精品解析：山东省北镇中学2024-2025学年高二上学期第二次考试(9月月考)数学试题

山东省北镇中学高69级第二次考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：袁萍萍 审核人：刘颖 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 周长的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 直线3x+4y+2=0被圆截得的弦长为____________ . 13. 点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为_____． 14. 如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，. （1）证明：； （2）若，求点B到平面的距离. 16. 已知圆C经过点且圆心C在直线上. （1）求圆C方程； （2）若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 17. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. （1）求的方程； （2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． （1）求的方程． （2）不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省北镇中学高69级第二次考试数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：袁萍萍 审核人：刘颖 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得. 【详解】因为， 所以. 故选：C 2. 已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则的范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆列式可得结果. 【详解】依题意有：，解得， 故选：A. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 4. 已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得解. 【详解】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意； 故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得， ， 有，，解得， 所以直线的方程为，即. 故选：B. 5. 已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案． 【详解】记为点，直线的斜率，直线的斜率， 因为直线l过点，且与线段相交， 结合图象，可得直线的斜率的取值范围是． 故选：B． 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，，，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率. 【详解】如下图所示：    因为的中点，且，则， 由椭圆的定义，则， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得， 即；又因， 代入整理得：，即， 解得或（舍）. 故选：C. 8. 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出线段的中点，将转化为，利用垂径定理，由图化简得，只需求的范围即可，故又转化成求过点的弦长的范围问题. 【详解】 如图，取线段的中点，连接，则， 由， 因直线经过点，考虑临界情况， 当线段中点与点重合时（此时），弦长最小，此时最长， 为，（但此时直线与轴平行，点不存在）； 当线段中点与点重合时，点与点重合，最短为0（此时符合题意）. 故的范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于结合圆的弦想到取其中点，将转化为，利用垂径定理，将所求式转化成，而求范围即求弦的长的范围即可. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程求出，由离心率定义判断A，由椭圆定义判断B，由椭圆的几何性质判断C，根据以线段为直径的圆与椭圆交点个数判断D. 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为， ，，故A错误； 由椭圆定义可知，故B正确； 由椭圆的性质知，故C正确； 易知以线段为直径的圆（因为）与C有4个交点，故满足为直角的点有4个，故D正确. 故选：BCD 10. 已知直线，圆为圆上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 圆心到直线的距离最大为4 D. 直线与圆相切时， 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系，结合距离平方型、斜率型计算即可求解. 【详解】A:圆的方程可化为，则圆心为，半径.是圆上的点， 所以的最大值，故A错误； B：如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，故B正确； C：圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，故C错误； D：直线，即，过定点， 代入圆的方程得，则定点在圆外. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离为2， 即，解得，故D正确. 故选：BD 11. 如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 周长的最小值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 平面与平面的夹角正弦值的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定三点共线时取得最小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D. 【详解】A：由题意知，，又平面， 所以平面，由平面，得； 当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点， 所以，由平面，所以平面，故A正确； B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于， 此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值， 又， 所以的周长的最小值为，故B错误； C：易知中，，取的中点，过作平面，如图 ， 则三棱锥的外接球的球心必在上，且， 所以球的半径为，其体积为，故C正确； D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为， 则，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 直线3x+4y+2=0被圆截得的弦长为____________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆的圆心和半径，再利用圆的弦长公式计算即得. 【详解】圆的圆心为，半径， 则点到直线的距离， 所以所求弦长为：. 故答案为： 13. 点是椭圆上一点，，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小为_____． 【答案】60° 【解析】 【分析】由椭圆定义结合余弦定理即可求得的大小． 【详解】由椭圆，得，，． 在△中，由椭圆定义可得， ， ， ， ， 的大小为． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质、椭圆定义及余弦定理的应用，考查方程思想和运算求解能力，属于中档题． 14. 如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用向量数量积的坐标运算得关于的函数，再求解函数最值即可. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设， 则， ， 则， 因为，所以当时，取最大值，最大值为3. 故答案为：3. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直四棱柱中，底面四边形为梯形，，，，. （1）证明：； （2）若，求点B到平面的距离. 【答案】（1） 因为，， 所以，所以， 因为为直四棱往， 所以，因为，，面， 所以面， 因为，所以面， 因为面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理可证，进一步可证，又，可得，得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到面的距离公式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）及题意知，，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，. 所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，解得，， ， 所以点B到平面的距离为. 16. 已知圆C经过点且圆心C在直线上. （1）求圆C方程； （2）若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即得； （2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得. 【小问1详解】 由题可设圆C的标准方程为，则 ， 解之得， 所以圆C的标准方程为； 【小问2详解】 设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得， 解得, 又点E在圆C：上， 所以有， 化简得：, 故所求的轨迹方程为． 17. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. （1）求的方程； （2）过作直线与交于两点，为坐标原点，若，求的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1））由离心率和焦点坐标即可求得的方程. （2）设出直线方程，将直线方程与椭圆方程联立，根据求出直线的方程. 【小问1详解】 由已知得，离心率， 得， 则的方程为. 【小问2详解】 由题可知，若面积存在，则斜率不为0， 所以设直线的方程为显然存在， ， 联立消去得， 因为直线过点，所以显然成立， 且， 因为. ， 化简得， 解得或（舍）， 所以直线的方程为或. 18. 在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 19. 已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上，下顶点所围成的三角形面积为． （1）求的方程． （2）不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为． （i）证明：直线过定点； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1）； （2） （i）由（1）知，点， 当直线l的斜率为0时，设，则，两点的坐标为， 此时，不合题意； 当直线l的斜率不为0时，设直线的方程为，设， 由消去x得：， 则， 直线与的斜率分别为，， 于是 ，整理得，解得或， 当时，直线过点，不符合题意，因此， 直线：恒过定点. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得. （2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公式，结合韦达定理推理即得；（ii）由（i）的信息，借助三角形面积建立函数关系，再求出最大值. 【小问1详解】 令椭圆的半焦距为c，由离心率为，得，解得， 由三角形面积为，得，则，， 所以的方程是. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知，， 则， 因此的面积 ，当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $