河南省南阳市2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题

2023-2024学年河南省南阳市八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列各式中，计算结果等于的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组线段中，不能构成直角三角形的一组是(    ) A. 3，4，5 B. 1，，2 C. 6，8，10 D. 4，5，6 3.木工师傅将一个含45度角的三角尺和一个重锤如图放置，就能检查一根横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是(    ) A. 垂线段最短 B. 等腰三角形的“三线合一” C. 角平分线的性质定理 D. 线段垂直平分线的性质定理 4.下列各式中能用完全平方公式计算的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，根据尺规作图痕迹，判断数轴上点C所表示的数是(    ) A. B. C. D. 6.给出下列命题：①平方根与立方根相等的数只有0；②任意一个无理数的绝对值都是正数；③没有立方根；④有一个角是的三角形是等边三角形.其中真命题的个数为(    ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 7.如图，BD与CE交于O，，添加一个条件，仍不能使≌的是(    ) A. B. C. D. 8.如图所示的是某班学生一周参加体育锻炼情况的折线统计图，则下列结论错误的是(    ) A. 锻炼时间在9小时的学生最多 B. 锻炼时间在10小时的学生有10人 C. 锻炼时间在7小时的学生最少 D. 该班学生有43人 9.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，，平移距离为3，则阴影部分的面积为(    ) A. 20 B. 18 C. 15 D. 26 10.已知，P是的平分线OC上一点，若在射线OA上存在点E使是等腰三角形，则的度数不可能是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.利用因式分解计算：______. 12.  13.“数形结合”思想是一种常用的数学思想，其中“以形助数”是借助图形来理解和记忆数学公式．例如，根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是______. 14.四边形ABCD中，，垂足为点O，若，，则的值为______. 15.“如图，，点P为内一点，，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，求周长的最小值？”根据图中作图方法可以求得：周长的最小值为______，周长取最小值时______ 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题10分 因式分解： ； 17.本小题9分 就近期人们比较关注的五个话题：“毛泽东诞辰130周年、中国空间站、ChatGPT、日本核污排海、甘肃地震”，某校对全校学生进行了相关知识测试得分取整数，满分100分，该校数学实践小组随机抽查了部分学生的成绩，整理后绘制了不完整的统计图表. 分数分 人数频数 百分比 30 90 m 60 请结合图表信息，解答下列问题： 数学实践小组在这次活动中，调查的学生人数是______，表中______； 直接将频数分布直方图补充完整； 若用扇形统计图来表示抽查的这部分学生的成绩情况，求分数在的学生人数对应的扇形圆心角的度数. 18.本小题9分 先化简，再求值：，其中， 19.本小题9分 如图，一架长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的距离为 这个梯子的顶端距地面有多高？ 马小虎说“如果梯子的底部B在水平方向滑动了至D，那么梯子的顶端A也沿墙垂直下滑了”，你同意吗？请说明理由. 20.本小题9分 在数学中，我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题，例如：“若，，求的值.”这道题我们可以这样思考：逆向运用同底数幂的乘法公式，即，所以，所以 若，，请你也利用逆向思考的方法求出的值； 下面是小豫用逆向思考的方法完成的一道作业题，请你参考小豫的方法解答下面的问题： 小豫的作业 计算：； 解： ①小豫的求解方法逆用了幂的一条运算性质，请你用符号字母语言直接写出这条性质：______. ②计算： 21.本小题9分 【操作与探究】下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，请认真阅读并完成相应任务： 已知：如图1，直线l和直线l外一点 求作：直线PQ，使直线直线 作法：如图2， ①在直线l上取一点A，连接PA； ②作PA的垂直平分线MN，分别交直线l、线段PA于点B、O； ③以O为圆心，OB长为半径作弧，交直线MN于另一点Q； ④作直线PQ，则直线PQ为所求作的直线. 任务： 按照小明的设计，请你用直尺和圆规补全图2中的图形保留作图痕迹； 求证：； 请你用不同于小明的方法，在图1中过点P作出直线l的平行线要求：尺规作图，不写作法，不证明，但要保留作图痕迹 22.本小题10分 【阅读与思考】我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部的写出来，而因为，即，于是的整数部分是2，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分，故可用来表示的小数部分. 