精品解析：江苏省苏州市2024-2025学年高三上学期开学考试(期初阳光调研)数学试题

2025届高三年级期初阳光调研试卷 数学 2024.9 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 是虚数单位，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（ ） A. B. 1 C. D. －1 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是（ ） A. 至少为300人 B. 至少为200人 C. 至多为300人 D. 至多为200人 6. 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（e为自然对数的底数），的零点分别为，，则的最大值为（ ） A. e B. C. 1 D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式，则（ ） A. 二项式系数最大的项为第3项 B. 常数项为第5项 C. 展开式中含的项为 D. 展开式中所有项的系数和为64 10. 如图，已知直线，A是，之间的一定点，A到的距离，A到的距离，B，C分别在，上，设，则（） A. 若，AB⊥AC，则 B. 若AB⊥AC，则△ABC面积的最小值为2 C. 若△ABC为等边三角形，则 D. 若∠BAC，则的最大值为1 11. 若数列满足：，对，有成立.则（） A. B. ，使得 C. 对，都有 D. 对，都有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则________. 13. 已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度的最小值为________. 14. 如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. （1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； （2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望. 16. 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD. （1）求证：AD⊥平面BEF； （2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值. 17. 已知函数，e为自然对数的底数，函数. （1）若在处的切线也是的切线，求实数a的值； （2）求在上的零点个数. 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，A为椭圆左顶点，已知点，且直线PA的斜率为.过点作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，若l的斜率小于零，且的面积为，求证：； （3）若存在实数，使得，求此时直线DC的斜率. 19. 如果数列满足，则称之为凸数列.现给定函数及凸数列，它们满足以下两个条件：①；②对，有（为正常数）. （1）若数列满足，，且数列满足，请判断是否为凸数列，并说明理由； （2）若，求证：； （3）对任何大于等于2的正整数i，j且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级期初阳光调研试卷 数学 2024.9 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题结束后，请将答题卡交回. 2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置. 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 是虚数单位，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据复数的除法运算法则，可得. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据交集的定义求解. 【详解】由可得，故， 故选：C 3. 将函数的图象先向左平移个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（ ） A. B. 1 C. D. －1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求出的表达式，再求的值. 【详解】函数的图象先向左平移个单位得到， 将图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的，得到函数， 所以， 故选：A. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线满足的坐标关系，即可由充分不必要条件的定义求解. 【详解】由，， 若，则，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5. “绿水青山就是金山银山”的理念深入人心，人民群众的生态环境获得感、幸福感、安全感不断提升.某校高一年级举行环保知识竞赛，共500人参加，若参赛学生成绩的第60百分位数是80分，则关于竞赛成绩不小于80分的人数的说法正确的是（ ） A. 至少为300人 B. 至少为200人 C. 至多为300人 D. 至多为200人 【答案】B 【解析】 【分析】根据百分位数的定义判断． 【详解】由题意，，因此竞赛成绩不小于80分的人数至少有人， 故选：B． 