精品解析：吉林省四校联考2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

2024~2025（上）高二年级第一次月考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若与是两条不同的直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 6. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 空间任意两个单位向量必相等 C. 正方体中，必有 D. 向量的模为 10. 已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角余弦值为 C. 平面AEF一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______． 13. 在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板三个顶点记为.现移动边，使得点分别在轴､轴的正半轴上运动，则（点为坐标原点）的最大值为__________. 14. 已知，，则最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线，，． （1）若这三条直线交于一点，求实数的值； （2）若三条直线能构成三角形，求满足的条件． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 18. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 19. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025（上）高二年级第一次月考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角. 【详解】设斜率为，倾斜角为， ∵，∴，． 故选：D． 2. 若与是两条不同直线，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行解出的值即可. 【详解】由题意，若，所以，解得或， 经检验，或时，， 则“”是“”的充分不必要条件， 故选：C． 3. 已知直线l的一个方向向量，且直线l经过和两点，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线坐标表示即可. 【详解】因为，直线的一个方向向量为， 所以有向量与向量共线， 所以，解得，， 所以， 故选：A. 4. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 5. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 C. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量，基底向量，以及直线的方向向量的定义，即可判断选项. 【详解】A：平行于平面的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确； B：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； C：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故直线上一点和方向向量确定直线，正确； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：B 6. 在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行六面体的性质结合空间向量基本定理求解即可. 【详解】因为平行六面体中，点是线段上的一点，且， 所以 ． 故选：C． 7. 如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过O作于C，过N作于D，根据等面积求出，运用在直角三角形等知识求出结果. 【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D， 因为N在直线上且在第二象限内，设， 则，又，即， 所以，在中，由三角形的面积公式得：， 所以， 在中，，所以， 即， 在中，，即， 解得：，因为N在第二象限内，所以， 所，所以， 故选：A. 8. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中正确的命题是（ ） A. 若空间向量，满足，则 B. 空间任意两个单位向量必相等 C. 在正方体中，必有 D. 向量的模为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间向量的定义以及模长即可结合选项逐一判断. 【详解】对于A，两个向量相等需要方向相同，模长相等，所以不能得到.A错误， 对于B，空间任意两个单位向量的模长均为1，但是方向不一定相同，故B错误， 对于C，在正方体中，的方向相同，长度相等，故，故C正确 对于D，向量的模为，故D正确， 故选：CD 10. 已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】AC 【解析】 【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案. 【详解】直线：和：平行，则， 两条平行直线间距离，解得且， 故0和2符合要求. 故选:AC． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，F为的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ） A. B. 向量与所成角的余弦值为 C. 平面AEF的一个法向量是 D. 点D到平面AEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量表示出，进而求出；B选项，利用空间向量夹角公式求解；C选项，利用数量积为0进行证明线线垂直，进而得到答案；D选项，利用点到直线的空间向量公式进行求解. 【详解】对于A，正方体中，，， ，所以，故A错误； 对于B，，， ，故B正确； 对于C，设，则，，而， 所以平面的一个法向量是，故C正确； 对于D，，则点D到平面AEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线，的斜率，是关于的方程的两根，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】由结合根与系数的关系可得，从而可求得的值. 【详解】因为，而且斜率存在， 所以， 又，是关于的方程的两根， 所以，解得． 故答案为： 13. 在通用技术课程上，老师教大家利用现有工具研究动态问题.如图，老师事先给学生准备了一张坐标纸及一个三角板，三角板的三个顶点记为.现移动边，使得点分别在轴､轴的正半轴上运动，则（点为坐标原点）的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，解三角形求，结合两点之间线段最短的结论求的最大值. 【详解】由已知， 如图，取的中点，因为为直角三角形，故. 由于为直角三角形，故， 显然，当且仅当三点共线时等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 14. 已知，，则最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的夹角公式可得，即可结合基本不等式求解最值. 【详解】由题意可得：， 当时，则， 因为，则，当且仅当，即时等号成立， 所以； 当时，； 综上所述：的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知直线，，． （1）若这三条直线交于一点，求实数的值； （2）若三条直线能构成三角形，求满足的条件． 【答案】（1） （2）且且 【解析】 【分析】（1）先由直线方程联立求出交点坐标，再代入直线的方程可求出， （2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形，求出的取值范围，再求出其补集即可. 【小问1详解】 由 解得代入的方程，得． 【小问2详解】 当三条直线相交于一点或其中两直线平行时，三条直线不能构成三角形． ①联立解得代入，得； ②当与平行时，， 当与平行时，． 综上所述，当且且时，三条直线能构成三角形． 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间中直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明即可； （2）利用计算可得. 【小问1详解】 直三棱柱中平面，又，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，取， 所以，即， 又平面，所以平面. 【小问2详解】 因为，设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知直线． （1）为何值时，点到直线的距离最大?并求出最大值； （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1），距离最大值； （2）面积的最小值为12，直线l的方程为3x+2y+12=0. 【解析】 【分析】（1）由题设求得直线过定点，则与定点的连线的距离就是所求最大值，根据垂直关系及求参数m； （2）设直线为，并求出A，B坐标，应用三角形面积公式、基本不等式求最小值，并写出直线方程. 【小问1详解】 已知直线，整理得， 由，故直线过定点， 点到直线的距离最大，即与定点的连线的距离就是所求最大值， 所以为最大值． ∵， ∴的斜率为，得，解得； 【小问2详解】 若直线分别与轴，轴的负半轴交于A，B两点， 则设直线为，，则，， ． （当且仅当时，取“=”）， 故面积的最小值为12，此时直线l的方程为3x+2y+12=0. 18. 如图，在棱长为3的正方体中，点是棱上的一点，且，点是棱上的一点，且． （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求直线到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）根据线面平行判定定理，结合空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问2详解】 连接，显然，因为， ． 所以，于是， 因为平面，平面， 所以平面， 因此直线到平面的距离就是点到平面的距离， 设平面的法向量为， ， 则有， ， 点到平面的距离为： . 19. 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面和平面夹角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，从而可证明. （2）分别求出平面和平面的法向量，利用向量法可求解. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 所以，设， 则，解得，即. 则， 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. 因为，设平面的一个法向量为， 所以即，令，解得， 所以平面的一个法向量为， 又，所以平面平面； 【小问2详解】 ， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以，即 令，解得， 所以平面一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则，即 令，解得，所以平面的一个法向量为. ， 所以平面和平面夹角的大小为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$