结合以上材料，回答下列问题： 的小数部分是______，的整数部分是______； 如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； 已知，其中x是整数，且，请直接写出的平方根. 23.本小题10分 【综合与探究】如图1，已知是边长为3的等边三角形，以BC为底边作一个顶角为等腰分别在边AB、AC上取点M、N，使 小宛猜想MD是的平分线，作了如下思考，如图2，延长AB至F，使，连接DF，通过证明≌______，得到，再证明≌______，即可得到 MD是的平分线； 请结合小宛的思路，完整证明他的猜想，并求出的周长； 当点D在内部时，其它条件不变，直接写出的周长. 答案和解析 1.【答案】B  【解析】解：与不是同类项，不能合并，故选项A不符合题意； B.，故选项B符合题意； C.，故选项C不符合题意； D.，故选项D不符合题意． 故选： 根据合并同类项法则，同底数幂的乘、除法运算法则，幂的乘方运算法则，对四个选项逐一计算即可． 本题考查了合并同类项，同底数幂的乘、除法运算，幂的乘方运算，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘、除法运算法则，幂的乘方运算法则是解题的关键． 2.【答案】D  【解析】解：A、，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、，此三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，此三角形不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选： 只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 本题主要考查勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． 3.【答案】B  【解析】解：木工师傅将一把三角尺和一个重锤如图放置， 当重锤经过等腰三角形的底边的中点时，就能检查出这根横梁水平，否则就不水平， 所以解释这一现象的数学知识是等腰三角形的三线合一， 故选： 根据等腰三角形的性质确定答案即可． 考查了等腰三角形的性质，了解等腰三角形的三线合一的性质是解答本题的关键，难度不大． 4.【答案】B  【解析】解：，符合平方差公式，故选项A不符合题意； B.，符合完全平方公式，故选项B符合题意； C.，符合平方差公式，故选项C不符合题意； D.，符合平方差公式，故选项D不符合题意． 故选： 根据完全平方公式和平方差公式对各选项进行判断即可． 本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：点A表示的数为3， 点A到原点的距离为3， 由图可得， 点B到原点的距离， 点C到原点的距离和点B到原点的距离相等， 点C到原点的距离为， 点C表示的数为， 故选： 由图可得AB的长度和点A到原点的长度，即可得出点B到原点的距离，即可得到答案． 本题考查实数在数轴上的应用，解题的关键是将求点C到原点的距离转化为求点B到原点的距离． 6.【答案】B  【解析】解：①平方根与立方根相等的数只有0，是真命题； ②任意一个无理数的绝对值都是正数，是真命题； ③有立方根，故本小题命题是假命题； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故本小题命题是假命题； 故选： 根据平方根和立方根的概念、绝对值、等边三角形的判定定理判断即可． 本题主要考查命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7.【答案】B  【解析】解：，， 当时，则，依据SAS即可得到≌； 当时，则和全等条件是SSA，不能判定≌； 当时，由于，则，依据ASA即可得到≌； 当时，则，依据SAS即可得到≌； 故选： 要使≌，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可． 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，添加时注意：AAA，SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：由折线统计图可知，锻炼时间在9小时的学生最多，锻炼时间在10小时的学生有10人，锻炼时间在11小时的学生最少，该班学生有人 故选： 观察折线统计图解答即可． 本题考查了折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化． 9.【答案】B  【解析】解：平移距离为3， ， ，， ， ， ， 阴影部分的面积为 故选： 由，推出即可解决问题． 本题考查了平移的基本性质，掌握①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：由已知可得， 存在三种情况，如图所示， ，P是的平分线OC上一点， ， 点E在的位置时， ， ； 点E在的位置时， ， 即； 点E在的位置时， ， 即； 由上可得的度数可能是，或， 故选： 根据题意，先画出图形，然后分别计算出的度数即可． 本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 11.【答案】800  【解析】解：， 故答案为 首先利用平方差公式分解因式，然后计算即可求解． 本题考查了因式分解在进行有理数的乘法中的运用，涉及的是平方差公式的运用，使运算简便． 12.【答案】    【解析】  13.【答案】  【解析】解：根据题意，得 故答案为： 根据大矩形的面积个小矩形的面积个小正方形的面积进行解答． 本题主要考查了多项式乘多项式．本题是操作型题目，依据题干的模式画出图形，再利用数形结合与多边形的面积解答是解题的关键． 14.【答案】20  【解析】解：， ，， 故答案为： 利用勾股定理求解即可． 本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15.【答案】8 120  【解析】解：如图所示，连接，， 根据图中作图方法可以得知，点P与点关于OB对称， ，， 同理可得，， 又， ， 是等边三角形， ， 由题可得OB垂直平分， ， 同理可得， 周长， 当，N，M，在同一直线上时，周长的最小值等于的长， 周长的最小值为8； 如图所示，当，N，M，在同一直线上时， 故答案为：8， 结合轴对称的性质，先判定是等边三角形，即可得到周长的最小值等于等边三角形的边长，以及周长取最小值时的度数． 本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称变换转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键． 16.【答案】解： ；   【解析】先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； 利用完全平方公式分解因式即可． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 17.【答案】300人  120  【解析】解：调查的学生人数是人 故答案为：300人； 补全频数分布直方图如图所示． 分数在的学生人数对应的扇形圆心角的度数为 用表格中的人数除以百分比可得调查的学生人数；用调查的学生人数乘以的百分比可得m的值． 根据所求数据补全频数分布直方图即可． 用乘以的百分比，即可得出答案． 本题考查频数率分布直方图、频数率分布表、扇形统计图，能够读懂统计图表是解答本题的关键． 18.【答案】解：原式 ， 当，时， 原式   【解析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则进行化简，然后将m、n的值代入化简后的式子计算即可． 此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确掌握相关运算法则是解题关键． 19.【答案】解：根据题意得：，， ， 答：这个梯子的顶端距地面有； 不同意，理由如下： ，， ， ， ， 梯子的顶端A沿墙垂直下滑了， 马小虎说法错误．我不同意．  【解析】根据勾股定理求出AC的长即可； 根据勾股定理求出CE的长即可推出结论． 本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：， ， ， ； ①小豫的求解方法逆用了积的乘方运算性质，即， 故答案为：； ② 逆向运用幂的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则，即可得出答案； ①逆向运算积的乘方运算法则填空即可； ②逆向运算积的乘方运算法则计算即可． 本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，熟练掌握积的乘方运算，同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 21.【答案】解：如图2所示． 证明：直线MN是线段PA的垂直平分线， ， 由作图可知，， ≌， ， 解：如图，在直线l上取一点A，作射线AP，以点A为圆心，任意线段的长为半径画弧，交直线l于点B，交AP于点C，以点P为圆心，线段AB的长为半径画弧，交AP的延长线于点D，再以点D为圆心，BC的长为半径画弧，交前弧于点Q，作直线PQ， 则直线PQ即为所求．   【解析】根据作图步骤直接作图即可． 由线段垂直平分线的性质可得，由作图可知，，可证明≌，则，结合平行线的判定可知， 结合平行线的判定按要求画图即可． 本题考查作图-复杂作图、平行线的判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 22.【答案】  1  【解析】解：， ， 的整数部分是4，小数部分是； ， ， ， ， 的整数部分是1； 故答案为：，1； ， ， 的整数部分是2，小数部分是， ， ， ， 的整数部分为6， ， ； ， ， ， 的整数部分是24，小数部分是， ，其中x是整数，且， ，， ， 的平方根是， 的平方根是 根据题干中给出的方法估算的取值范围，即可得出其小数部分；根据题干中给出的方法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可得出其整数部分； 根据题干中给出的方法分别估算、的取值范围，即可求出a、b的值，再代入要求的式子计算即可； 根据题干中给出的方法估算的取值范围，进而估算的取值范围，即可得出x、y的值，再代入要求的式子计算，求其结果的平方根即可． 本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键． 23.【答案】  【解析】解：延长AB至点F，使，连接DF，如图1， 由题意得，，， ， ， ， ， ≌， ， ，， ， ， ， ≌， ， 平分 故答案为：，； 证明：延长AB至F，使，连接DF， 由题意得，，，，， ， ， ，， ≌， ，， ，， ， ， 又DM为公共边， ≌， ， ，MD是的平分线， ，， 的周长是：； 解：延长BD交AB于P，延长CD交AC于Q，令，连接DK，如图3， 是等腰三角形，且， ，，， 是等边三角形， ， ，，，  ， 在和中， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ≌， 的周长为： 根据题干所给的思路进行证明即可； 利用全等三角形的性质求解即可； 延长BD交AB于P，延长CD交AC于Q，令，连接DK，通过证明≌≌≌证得的周长 本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$