6. 已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由面积求得侧棱与底面边长的关系，再根据线面角定义求解． 【详解】如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，则是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角， 设底面边长为，， 由已知，则，又， 所以，而， 所以， . 故选：D． 7. 已知函数（e为自然对数的底数），的零点分别为，，则的最大值为（ ） A. e B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同构化得出的关系：，则，然后引入函数，由导数求得函数最大值即得． 【详解】由已知，即， ，即，令，则， 又函数是上的增函数，因此， ，令，则， 时，，递增，时，，递减， 所以时，， 所以的最大值是1. 故选：C． 8. 在平面直角坐标系xOy中，A，B为双曲线右支上两点，若，则中点横坐标的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的第二定义可得，即可利用中位线以及三点共线求解最值. 【详解】双曲线右支上的点到右焦点的距离与到准线的距离之比等于离心率.（双曲线的第二定义） 由双曲线为等轴双曲线，故离心率为， 双曲线右焦点为,连接，取中点为， 过，分别作准线的垂线，垂足分别为, 设，则， 故根据双曲线的第二定义可得： ， 则，当且仅当三点共线时，取最小值， 故此时中点的横坐标最小为， 故选：A 【点睛】关键点点睛：利用双曲线第二定义得，即可利用三点共线求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知二项式的展开式，则（ ） A. 二项式系数最大的项为第3项 B. 常数项为第5项 C. 展开式中含的项为 D. 展开式中所有项的系数和为64 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式系数的单调性即可求解A，利用通项即可求解BC，利用赋值法即可求解D. 【详解】由于，故二项式系数最大为，为第4项，故A错误， 的展开式的通项为，令，解得，故常数项为第5项，B正确， 令，则，故含的项为，故C正确， 在中，令，得，故D错误， 故选：BC 10. 如图，已知直线，A是，之间的一定点，A到的距离，A到的距离，B，C分别在，上，设，则（） A. 若，AB⊥AC，则 B. 若AB⊥AC，则△ABC面积的最小值为2 C. 若△ABC为等边三角形，则 D. 若∠BAC，则的最大值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A,在计算即可；对于B,分别求出的长，再利用三角形面积公式求解即可；对于C,若△ABC为等边三角形，则利用列出等式，进行化简即可求解；对于D,由C可知，因此可以求出的表达式，利用辅助角公式结合三角函数的图象和性质即可求解最大值. 【详解】对于A,若,则，故， 在中，，故A错误； 对于B，， 在中， 在中， , ，所以当时，故B正确； 对于C，为等边三角形，则， ， 在中， 在中， ，即. ，易知， ，故C正确； 对于D，若，由知， ， 当时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 若数列满足：，对，有成立.则（） A. B. ，使得 C. 对，都有 D. 对，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令可得数列是等差数列，进而得到数列的通项，进而可求的通项，进而可以判断A；对于B，对数列的通项进行放缩，然后裂项求和即可证明；对于C，构造函数，进而可证，然后利用累加法求和即可；对于D，构造函数，进而可得，变形得，再用累加法求和即可. 【详解】对于A，令，则 所以，故是首项为1，公差为1的等差数列，故，即， 所以，正确； 对于，因为， 所以，故不存在，使得，错误； 对于，令，则， 令得；令得； 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，当时取等， 所以， 累加得， 所以，正确； 对于D，令， 则在上恒成立， 所以在单调递增，所以， 所以，所以， 所以，， 累加得 即，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求解． 【详解】由余弦定理，得， 即，解得（负值舍去）， 故答案为：． 13. 已知直线（其中k为常数），圆，直线l与圆O相交于A，B两点，则AB长度的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线过的定点，求出圆的圆心和半径，当直线与垂直时弦长最小，求出AB长度的最小值. 【详解】由题意得直线过定点， 圆圆心为，半径为，在圆内， 当直线与垂直时，弦长最小， 此时， 所以AB长度的最小值为. 故答案为：. 14. 如图，线段相交于O，且长度构成集合，，则x的取值个数为________. 【答案】6 【解析】 【分析】画出等效图形，分和两种情况由勾股定理求出对应值即可； 【详解】 如图， 因为，且长度构成集合， 因为直角三角形中，斜边一定大于直角边和， 所以或， 当时，可分为 ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； ，此时由勾股定理可得，解得； 当，可分为 ，解得； ，解得； ，解得； 所以x的取值个数为6， 故答案为：6. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够画出等效图形再结合勾股定理解答. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在法兰西体育场举行. （1）志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米服务的概率； （2）为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）利用条件概率求解. （2）明确的可能取值，求出相应的概率，可得的分布列，进而求的数学期望. 【小问1详解】 设“汤姆选择中有200米服务”为事件；“汤姆选择中有1500米服务”为事件， 则，， 所以. 【小问2详解】 的值可能为：0，1，2，3. 且， ， ， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 16. 如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD. （1）求证：AD⊥平面BEF； （2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值. 【答案】（1） 是边长为2的正三角形，E为的中点，则. 且平面平面，平面平面，平面， 则平面. （2） 【解析】 【分析】(1)借助等边三角形的三线合一，再运用面面垂直的性质得到线面垂直即可；(2)建立空间直角坐标系，写出关键点的坐标，求出平面的法向量，再根据(1)的结论取得平面的法向量，再用向量夹角的公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形， 可取中点O， 连接，则. 且平面平面，且平面平面，则平面. 因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系. 是边长为2的正三角形，则可求得高. 底面为等腰直角三角形，求得. 可以得到关键点的坐标 由第（1）问知道平面的法向量可取. 设平面的法向量为，且则 ,则，解得. 则. 则平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数，e为自然对数的底数，函数. （1）若在处的切线也是的切线，求实数a的值； （2）求在上的零点个数. 【答案】（1）； （2）2 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程，设直线与图象的切点为，利用切线斜率和切点列方程组求解即可； （2）利用导数确定函数的单调性，然后结合零点存在定理确定零点个数． 【小问1详解】 ，则， 所以切线方程为， 又，设直线与图象的切点为， 则，解得. 【小问2详解】 ， 当时，，，，所以函数单调递减， 所以，此时函数无零点； 当时，设，则，即递增， ，， 因此在即在上有唯一零点，记零点为，即， 在上，，单调递减，在上，，单调递增， 又，，，， 所以在有一个零点，在上有一个零点， 综上所述，在上有2个零点. 18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，A为椭圆左顶点，已知点，且直线PA的斜率为.过点作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）. （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，若l的斜率小于零，且的面积为，求证：； （3）若存在实数，使得，求此时直线DC的斜率. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由直线斜率求得，再利用离心率求得得椭圆方程； （2）设直线方程为，，结合韦达定理求得和面积，从而求得值，得出两点坐标后，由对称性得出及，然后由三角形全等证得角相等； （3）假设存在，得，从而得，设，由向量平行的坐标表示写出点坐标，两点坐标代入椭圆方程化简得出满足的方程，同理得出满足的方程，由直线方程的定义可得直线的方程，从而得直线斜率． 【小问1详解】 由题意，，， 又，所以， 所以椭圆标准方程为； 【小问2详解】 由题意可设直线方程为，， 由得，，，， 所以， 解得，又直线的斜率小于零，所以，即直线， 则有，解得或，从而有， 又，，由对称性知，且，而轴，， 所以， 所以. 【小问3详解】 若存在实数，使得，则，所以， 由题意可知， 设，由得， 又均在椭圆上，所以， 上式变形为， 所以， 整理得， 同理可得， 所以直线方程为 所以的斜率为． 【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题的三角形面积问题，可设直线方程及交点坐标，直线方程与椭圆方程联立消元后，利用韦达定理求出三角形的面积，得出相应结论． 19. 如果数列满足，则称之为凸数列.现给定函数及凸数列，它们满足以下两个条件：①；②对，有（为正常数）. （1）若数列满足，，且数列满足，请判断是否为凸数列，并说明理由； （2）若，求证：； （3）对任何大于等于2的正整数i，j且，求证：. 【答案】（1）数列为凸数列，理由见详解； （2）证明见详解； （3）证明见详解； 【解析】 【分析】（1）由及可证为等比数列，然后根据凸数列的定义判断即可； （2）由凸数列的定义可知,进而,又,所以.结合条件②可以证明； （3）当时,，然后进行放缩即可. 【小问1详解】 因为由， 得, 即,而,所以为等比数列, ,符合凸数列要求,即数列为凸数列; 【小问2详解】 因为,所以, 故, 又, 所以. 且 故, 又, 故, 因为, 所以, 则,又,得. 所以 【小问3详解】 当时,,结论显然成立； 当时, 综上,. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $