精品解析：湖北省武汉市第二中学2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题

武汉二中2024级高一数学 A卷 命题人：张鹄 审题人：左建华 2024.09.14 一、单选题（40分） 1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若集合，，则满足的实数a的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 7. 在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 二、多选题（18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 10. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 11. 定义全集子集的特征函数,这里表示在全集中的补集,那么对于集合、,下列所有正确说法是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（15分） 12. 已知集合，，，若，，则__________． 13. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 14. 对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为__________，的“大和数”为__________． 四、解答题（77分） 15. 已知集合. （1）若，求的取值范围； （2）若，求取值范围. 16 已知非空集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 已知p:关于x的方程有实数根，． （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 18. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 19. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和. （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由； （2）任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：； （3）当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值. 注：、分别表示数集中的最小数与最大数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉二中2024级高一数学 A卷 命题人：张鹄 审题人：左建华 2024.09.14 一、单选题（40分） 1. 下列关系中：①，②，③，④正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素和集合之间的关系、集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于①：因为0是的元素，所以，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以，故②正确； 对于③：因为集合元素为0，1，集合的元素为， 两个集合的元素全不相同，所以之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合的元素为，集合的元素为， 两个集合的元素不一定相同，所以不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为2. 故选：B. 2. 若集合，，则满足的实数a的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用，知，求出的值，根据集合元素的互异性舍去不合题意的值，可得答案． 【详解】因为，所以， 即或者，解之可得或或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，根据集合元素互异性可判断不成立。 所以实数a的个数为2个. 故选：B 3. 已知正实数a，b，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质以及作差法结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为，， 若，则，可得， 则，所以成立，即甲是乙的充分条件； 若，可知，则，即， 可得，即，即甲是乙的必要条件． 综上可知：甲是乙的充要条件． 故选：C． 4. 已知，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用整体的思想，将用这两个整体表示，再根据不等式的性质运算即可. 【详解】设, 即, 所以 解得, 所以 因为, 所以 所以, 即, 故选：D. 5. 已知条件，条件，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到或，根据题意得到是的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案. 【详解】由条件，解得或； 因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件， 故是或的真子集， 则的取值范围是， 故选：B． 6. 在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A. B. C. D. 整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【解析】 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 7. 在中，角的对边分别为，已知周长为3，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“”的代换，结合基本不等式求最值. 【详解】由题意得，，所以， 则， 当且仅当时，即等号成立， 故当时，取到最小值. 故的最小值为. 故选：C. 8. 记表示中最大的数．已知均为正实数，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，得，两次应用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件即可． 【详解】设，则，，， ∴，当且仅当时取等号， 又，当且仅当，即时取等号， 所以， 所以的最小值是2， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据定义得出，，，相加后基本不等式求得最小值． 二、多选题（18分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 的一个必要条件是 B. 若集合中只有一个元素，则 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. 已知集合， 则满足条件的集合N的个数为4 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解. 【详解】对于A，当时，满足，但不成立， 所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误； 对于B，当时，方程的解为， 此时集合中只有一个元素，满足题意， 当时，为一元二次方程， 则由集合中只有一个元素得，故， 所以符合题意的有两个，或，故B错误； 对于C，一元二次方程有一正一负根， 则， 所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确； 对于D，因为，所以， 又，故集合N的个数为个，故D正确. 故选：CD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 若，则函数的最小值为2 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】特殊值法判断A,特称命题的否定判断B,应用基本不等式判断C,应用恒成立得出判别式即可求参判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，命题“”的否定是“或”，故B正确； 对于C，则， 当且仅当，此时无解，故取不到等号， 所以，故C错误； 对于D，当时，恒成立， 当时，则，解得， 综上所述，，故D正确. 故选：BD. 11. 定义全集的子集的特征函数,这里表示在全集中的补集,那么对于集合、,下列所有正确说法是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用特征函数的定义知,由,对与、关系分类讨论,可得A正确;利用特征函数的定义可判断B的正误;取特殊值情况,利用定义可判断C的正误;利用集合运算与函数运算进行分类讨论可判断D的正误,综合可得出结论. 【详解】对于A:,分类讨论: ①当,则,此时; ②当,且,即,此时; ③当,且,即时,,,此时. 综上有,故A正确; 对于B:,故B正确; 对于C:假设,任取,则,则,,则,故C不正确; 对于D:(1)若,则,有三种情况: ①当时,; ②当时,; ③当且时,, 以上均满足. (2)若时,有以下4中情况, ①当且时,,; ②当且时,,; ③当时,; ④当时,, 以上均满足. 综上所述,,故D正确. 故选:ABD. 三、填空题（15分） 12. 已知集合，，，若，，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】求出集合，根据集合关系可得，求出的值，然后验证可得. 【详解】，， 因为，，所以，， 由得，即，解得或， 当时，解得，此时，不满足题意； 当时，解得，满足题意. 所以. 故答案为：4 13. 设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：__________________. 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得 ，所以 ，分类讨论当 和 时情况，即可得出结果. 【详解】由题意，得 ，所以 . 由于 中有 9 ，因此 A 中有 3 ，此时集合有共同元素1， 若 ，则 ，于是 ； 此时且 ，无正整数解； 若，集合有共同元素1和9，则， 所以 ，且，而， 所以， 当 时， ； 当 时， ； 因此满足条件的共有2个，分别为. 故答案为: 或 14. 对于一个由整数组成的集合，中所有元素之和称为的“小和数”，的所有非空子集的“小和数”之和称为的“大和数”．已知集合，则的“小和数”为__________，的“大和数”为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，求出集合中所有元素之和即为“小和数”；将集合的个子集，分为与，其中，，且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”，即可求解. 【详解】根据题意，的“小和数”为， 集合共有11个元素，则一共有个子集， 对于任意一个子集，总能找到一个子集，使得，， 且无重复，则与的“小和数”之和为的“小和数”， 这样的子集对共有个， 其中当时，，则子集对有， 则的“大和数”为. 故答案为：； 四、解答题（77分） 15. 已知集合. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】(1)根据可知，列出不等式组即可求解． (2)分和两种情况讨论即可． 【小问1详解】 ∵，∴， ∴， ∴的范围是． 【小问2详解】 (i)若，则，即，此时满足； (ii)若，则， 若，则或，解得或， ∴或； 综上，或． 16. 已知非空集合，，全集． （1）当时，求； （2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，根据条件，直接利用补集、并集的运算法则，即可求出结果；方法二，利用，利用交集运算，求出，即可求出结果. （2）根据条件得出是的真子集，再根据集合间的包含关系即可求出结果. 【小问1详解】 方法一：当时，， 所以或． 因为， 所以或， 所以或． 方法二：当时，， 故， 所以或． 【小问2详解】 因为是成立的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，或 解得或， 综上，实数a的取值范围是． 17. 已知p:关于x的方程有实数根，． （1）若命题是假命题，求实数a的取值范围； （2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是假命题，可得命题是真命题，则由，求出的取值范围； （2）由是的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为命题是假命题，则命题是真命题， 即关于的方程有实数根， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，命题是真命题，即， 因为命题是命题的必要不充分条件，则， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 18. 对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点. （1）求二次函数的不动点； （2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. （3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围. 【答案】（1）和3 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可； （2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可； （3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解. 【小问1详解】 由题意知，即，则， 解得，，所以不动点和3. 【小问2详解】 依题意，有两个不相等的正实数根， 即方程有两个不相等的正实数根， 所以，解得， 所以 ， 因，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. 【小问3详解】 由题知：， 所以，由于函数恒有不动点， 所以，即， 又因为是任意实数，所以， 即，解得，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了新定义，解题关键是把握不动点的定义，转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数、判别式来求解. 19. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集，如果，则称集合S为一个元规范数集，并定义S的范数为其中所有元素绝对值之和. （1）判断、哪个是规范数集，并说明理由； （2）任取一个元规范数集S，记、分别为其中最小数与最大数，求证：； （3）当遍历所有2023元规范数集时，求范数的最小值. 注：、分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】（1）集合A不是规范数集；集合B是规范数集； （2）证明见详解； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据元规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可； （2）利用元规范数集的定义，得到，从而分类讨论、与三种情况，结合去绝对值的方法即可证明； （3）法一：当时，证得，从而得到；当时，证得，从而得到；当时，分类讨论与两种情况，推得，由此得解； 法二：利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解. 【小问1详解】 对于集合A：因为，所以集合A不是规范数集； 对于集合B：因为， 又，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. 【小问2详解】 不妨设集合S中的元素为，即， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 当时， 则， 当且仅当且时，等号成立； 当时， 则， 当且仅当且时，等号成立； 当时， 则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. 【小问3详解】 法一： 不妨设， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 当时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即范数的最小值； 当时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立，则， 则范数， 当且仅当时，等号成立， 又， 当且仅当时，等号成立， 故，即范数的最小值； 当，使得，且， 当，即，即时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数 ； 对于，其开口向上，对称轴为， 所以， 所以范数的最小值为； 当，即，即时， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则当时，可得， 当且仅当时，等号成立， 则范数 ； 对于，其开口向上，对称轴为， 所以， 所以范数； 综上所述：范数的最小值. 法二： 不妨设， 因为S为规范数集，则，则，且，使得， 所以对于，同样有，则， 由（2）的证明过程与结论可得，，当且仅当时，等号成立， 即，，……， 所以范数 ， 当且仅当时，等号成立， 所以范数的最小值. 【点睛】关键点睛：本题解决关键是理解元规范数集的定义，得到，再将集合中的元素进行从小到大排列，利用分类与整合的思想进行讨论分析，从而得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $