欢舞蹈和乐器的总人数． 18. 如图，中，于点D． （1）求证：； （2）过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 19. 下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答： （1）如图1，，分别是和的平分线且相交于点，若，求的度数： （2）如图2，，分别是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由： （3）如图3，在中，平分，平分，和交于点，若，直接写出的度数． B卷（共50分） 四、填空题（本大题5个小题，每小题4分、共20分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标是______． 21. 已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为______． 22. 如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，设，和的面积分别为，和，若，则______． 23. 如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为______． 24. 已知：中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于M，若，则的值为_______． 五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 26. 某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值． （2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 27. 已知等腰直角中，，． （1）如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，，求的度数； （2）如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证：； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学练习（一） （本卷共五个大题，满分150分，时间120分钟） A卷（共100分） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列数中，是无理数的是（ ） A. B. 3 C. D. 4.1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：，3，，4.1中，是无理数的是； 故选C． 2. 下列长度的三条线段，不能构成三角形的是（　　） A. 1，2，3 B. 2，2，3 C. 2，3，4 D. 3，4，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系进行分析判断． 【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得 中，，不能组成三角形； 中，，能组成三角形； 中，，能够组成三角形； 中，，能组成三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，解题的关键是：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形． 3. 根据下列条件画三角形，不能唯一确定三角形的是（ ） A. 已知三个角 B. 已知三边 C. 已知两角和夹边 D. 已知两边和夹角 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查由已知条件作三角形，依据三角形全等的判定即可求解． 【详解】解：A、已知三个角可画出无数个三角形，故符合题意； B、符合全等三角形的判定，能作出唯一确定三角形，故不符合题意； C、符合全等三角形的判定，能作出唯一确定三角形，故不符合题意； D、符合全等三角形的判定，能作出唯一确定三角形，故不符合题意； 故选：A． 4. 下列调查：①对某品牌电脑使用寿命的调查；②对旅客上飞机前是否携带违禁品的调查；③对某市七年级学生“一分钟跳绳”次数的调查；④对歌乐山某日空气质量的调查．其中适合全面调查的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：①对某品牌电脑使用寿命的调查，适合采用抽样调查； ②对旅客上飞机前是否携带违禁品的调查，适合采用全面调查； ③对某市七年级学生“一分钟跳绳”次数的调查，适合采用抽样调查； ④对歌乐山某日空气质量的调查，适合采用抽样调查； 故选：B 5. 如图，、、是某正多边形相邻的三条边，延长、交于点P，若，则该正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角问题，正确记忆相关知识点是解题关键．由该多边形的内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形的内角都相等可知该多边形的外角也都相等， 所以． 因为， 所以， 所以该多边形的边数． 故选：C． 6. 如图，沿直线向右平移后到达的位置，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，根据三角形的内角和定理，求出的度数，平移的性质，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵沿直线向右平移后到达的位置， ∴； 故选A． 7. 如图，在某平面直角坐标系内，已知甲的坐标为，乙的坐标为，则丙的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．先利用甲的坐标为，乙的坐标为，画出直角坐标系，然后可写出丙的坐标． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系： 丙的坐标是． 故选：D． 8. 甲乙两个小组共同生产某种产品．若甲组先生产1天，然后甲、乙合作生产5天，则两个小组产量一样多；若甲组先生产300个产品，然后两组合作生产4天，则乙比甲多生产100个产品．若设甲每天生产x个产品，乙每天生产y个产品，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是从题目中找到两个等量关系，难度不大．根据“甲组先生产1天，然后甲、乙合作生产5天，则两个小组产量一样多；若甲组先生产300个产品，然后两组合作生产4天，则乙比甲多生产100个产品”列出方程组即可． 【详解】解：设甲每天生产x个产品，乙每天生产y个产品， 根据题意得：， 故选：C 9. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD=12，CD=5，则ED的长度是（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的两锐角互余及角的和差得到∠CAD=∠BCE，即可证明△CDA≌△BEC，可得CD=BE，CE=AD，根据ED=AD-CD，即可解题． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D， ∴∠E=∠CDA=90°，∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△CDA和△BEC中，， ∴△CDA≌△BEC（AAS）， ∴CD=BE，CE=AD， ∵ED=CE-CD， ∴ED=AD-CD， ∵AD=12，CD=5， ∴ED=12-5=7． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（AAS）和性质（全等三角形的对应边）是解题的关键． 10. 如图，在中，，，平分，，，则的面积为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后利用三角形面积公式进行计算． 【详解】解：过点作于，如图， 平分，，， ， ． 故选：D 二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 先计算绝对值和立方根，再相加即可． 【详解】解：， 故答案为：1． 12. 如图，下列条件中：①；②；③；④．则一定能判定的条件有________．（请填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练应用平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意． 故答案为：①③④． 13. 平面直角坐标系中，若点在第四象限，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据点所在的象限判断参数的范围，求不等式组的解集，根据第四象限内点的符号特征，得到一元一次不等式组，进行求解即可． 【详解】解：∵点在第四象限， ∴，解得：， 故答案为： 14. 如图、用尺规作一个已知角的角平分线的原理如下：依据______判定和全等，进而得到．（从中选择其一填空） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定方法，根据作图得到结合，证明三角形全等，即可得出结论． 【详解】解：由作图可知： 又∵， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题5个小题，第15、16、17题每题8分，第18、19题每题10分，共44分）解答时每小题必须给出必要的演算过程，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 15. 按要求解答下列问题： （1）解方程组； （2）解不等式组 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题的关键． （1）利用加减消元法解答即可； （2）分别求得不等式组中两个不等式的解集，再求它们的公共部分即可得出结论． 【小问1详解】 ， ①②得：， ， 把代入②得：， ． 原方程组的解为：； 【小问2详解】 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：． 16. 林林自主探究时发现：三角形一个角的平分线与其对边的高重合时，这个三角形是等腰三角形，他通过证明三角形全等得到结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规，作的角平分线交于D．（保留作图痕迹） （2）已知：在中，是的角平分线，． 求证：． 证明：∵是的角平分线， ∴①______． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴③______． 林林进一步研究发现，若在上图中已知是的角平分线，，同样可以通过证明三角形全等得到．因此，林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的④______重合时，这个三角形是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）， ，，角平分线与中线． 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，等腰三角形三线合一的性质，证明是解题的关键． （1）根据角平分线的基本作法作出图形即可； （2）根据证明即可得出结论． 【小问1详解】 如图所示； 【小问2详解】 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴． 林林归纳出另外一个结论：三角形一个角的角平分线与中线重合时，这个三角形是等腰三角形． 故答案为：， ，，角平分线与中线． 17. 某校组织500名学生观看英语节节目．某数学兴趣小组进行了“我最喜欢的一类节目（歌曲、舞蹈、乐器、合唱、戏剧，每人只能选择一类节目作为最喜欢的节目）”的随机抽样调查，并绘制如下不完整的统计图．本次随机抽样调查中喜欢合唱类的男生与女生的人数比为，喜欢戏剧类的男生人数比女生人数少9人，根据图中信息解答如下问题： （1）扇形统计图中歌曲所对应的圆心角的大小为______度，补全条形统计图． （2）本次随机抽样调查的样本容量是______． （3）估计该校观看节目的500名学生中，最喜欢舞蹈和乐器的总人数． 【答案】（1）63，见解析 （2）218 （3）大约是206人． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的制作方法和统计图中各个数据之间的关系，正确识别统计图是解答问题的前提． （1）用乘以样本中最喜欢“歌曲”所占的比即可；求出男生中最喜欢“戏剧”人数，再补全条形统计图； （2）用男女生人数相加即可； （3）利用样本估计总体，用总人数500乘以样本中最喜欢舞蹈和乐器所占的比即可． 【小问1详解】 解：扇形统计图中歌曲所对应的圆心角的大小为：， 因为喜欢合唱类的男生与女生的人数之比为，所以女生最喜欢“合唱”人数为：（人， 所以被调查的女生人数为（人， 所以喜欢戏剧的女生人数为（人， 因为喜欢戏剧类节目的男生人数比女生人数多9人， 所以男生中最喜欢“戏剧”人数为：（人， 补全条形统计图如下： 故答案为：63； 【小问2详解】 本次随机抽样调查的样本容量为：， 故答案为：218； 【小问3详解】 （人， 答：最喜欢舞蹈和乐器的总人数大约是206人． 18. 如图，中，于点D． （1）求证：； （2）过点C作于点E，交于点F，若．求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键． （1）由“”即可证； （2）由直角三角形的性质可得，，从而得出再由“”可证，可得，再证明即可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 下面是有关三角形内角、外角平分线的探究，阅读后请按要求作答： （1）如图1，，分别是和的平分线且相交于点，若，求的度数： （2）如图2，，分别是和外角的平分线且相交于点，请猜想与之间的数量关系，并说明理由： （3）如图3，在中，平分，平分，和交于点，若，直接写出的度数． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角： （1）根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，进行求解即可； （2）根据三角形的内角和，三角形的外角和角平分线的定义，进行推导即可； （3）根据三角形的外角的性质和角平分线的定义，结合，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，分别是和外角的平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． B卷（共50分） 四、填空题（本大题5个小题，每小题4分、共20分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了具有周期性的点的坐标，关键是根据点运动的特点求出周期，找出同类的点，再寻求下标与横、纵坐标的关系．具有周期性的点的坐标，求出周期，利用余数找出同类点，再寻求规律． 【详解】解：电子狗从原点出发，按向上向右向下向下向右向上的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6， ， 考虑，，， ， ，得， 的坐标为， 故答案为：． 21. 已知关于x的不等式组无解，且关于x的方程的解为非负数，则满足条件的所有整数a的和为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，根据一元一次方程的解的情况求参数的范围，根据题意，求出满足题意的整数的值，求和即可． 【详解】解：由，得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的解为非负数， ∴， ∴， ∴， ∴满足题意的整数， ∴满足条件的所有整数a的和为； 故答案为：9． 22. 如图，在中，E是上的一点，，点D是的中点，设，和的面积分别为，和，若，则______． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则，，然后利用即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， ． 故答案为：42 23. 如图，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点D，连接，则的度数为______． 【答案】##52度 【解析】 【分析】此题综合考查了角平分线的性质以及三角形内角和定理，解此题的关键是求出平分，难度适中．由角平分线的性质可得，，从而得出， 从而证得平分，再求得，，最后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作，垂足分别为点， 平分，， ， 平分，， ， ， 平分， ，， ，， ，， ， 故答案为： 24. 已知：中，，，D为射线上一动点，连接，在直线右侧作，且．连接交直线于M，若，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和线段之间的关系，解题的关键是熟悉全等的性质和分类讨论思想的应用，当点D在的延长线上时，作，交的延长线于点G，利用可证明，有，，则．进一步利用证明，有．设，则，可求得，结合三角形面积公式得，，即可求得答案；当点D在线段上时，同理可设，有成立，可求得，则，即可． 【详解】解：点D在的延长线上时，作，交的延长线于点G，如图， 则． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 当点D在线段上时，同理可得，，， 可设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 故答案为：或． 五、解答题：（本大题3个小题，每小题10分，共30分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 25. 如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． （1）求的度数； （2）求证：平分； （3）若，，，且，求的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ； 【小问2详解】 证明：过点作交于点，交于点，如图所示： ，， ， 由（1）可知，， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； 【小问3详解】 解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． 26. 某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） （1）列出方程（组），求出图甲中a与b的值． （2）在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）； ②当时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能是多少个？ 【答案】（1） （2）①；；②24，27，30 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组． （1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②根据横式无盖礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于m、n的二元一次方程，然后讨论求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：、； 【小问2详解】 ①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：， 所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生B型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为张； 故答案为：；． 由图可知，做一个横式无盖礼品盒需A型板材3张，B型板材2张． ∵所裁得的板材恰好用完， ∴，化简得． ∵n，m皆为整数， ∴m为4的整数倍， 又∵， ∴m可取32，36，40， 此时，n分别为8，9，10，可做成的礼品盒个数分别为24，27，30． 答：做成的横式无盖礼品盒可能是24或27或30个． 27. 已知等腰直角中，，． （1）如图1，若点D是线段上一点，连接，过点B作，连接和，，求的度数； （2）如图2，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，求证：； 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． （1）由三角形内角和定理证明，如图1中，过点作交的延长线于，连接．证明，推出，，再证明，由，推出垂直平分线段，可得结论． （2）如图2中，过点作交的延长线于．证明，推出，，再证明，推出，可得结论． 【小问1详解】 解：如图1中，过点作交的延长线于，连接． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 垂直平分线段， ． 【小问2详解】 证明：如图2中，过点作交的延长线于． ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $