第25章 随机事件的概率（考点专练）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（华东师大版）

第25章 随机事件的概率（考点专练） 考点一 事件的分类（共4题） 1．（21-22七年级下·江西萍乡·期末）下列事件是必然事件的是(   ) A．早上的太阳从西方升起 B．打开电视机，它正在播放动画片 C．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 D．400人中有两人的生日在同一天 2． “a是实数，|a|＜0”这一事件是（  ） A．必然事件 B．不可能事件 C．不确定事件 D．随机事件 3．（2021·浙江台州·一模）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4，5．从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是（    ） A．两张卡片的数字之和等于4 B．两张卡片的数字之和等于5 C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和等于7 4．（21-22七年级下·河南平顶山·期末）下列事件中属于随机事件的是（    ） A．今天是星期一，明天是星期二 B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．抛出的篮球会下落 考点二 判断事件发生的可能性的大小（共4题） 1．（23-24七年级上·辽宁本溪·开学考试）口袋里有7个红球、3个白球和1个黄球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出（    ）的可能性最大． A．红球 B．白球 C．黄球 D．蓝球 2．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）在下面（    ）盒子中，摸到红球的可能性最大． A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）有100张卡片，分别写着1到100，从这100张卡片中任取一张，取到3的倍数的可能性和取到2的倍数的可能性相比，（    ）． A．取到3的倍数的可能性更大 B．取到2的倍数的可能性更大 C．一样大 D．无法确定 4．（2024·贵州贵阳·二模）将一个转盘分为均等的份，涂上如图所示的三种颜色，转动这个转盘时，转出可能性最小的颜色是（   ） A．红 B．绿 C．黄 D．不确定 考点三 列举随机实验的所有可能结果（共4题） 1．（2023·浙江台州·一模）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（21-22七年级下·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 3．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填， （1）请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果； （2）满足条件的填法有_____种． 6 4．（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为______． 考点四 概率的意义理解（共4题） 1．（22-23八年级上·北京·单元测试）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的可能性大小为P，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）气象预报员报道：“本市明天降雨的概率是．”这句话的意思是（    ） A．明天的时间要下雨 B．明天一定会下雨 C．明天 的时间不下雨 D．明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为，则下列说法正确的是（     ） A．连续摸奖两次，都不会中奖 B．连续摸奖两次，不会都中奖 C．只摸奖一次，也有可能中奖 D．摸奖三次，至少中奖一次 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列说法中正确的是（  ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 考点五 判断几个事件概率的大小关系（共4题） 1．（18-19八年级下·上海虹口·阶段练习）从一副扑克牌中任意抽出1张牌，抽得下列牌中的概率最大的是（   ） A．小王 B．大王 C．10 D．黑桃 2．（18-19八年级下·上海虹口·阶段练习）口袋里装有8个白球和5个黑球，从中任意取出2个球，设事件A取到的2个球都是白球和事件B取到的2个球都是黑球的概率分别为P（A）、P（B），则（   ） A．P（A）＝P（B） B．P（A）＞P（B） C．P（A）＜P（B） D．以上都有可能 3．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝）_______P（红）．（填“”“”或“”）    4．（17-18九年级·广东广州·期末）从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是__________． 考点六 关于频率与概率关系说法的正误（共4题） 1．（20-21九年级上·山西吕梁·期末）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示： 实验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（    ） A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小 B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5 C．每多抛一次，频率会更加接近0.5 D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等 2．（20-21九年级上·河南洛阳·期末）下列说法错误的是（   ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 3．（2021·浙江金华·二模）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（    ） 投篮数（次） 50 100 150 200 … 进球数（次） 40 81 118 160 … A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能为100% 4．（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 考点七 求某事件的频率（共4题） 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 3．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_______． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20 进球次数m 6 8 9 7 7 12 15 进球频率 (1)计算进球频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？ 考点八 由频率估计概率（共4题） 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（  ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 2．（2024·广东东莞·模拟预测）广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率 (精确到) 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（     ）(结果精确到0.01) A． B． C． D． 3．（2024·山西大同·二模）第十四届全国冬季运动会于2024年2月17日至27日在内蒙古自治区举办，吉祥物是蒙古彩娃——安达和赛努．数学组的同学将若干印有不同吉祥物图案的卡片（除图案不同外，其余都相同），放在一个不透明的盒子里，搅后随机摸出一张卡片，记下图案后放回，搅匀后再摸……如此重复．若重复1000次“摸卡”试验后，发现其中有250次摸到安达，则第251次摸到赛努的概率为________． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试） “六⋅一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．中正确的是________．    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 考点九 用频率估计概率的综合应用（共4题） 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据： 抽奖总次数次 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299 中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30 (1)填空：_________，________． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1） 3．（23-24八年级下·江苏常州·期中）气象部门统计了某地130年冬季的平均气温，结果如下： 平均气温/℃ 年数 1 1 1 2 2 2 2 3 8 6 平均气温/℃ 0 1 2 3 4 年数 14 21 15 12 15 10 9 2 2 2 (1)该地区冬季的平均气温为多少摄氏度的年数最多？ (2)该地区冬季的平均气温在的频数是多少？频率是多少（精确到0.1）？ (3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是多少？ 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某种油菜籽在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽粒数m 65 111 a 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 B (1)填空：_____，_____； (2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率． 考点十 简单概率的计算（共4题） 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，是某小区地下车库示意图．A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够形成图形镶嵌的概率是_______． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）小明同学有长度和的两条线段，再从下列长度：、、、、、的六根木棒，他从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是_______． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 考点十一 根据概率作判断（共4题） 1．（22-23七年级下·山东济南·期末）小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．    (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）一个不透明的袋子中装有5个红球、7个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到球的可能性大； (2)如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 3．（2024·陕西榆林·一模）【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展了一次“测还花生仁长轴长度”的实践活动． 【实践发现】 同学们从市场上销售的两个品种的花生仁中各随机抽取粒，测量它们的长轴长度（如图①，并将测荲结果绘制成如下统计图（如图②．（单位：） 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 品种花生仁的长轴长度 品种花生仁的长轴长度 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______； （2）现有一粒花生仁的长轴长度为，那么这粒花生仁是______品种的可能性较大；（填“”或“”） （3）学校食堂准备从两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁的大小（长轴长度）要均匀，请问食堂应该选购哪个品种的花生仁？并说明理由． 4．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 考点十二 已知概率求数量（共4题） 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 (1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______； (2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 4．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 考点十三 几何概率（共4题） 1．（2024·湖北·模拟预测）小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表 总点数 10 20 40 100 阴影部分点数 4 11 23 47 若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（    ） A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8 2．（23-24七年级下·全国·期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A． B． C． D．1 3．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为_______． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是_______． 考点十四 列举法求概率（共4题） 1．（23-24九年级下·河南漯河·开学考试）小宁书桌的抽屉有两层，每层都有一把锁，现在小宁手中有三把钥匙，其中有两把钥匙能开书桌的两层抽屉的锁（一把钥匙只能开一把锁），从中随机选取两把钥匙，则恰好一次性（不能试）打开这两把锁的概率是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为________． 3．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上． 将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是＿＿． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为，3，，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为，1，5．先从甲袋中随机取出一张卡片，用a表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用b表示取出的卡片上标的数值，把a、b分别作为点A的横坐标、纵坐标，反比例函数的图象过点A． (1)用列表法写出点的所有的情况； (2)求使反比例函数的图象在第一、三象限的概率． 考点十五 游戏的公平性（共4题） 1．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）为迎接党的二十大胜利召开，银川市组织了形式多样的主题教育，我校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．      (1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为度． (2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人． (3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？ 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，现有一个转盘被均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”，则这15次中转出数字“5”的频率是______； (2)小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的数字是3的倍数，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 4．（2024九年级下·云南·专题练习）如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的盘被等分成个扇形，小亮转动的盘被等分成个扇形，两人分别转动转盘一次．    （1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色）； （2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第25章 随机事件的概率（考点专练） 考点一 事件的分类（共4题） 1．（21-22七年级下·江西萍乡·期末）下列事件是必然事件的是(   ) A．早上的太阳从西方升起 B．打开电视机，它正在播放动画片 C．车辆随机经过一个路口，遇到红灯 D．400人中有两人的生日在同一天 【答案】D 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型，逐一判断即可． 【详解】解：早上的太阳从东方升起，故A选项是不可能事件，故A选项错误； 打开电视机，它有可能正在播放动画片，故B选项是随机事件，故B选项错误； 车辆随机经过一个路口，可能遇到红灯，故C选项是随机事件，故C选项错误； 因为一年最多有366天，则400人中有两人的生日在同一天是必然事件，故D选项正确， 故选：D． 【点评】本题考查了必然事件，解题的关键是掌握随机事件、必然事件和不可能事件的概念，能根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型． 2． “a是实数，|a|＜0”这一事件是（  ） A．必然事件 B．不可能事件 C．不确定事件 D．随机事件 【答案】B 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：∵a是实数，|a|≥0总成立， ∴“a是实数，|a|＜0”这一事件是不可能事件， 故选：B． 【点评】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 3．（2021·浙江台州·一模）有四张背面完全相同的卡片，正面分别标有数字2，3，4，5．从中任意抽取两张，则下列事件为不可能事件的是（    ） A．两张卡片的数字之和等于4 B．两张卡片的数字之和等于5 C．两张卡片的数字之和等于6 D．两张卡片的数字之和等于7 【答案】A 【分析】根据事件发生的可能性进行判断即可． 【详解】解：A、两张卡片的数字之和等于4，是不可能事件，故此选项符合题意； B、两张卡片的数字之和等于5，是随机事件，故此选项不符合题意； C、两张卡片的数字之和等于6，是随机事件，故此选项不符合题意； D、两张卡片的数字之和等于7，是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．（21-22七年级下·河南平顶山·期末）下列事件中属于随机事件的是（    ） A．今天是星期一，明天是星期二 B．从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球 C．掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 D．抛出的篮球会下落 【答案】C 【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义，即可解答． 【详解】解：A、今天是星期一，明天是星期二是必然事件，故本选项不符合题意； B、从一个装满红球的袋子里摸出了一个白球是不可能事件，故本选项不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上是随机事件，故本选项符合题意； D、抛出的篮球会下落是必然事件，故本选项不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了随机事件，必然事件，不可能事件，解题的关键是熟掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义，一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 考点二 判断事件发生的可能性的大小（共4题） 1．（23-24七年级上·辽宁本溪·开学考试）口袋里有7个红球、3个白球和1个黄球，球除颜色外完全相同，从中任意摸出1个球，那么摸出（    ）的可能性最大． A．红球 B．白球 C．黄球 D．蓝球 【答案】A 【分析】本题考查了事件可能性的大小，掌握事件发生的可能性大小的判定方法是解题的关键． 【详解】解：共有球， ∵红球的个数大于白球的个数，红球的个数大于黄球的个数，白球的个数大于黄球的个数，即红球的个数最多， ∴摸出红球的可能性最大， 故选：A ． 2．（23-24七年级上·山东青岛·开学考试）在下面（    ）盒子中，摸到红球的可能性最大． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查可能性大小的判断，不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关． 【详解】解：A选项，摸到红球的可能性； B选项，摸到红球的可能性； C选项，摸到红球的可能性； D选项，摸到红球的可能性0； 根据上面的分析，在上面A盒子中，摸到红球的可能性最大． 故选：A． 3．（22-23七年级上·江苏苏州·开学考试）有100张卡片，分别写着1到100，从这100张卡片中任取一张，取到3的倍数的可能性和取到2的倍数的可能性相比，（    ）． A．取到3的倍数的可能性更大 B．取到2的倍数的可能性更大 C．一样大 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据题意，找出3的倍数的个数，2的倍数的个数，然后比较即可．本题考查了可能性大小的判断，掌握不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越大，可能性越大，反之则越小是解题的关键． 【详解】解：根据题意可知，1到100，从这100张卡片中 3的倍数有33个，2的倍数有50个， ∴取到2的倍数的可能性更大． 故选：B． 4．（2024·贵州贵阳·二模）将一个转盘分为均等的份，涂上如图所示的三种颜色，转动这个转盘时，转出可能性最小的颜色是（   ） A．红 B．绿 C．黄 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 找到份数最少的颜色即可． 【详解】∵转一次，总共有种结果，而转出红色区域的结果有种，转出绿色区域的结果有种，转出黄色区域的结果有种； ∴转出黄色的可能性最小． 故选：C． 考点三 列举随机实验的所有可能结果（共4题） 1．（2023·浙江台州·一模）某娱乐设施每次能够容纳4人一组进场游玩，甲、乙、丙、丁排队等候，甲前面有若干人，乙排在甲后面，中间隔着2人，丙排在乙后面，中间隔着1人，丁排在丙后面，中间隔着1人，丁后面也有若干人．下列说法：①如果甲和乙同一组，那么丙和丁也同一组；②如果甲和乙不同一组，那么丙和丁也不同一组；③如果丙和丁同一组，那么甲和乙也同一组；④如果丙和丁不同一组，那么甲和乙也不同一组．正确的个数为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，列出这8个人的位置，然后根据题意逐项分析即可求解． 【详解】解：依题意，设中间隔着的人用代替，则排序为： 甲，，，乙，，丙，，丁 ①若分组为(甲，，，乙)，(，丙，，丁)，故①正确； ②若分组为……甲)，(，，乙，)，(丙，，丁，……，故②错误， ③由②可知③错误， ④依题意，分组为：甲，)， (，乙， ，丙)，(，丁，……， 或甲，，，(乙， ，丙， )，(丁，……， 故④正确， 故选：B． 【点评】本题考查了推理，列举法求试验结果，根据题意举出反例或列举是解题的关键． 2．（21-22七年级下·北京昌平·期末）在一次数学活动课上，王老师将1～8共八个整数依次写在八张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲、乙、丙、丁四位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：12；乙：11；丙：9；丁：4，则拿到数字5的同学是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据两数之和结果确定，对两个加数的不同情况进行分类讨论，列举出所有可能的结果后，再逐一根据条件进行推理判断，最后确定出正确结果即可． 【详解】解：由题意可知，一共八张卡片八个数，四个人每人两张卡片， ∴每人手里的数字不重复． 由甲：12，可知甲手中的数字可能是4和8，5和7； 由乙：11，可知乙手中的数字可能3和8；4和7，5和6； 由丙：9，可知丙手中的数字可能是1和8，2和7，3和6，4和5； 由丁：4，可知丁手中的数字可能是1和3， ∴丁只能是1和3， 因为甲手中的数字可能是4和8，5和7； 所以乙不能是4和7，则只能是5和6， 故选B． 【点评】本题考查了列举所有可能性，关键是把所有可能的结果列举出来，再进行推理． 3．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）现有1，2，3，…，9九个数字，甲、乙两位同学轮流从中选出一个数字，从左至右依次填入下面所示的表格中（表中已出现的数字不再重复使用），每次填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字．如图，若表中第一个数字是6，甲先填， （1）请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果； （2）满足条件的填法有_____种． 6 【答案】 【分析】根据填数时，甲会选择填入后使表中现有数据平均数最大的数字，可知，甲每次都会选最大的数字；再根据乙选择数字的方法判断满足条件的填法即可． 【详解】解：甲会选择填入后使表中现有数据平均数最小的数字，表中第一个数字是，甲先填， 第二个数字为，第四个数字为， 乙会选择填入后使表中现有数据中位数最小的数字． 第三个数字可以为，，，，，第五个数字可以为，，，，且不能与第三个数字相同，即第三个数字有种选法，第五个数字有种选法， 满足条件的填法有种，表中空白处可以为． 故答案为：， 【点评】本题考查平均数，中位数的定义，列举法，解题的关键是理解甲选数字的方法，乙选数字的方法，根据其选数字的方法知道其所选数字． 4．（2024九年级·江苏南通·专题练习）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行．其吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人．三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”．某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿者扮演吉祥物和同学们合影留念．甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则不同的站法种数为_______． 【答案】12 【分析】本题考查列举法所有等可能情况，把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为，共有六种站法，再利用插空法即可求解，掌握例举法是解题的关键． 【详解】解：把三个吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”分别标记为， 则将三个吉祥物进行排列，有： ，，，，，， 共种站法， 再将甲乙进行插空，因为甲乙不相邻，且甲乙均不站在两端，则有： ，，，，， 共有种不同的站法， 故答案为：12． 考点四 概率的意义理解（共4题） 1．（22-23八年级上·北京·单元测试）“14人中至少有2人在同一个月过生日”这一事件发生的可能性大小为P，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率的初步认识，确定此事件为必然事件是解题的关键．根据不可能事件的概率为，随机事件的概率大于而小于，必然事件的概率为1，即可判断． 【详解】解：∵一年有12个月，14个人中有12个人在不同的月份过生日，剩下的两人不论哪个月生日，都和前12人中的一个人同一个月过生日 ∴“14人中至少有2人在同一个月过生日”是必然事件， 即这一事件发生的概率为． 故选：C． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）气象预报员报道：“本市明天降雨的概率是．”这句话的意思是（    ） A．明天的时间要下雨 B．明天一定会下雨 C．明天 的时间不下雨 D．明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨 【答案】D 【分析】本题考查概率的意义，随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．概率表示随机事件发生的可能性的大小． 由题意根据概率表示某事情发生的可能性的大小可得答案． 【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得： 本市明天降雨的概率是，这句话的意思是明天下雨的可能性是，但也有可能不下雨． 故选：D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为，则下列说法正确的是（     ） A．连续摸奖两次，都不会中奖 B．连续摸奖两次，不会都中奖 C．只摸奖一次，也有可能中奖 D．摸奖三次，至少中奖一次 【答案】C 【分析】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．直接利用概率的意义分析得出答案． 【详解】某商场利用摸奖开展促销活动，中奖率为， A、连续摸奖两次，可能会中奖，故此选项错误； B、连续摸奖两次，有可能都会中奖，故此选项错误； C、只摸奖一次，也有可能中奖，正确； D、摸奖三次，有可能都不中奖，故此选项错误． 故选C． 4．（2024·湖北武汉·模拟预测）下列说法中正确的是（  ） A．事件发生的可能性越大，它的概率越接近 B．天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半的时间在下雪 C．彩票中奖的机会是，买张一定会中奖 D．“从一个只有红球的袋子里摸出白球”是随机事件 【答案】A 【分析】本题考查随机事件、概率的意义，掌握随机事件和概率的意义是正确判断的前提． 根据随机事件和概率的意义依次判断即可． 【详解】解：A. 事件发生的可能性越大，它的概率越接近，说法正确； B. 天气预报说每天下雪的概率是，所以明天将有一半可能下雪，原说法错误； C. 彩票中奖的机会是，买张不一定会中奖，原说法错误； D. “从一个只有红球的袋子里摸出白球”是不可能事件，原说法错误； 故选：A． 考点五 判断几个事件概率的大小关系（共4题） 1．（18-19八年级下·上海虹口·阶段练习）从一副扑克牌中任意抽出1张牌，抽得下列牌中的概率最大的是（   ） A．小王 B．大王 C．10 D．黑桃 【答案】D 【分析】根据“总情况数一定，事件包含的情况数越多，概率越大”进行解题即可 【详解】扑克牌一共有54张，小王一张，大王一张，4张10，13张黑桃，所以抽到黑桃的概率最大. 【点评】本题考查概率的比较，总情况数一定，比较事件包含情况数的大小即可得到概率的大小 2．（18-19八年级下·上海虹口·阶段练习）口袋里装有8个白球和5个黑球，从中任意取出2个球，设事件A取到的2个球都是白球和事件B取到的2个球都是黑球的概率分别为P（A）、P（B），则（   ） A．P（A）＝P（B） B．P（A）＞P（B） C．P（A）＜P（B） D．以上都有可能 【答案】B 【分析】根据“总情况数一定，事件包含的情况数越多，概率越大”进行解题即可 【详解】共13个球，白球的数量最多，所以取到2个白球的概率比较大，即P（A）＞P（B），故选B 【点评】本题考查概率的比较，总情况数一定，比较事件包含情况数的大小即可得到概率的大小 3．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被涂成蓝、红两种颜色，任意转动转盘一次，则P（蓝）表示指针停留在蓝色区域的可能性，P（红）表示指针停留在红色区域的可能性，则P（蓝）_______P（红）．（填“”“”或“”）    【答案】 【分析】先求出蓝色区域的圆心角为，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可得红色区域的圆心角为，蓝色区域的圆心角为，蓝色区域的面积大于红色区域的面积，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了可能性大小的判断，解题的关键是求出蓝色区域的圆心角，得出蓝色区域的面积大于红色区域的面积． 4．（17-18九年级·广东广州·期末）从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是__________． 【答案】③抽到梅花． 【分析】根据概率公式先求出各自的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】∵一副扑克牌有54张，王牌有2张，抽到王牌的可能性是； Q牌有4张，抽到Q牌的可能性是； 梅花有13张，抽到梅花牌的可能性是； ∴概率最大的是抽到梅花； 故答案为③抽到梅花． 【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 考点六 关于频率与概率关系说法的正误（共4题） 1．（20-21九年级上·山西吕梁·期末）历史上，数学家们曾做过好多次抛掷硬币的试验，其中一些试验结果如下表所示： 实验者 抛掷次数 “正面向上”的次数 “正面向上”的频率 棣莫弗 2048 1061 0.5181 布丰 4040 2048 0.5069 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 则关于抛掷硬币的试验，下列说法正确的是（    ） A．随着抛掷次数的增加，频率在0.5附近摆动的幅度越来越小 B．随着抛掷次数的增加，频率等于0.5 C．每多抛一次，频率会更加接近0.5 D．无论抛掷多少次，频率与概率都不可能相等 【答案】A 【分析】根据5位学者的试验结果，确定随着试验次数增加频率的稳定值，估计正面向上的概率，即可得出答案． 【详解】解：由上表可知，抛掷硬币试验中，正面向上的频率在0.5附近摆动，且随着n的增加，摆动幅度越来越小，可知正面向上的概率为0.5，只有A选项正确； 故选A． 【点评】本题考查了利用频率估计概率，比较简单． 2．（20-21九年级上·河南洛阳·期末）下列说法错误的是（   ） A．随着试验次数的增多，某一事件发生的频率就会不断增大 B．一个事件在试验中出现的次数越多，频数就越大 C．试验的总次数一定时，频率与频数成正比 D．频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度 【答案】A 【分析】直接利用频数与频率的定义分析得出答案． 【详解】A、随着试验次数的增多，某一事件发生的频率不会改变，故原说法错误，符合题意； B、一个事件A试验中出现的次数越多，频数就越大，正确，不合题意； C、试验的总次数一定时，频率与频数成正比，正确，不合题意； D、频数与频率都能反映一个事件出现的频繁程度，正确，不合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了频数与频率，正确掌握相关定义是解题关键． 3．（2021·浙江金华·二模）校篮球队员小亮训练定点投篮以提高命中率，下表是小亮一次训练时的进球情况，其中说法正确的是（    ） 投篮数（次） 50 100 150 200 … 进球数（次） 40 81 118 160 … A．小亮每投10个球，一定有8个球进 B．小亮投球前8个进，第9、10个一定不进 C．小亮比赛中的投球命中率一定为80% D．小亮比赛中投球命中率可能为100% 【答案】D 【分析】根据概率的知识点判断即可； 【详解】小亮每投10个球，不一定有8个球进，故错误； 小亮投球前8个进，第9、10个不一定不进，故错误； 小亮比赛中的投球命中率可能为80%，故错误； 小亮比赛中投球命中率可能为100%，故正确； 故答案选D． 【点评】本题主要考查了概率的相关知识点，准确判断是解题的关键． 4．（22-23九年级上·广东潮州·期末）下列说法正确的是（    ）． A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为 C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 【答案】D 【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项． 【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意； B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意； C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意； D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了利用频率估计概率、随机事件、概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率可以估计概率． 考点七 求某事件的频率（共4题） 1．（22-23九年级上·河南南阳·期末）在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用频率频数总次数，进行计算即可解答．本题考查了频数与频率，熟练掌握频率频数总次数是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 2．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）两个同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（    ） A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率 B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率 C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率 D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率 【答案】C 【分析】本题考查频率的计算，根据频数、频率的定义，确定各选项中，符合条件的对象的频率，作出判断． 【详解】解：根据统计图可知，试验结果在附近波动， A．掷一枚质地均匀的骰子，出现3点朝上的频率约为，不合题意； B．小华去看电影，他买的电影票座位号是2的倍数的频率为，不合题意； C．从分别标有、3、0、2、、的6张纸条中，随机抽出一张，抽到负数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为，不合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级上·四川宜宾·期末）八年级2班有50名学生参加学校篮球社团、羽毛球社团和扎染社团，其中参加篮球社团与参加羽毛球社团的频数之和为35，则八年级2班学生参加扎染社团的频率是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用、频率的概念等知识点，根据题意列出代数式即可解答． 先求出参加扎染社团的学生数，然后除以全班总人数即可解答． 【详解】解：参加扎染社团的学生数为：， 八年级2班学生参加扎染社团的频率是．故答案为． 4．（23-24九年级上·全国·单元测试）某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下： 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20 进球次数m 6 8 9 7 7 12 15 进球频率 (1)计算进球频率； (2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？ 【答案】(1)见解析；(2)0.75 【分析】本题考查利用频率估计概率： （1）利用进球次数除以投篮次数，进行求解即可； （2）利用频率估算概率即可． 【详解】（1）解：利用进球次数除以投篮次数，填表如下： 投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20 进球次数m 6 8 9 7 7 12 15 进球频率 0.75 0.8 0.75 0.78 0.7 0.75 0.75 （2）由表格可知：进球的概率是0.75． 考点八 由频率估计概率（共4题） 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（  ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410 A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410 【答案】D 【分析】本题考查了根据评率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解． 【详解】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于，故选：D ． 2．（2024·广东东莞·模拟预测）广东的气候适合很多花卉的生长，某大型花卉研究中心为了测试某种花的种子在一定条件下的发芽率，做了大量的种子发芽实验，得到如下的统计数据： 实验种子数量n/颗 100 200 500 1000 2000 5000 发芽种子数量m/颗 93 188 473 954 1906 4748 种子发芽的频率 (精确到) 则任取一粒种子，估计它能发芽的概率为（     ）(结果精确到0.01) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查频率估计概率，读懂表格是关键．根据表格即可求出． 【详解】解：由表格可得：随着实验种子数量的增加，其发芽的频率稳定在左右，即估计它能发芽的概率为，故选：C． 3．（2024·山西大同·二模）第十四届全国冬季运动会于2024年2月17日至27日在内蒙古自治区举办，吉祥物是蒙古彩娃——安达和赛努．数学组的同学将若干印有不同吉祥物图案的卡片（除图案不同外，其余都相同），放在一个不透明的盒子里，搅后随机摸出一张卡片，记下图案后放回，搅匀后再摸……如此重复．若重复1000次“摸卡”试验后，发现其中有250次摸到安达，则第251次摸到赛努的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．首先得到摸到安达的频率为，估计摸到安达的概率为，进而求解即可． 【详解】∵重复1000次“摸卡”试验后，发现其中有250次摸到安达， ∴摸到安达的频率为 ∴估计摸到安达的概率为 ∴摸到赛努的概率为 ∴第251次摸到赛努的概率为． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·全国·单元测试） “六⋅一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动．顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据．下列说法：①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70；②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70；③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次；④转动转盘10次，一定有3次获得文具盒．中正确的是________．    转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 560 690 落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69 【答案】①②③ 【分析】本题考查了利用频率估计概率，注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．根据图表可求得指针落在铅笔区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得文具盒． 【详解】解：由表格可知频率稳定在0.7左右， ①当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，正确； ②假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70，正确； ③如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有次，正确； ④随机事件，结果不确定，故④错误， 故答案为：①②③． 考点九 用频率估计概率的综合应用（共4题） 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）某购物商场为促进顾客消费，特设一可自由转动的转盘．顾客凡购物满200元，即有机会转动转盘一次．转盘分为多个区域，每个区域对应不同的优惠券．下表是活动进行中的一组统计数据（结果精确到0.001）： 转动转盘的次数n 50 100 150 200 500 800 1000 2000 落在“减免20元券”区域的次数m 19 39 55 81 b 318 403 800 落在“减免20元券”区域的频率为 a 0.390 0.367 0.405 0.39 0.398 0.403 0.400 请根据表格完成以下问题： (1)______； (2)上表中，当转动转盘的次数为500时，落在“减免20元券”区域的频率被墨迹遮挡了部分数字，请估计b的值是______（填写一个值）； (3)落在“减免20元券”区域的频率的变化有什么规律？ (4)请估计落在“减免20元券”区域的概率是______． 【答案】(1)；(2)；(3)频率的变化稳定在附近；(4) 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据频率频数总数，计算即可得出答案； （2）由频数乘以频率即可得到答案； （3）利用频率估计概率求解即可． （4）由稳定的频率可得概率 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：落在“减免20元券”区域的频率的变化稳定在附近； （4）解：估计落在“减免20元券”区域的概率是 2．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据： 抽奖总次数次 100 150 200 800 1000 抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299 中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30 (1)填空：_________，________． (2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1） 【答案】(1)63；；(2)估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是 【分析】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可． （1）根据频率和总数求出a的值即可；根据频数和总数求出频率b即可； （2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是． 3．（23-24八年级下·江苏常州·期中）气象部门统计了某地130年冬季的平均气温，结果如下： 平均气温/℃ 年数 1 1 1 2 2 2 2 3 8 6 平均气温/℃ 0 1 2 3 4 年数 14 21 15 12 15 10 9 2 2 2 (1)该地区冬季的平均气温为多少摄氏度的年数最多？ (2)该地区冬季的平均气温在的频数是多少？频率是多少（精确到0.1）？ (3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是多少？ 【答案】(1)该地区冬季的平均气温为摄氏度的年数最多；(2)该地区冬季的平均气温在的频数是91，频率是0.7；(3)该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是0.7 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据统计表即可得出答案； （2）根据统计表即可得出频数，再计算频率即可； （3）利用频率估计概率即可． 【详解】（1）根据表中数据可得，该地区冬季的平均气温为摄氏度的年数最多； （2）该地区冬季的平均气温在的频数是， 频率是； （3）该地区冬季的平均气温在的概率的估计值是0.7． 4．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某种油菜籽在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 每批粒数n 100 150 200 500 800 1000 发芽粒数m 65 111 a 345 560 700 发芽的频率 0.65 0.74 0.68 0.69 0.70 B (1)填空：_____，_____； (2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率． 【答案】(1)136，0.70；(2)任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率为0.7 【分析】本题主要考查了频数与频率分布表，用频率估计概率： （1）根据频率等于频数除以总数进行求解即可； （2）根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值进行求解即可． 【详解】（1）解；由题意得，， 故答案为：136；； （2）解：由表格中的数据可知，随着试验次数的增加，这种油菜籽发芽的频率逐渐稳定在左右， ∴任取一粒油菜籽，估计它发芽的概率为0.7． 考点十 简单概率的计算（共4题） 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，是某小区地下车库示意图．A为入口，B，C，D，E为出口，王师傅从入口进入后，随机任选一个出口驶出，则王师傅恰好从D出口驶出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．直接利用概率公式即可得答案． 【详解】解：有、、、四个不同的出口， 王师傅恰好从出口驶出的概率为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川成都·开学考试）我们知道：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．那么从若干正三角形，正四边形，正五边形，正六边形中，只选择一种正多边形进行拼接，能够形成图形镶嵌的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查有关概率公式、镶嵌（密铺）的题目．若公共顶点上几个角的度数和正好等于，则已知图形可以密铺平面；否则不能密铺． 【详解】解：因为正三角形的每个内角为，所以可以进行拼接； 因为正四边形的每个内角为，所以可以进行拼接； 因为正五边形的每个内角为，不是整数，所以不能进行拼接； 因为正六边形中的每个内角为，所以可以进行拼接． 所以只选择一种正多边形进行拼接，能够镶嵌的概率是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）小明同学有长度和的两条线段，再从下列长度：、、、、、的六根木棒，他从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查概率知识在实际问题中的应用，三角形三边关系定理．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．根据构成三角形的条件，找到条件成立的线段的条数，计算概率即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系，长度和的两条线段，第三边应满足大于而小于， ∴第三边的长度可以是：、、， ∴、、、、、的六根木棒中，共2种情况满足， 故能钉成三角形相框的概率是． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）小明利用质地均匀的骰子和小颖做游戏，规则如下： ①两人同时做游戏，各自掷一枚骰子，每人可以只掷一次骰子，也可以连续地掷几次骰子； ②当掷出的点数和不超过时，如果决定停止掷，那么你的得分就是所掷出的点数和；当掷出的点数和超过时，必须停止掷，并且你的得分为； ③比较两人的得分，谁的得分多谁就获胜． 在一次游戏中，小颖连续投掷两次，掷出的点数分别是，．小明也是连续投掷两次，掷出的点数分别是，．请问： (1)如果小颖继续掷，点数和不超过的概率是_____； (2)如果你是小明，你是决定继续掷还是决定停止掷？为什么？（请通过计算说明） (3)在做游戏的过程中，你认为该如何决定继续掷骰子还是停止掷骰子？ 【答案】(1)；(2)停止掷，理由见解析；(3)见解析 【分析】本题主要考查简单的概率计算，确定所需情况数和掌握概率公式是解答本题的关键． （1）根据当前已掷出的点数和，即可求得小颖继续掷时，点数和不超过的概率； （2）分别计算出点数和超过和不超过的概率，比较大小即可解题； （3）根据已掷出的点数和前面掷的人的结果综合考虑来决定是否继续掷即可． 【详解】（1）解：由题可知：小颖已掷出的点数和为， 再掷一次，只有掷出点时，其点数和才会超过， 小颖继续掷，点数和不超过的概率是， 故答案为：； （2）解：停止掷； 理由如下： 小明前两次掷出的点数和是，若再掷一次，点数为，时，得分为 或 （小明得分或）； 点数为，，，时．得分为， （小明得分）． ， 停止掷． （3）解：一般来说，当前面掷出的点数和不超过时，应该继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择继续掷； 当前面掷出的点数和在-之间时，可以选择停止掷； 当前面掷出的点数和为时，应该停止掷． 当然，如果你在后面掷，还要视前面掷的人的结果来决定是否继续掷． 考点十一 根据概率作判断（共4题） 1．（22-23七年级下·山东济南·期末）小蒙设计一个抽奖游戏：如图，宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，每个方格最多能放一个奖品．    (1)如果随机打开一个方格，获得奖品的概率是___________． (2)为了增加趣味性，小蒙优化了这个游戏．小雨参加游戏，第一次没有获得奖品，但是呈现了数字，如图．小蒙解释，这说明与这个方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，进行第二次抽奖，小雨将有两种选择，打开区域中的小方格，或者打开区域外的小方格．为了尽可能获得奖品，你建议小雨如何选择？请说明理由． 【答案】(1)；(2)选择打开区域A中的小方格，理由见解析 【分析】（1）根据宝箱由个方格组成，方格中随机放置着个奖品，列式计算概率即可； （2）根据方格相邻的个方格（即区域）中有两个放置了奖品，计算打开区域中的小方格获奖的概率；根据区域中有两个放置了奖品，计算出区域外的小方格放置了个奖品，再计算出区域外的小方格的总数，即可计算打开区域外的小方格获奖的概率．比较二者概率大小，选择概率大的即可． 【详解】（1），方格中随机放置着个奖品， ，故答案为： （2）（打开区域中的小方格）， （打开区域外的小方格）， ， ∴打开区域中的小方格获得奖品的概率更大，故选择打开区域中的小方格． 【点评】本题考查了概率的计算、判断概率大小作选择，理解掌握概率的计算是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·期中）一个不透明的袋子中装有5个红球、7个黑球，这些球除颜色外都相同． (1)若从中任意摸出一个球，则摸到球的可能性大； (2)如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 【答案】(1)黑；(2)放4个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同 【分析】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大； （2）设放x个红球，则放个黑球，根据摸到红球和摸到黑球的概率相同，即都为列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在一个不透明的袋子中装有5个红球和7个黑球， ∴从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为，摸到红球的概率为， ∵， ∴摸到黑球的可能性大， 故答案为：黑； （2）解：放4个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 理由如下： 设放x个红球，则放黑球， ∵摸到红球和摸到黑球的可能性相同， ∴， 解得， ∴， ∴放4个红球，放2个黑球，才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同． 【点评】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量，熟知概率计算公式是解题的关键． 3．（2024·陕西榆林·一模）【问题情境】 数学活动课上，老师带领同学们开展了一次“测还花生仁长轴长度”的实践活动． 【实践发现】 同学们从市场上销售的两个品种的花生仁中各随机抽取粒，测量它们的长轴长度（如图①，并将测荲结果绘制成如下统计图（如图②．（单位：） 【实践探究】 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 品种花生仁的长轴长度 品种花生仁的长轴长度 【问题解决】 （1）上述表格中：______，______； （2）现有一粒花生仁的长轴长度为，那么这粒花生仁是______品种的可能性较大；（填“”或“”） （3）学校食堂准备从两个品种的花生仁中选购一批做配菜食材，根据菜品质量要求，花生仁的大小（长轴长度）要均匀，请问食堂应该选购哪个品种的花生仁？并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）食堂应该选购A品种的花生仁； 【分析】本题考查求中位数，众数，方差，利用中位数，众数方差作，求概率： （1）根据最中间的数是中位数，出现次数最多的数是众数直接求解即可得到答案； （2）根据长轴长度为的概率判断即可得到答案； （3）根据方差比较即可得到答案； 【详解】解：（1）由折线图可得， ，B中出现的次数最多，故， 故答案为：，； （2）由折线图得， ，， ∴， ∴这粒花生仁是品种的可能性较大， 故答案为：B； （3）由折线图得， ， ∵， ∴食堂应该选购A品种的花生仁． 4．（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 【答案】(1)0.6；(2)3；(3)再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用频率估计概率； （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.6，据此可得答案； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算即可； （3）只要黄球的个数大于白球的个数时即可，答案不唯一． 【详解】（1）当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2）可估计摸到白球的概率为0.6， （只， 答：估算口袋中白球有3只； （3）由（2）可知白球有3只，黄球有2只， 再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）． 考点十二 已知概率求数量（共4题） 1．（23-24九年级上·四川宜宾·期末）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查随机事件与概率以及概率的应用，运用概率公式即可计算. 【详解】解：口袋中小球的总数为：个， 故选C. 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）一个不透明袋子中装有红、黄、绿三种颜色的球共60个，它们除颜色外都相同．已知其中黄球个数是绿球个数的4倍，从袋中摸出一个球是红球的概率为． (1)分别求红球和绿球的个数． (2)求从袋中随机摸出一球是绿球的概率． (3)从袋中拿出12个黄球，将剩余的球搅拌均匀，求从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 【答案】(1)红球有20个，绿球有8个；(2)；(3) 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）根据红、黄、绿三种颜色球共有的个数乘以红球的概率即可求得红球的个数，设绿球有x个，则黄球有个，根据球的总个数列出方程求出x的值即可得； （2）用绿球的个数除以总的球数即可； （3）先求出从袋中拿出12个黄球还剩的球数，再根据黄球的个数，除以还剩的球数即可． 【详解】（1）解：红球个数：（个）， 设绿球有x个，则黄球有个， 根据题意，得：， 解得：， ∴红球有20个，绿球有8个． （2）解：从袋中随机摸出一球，共有60种等可能的结果，其中摸出绿球的结果有8种， ∴从袋中随机摸出一球是绿球的概率为； （3）解：拿出12个黄球以后，从袋中随机摸出一球，共有种等可能的结果，其中摸出黄球的结果有（种）， ∴从袋中剩余的球中随机摸出一个球是黄球的概率． 3．（2024·福建泉州·模拟预测）在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别．将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验．下表是整理得到的试验数据： 摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000 摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992 摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67 (1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为______； (2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由． 【答案】(1)2；(2)同意小明的意见，理由见解析． 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及利用频率估计概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用总球数乘以摸到红球的概率即可得出答案； （2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，再利用概率公式求出概率，即可得出答案． 【详解】（1）解：由表可得：当n很大时，摸到红球的频率将会接近0.67， ∴摸到红球的概率为0.67， ∴红球的个数：（个）； （2）解：同意小明的意见，理由如下： 记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下： 总共有6种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有2种， 所以； 记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下： 总共有12种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有4种， 所以； 所以， 所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变． 4．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在一个不透明的袋中只装有2个白球、3个黑球和5个红球，每个球除颜色外都相同． (1)任意摸出一球，摸到黄球是______事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） (2)从袋中任意摸出一个球，摸到黑球的概率是多少？ (3)现在再将若干个同样的黑球放入袋中，与原来的10个球均匀混合在一起，使从袋中任意摸出一个球为黑球的概率是，请求出后来放入袋中的黑球的个数． 【答案】(1)不可能；(2)；(3)后来放入袋中的黑球个数为18个 【分析】本题考查了随机事件与不可能事件的定义、简单的概率计算，熟练掌握概率公式是解题关键． （1）根据随机事件和不可能事件的定义即可得； （2）利用黑球的数量除以袋子中球的总数量即可得； （3）设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个，利用概率公式建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：因为一个不透明的袋中装有2个白球，3个黑球，5个红球，每个球除颜色外都相同， 所以从中任意摸出一个球，摸到黄球是不可能事件， 故答案为：不可能． （2）解：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为， 答：从中任意摸出一个球，摸到黑球的概率为． （3）解：设后来放入袋中的黑球个数为个，则袋子中黑球的个数为个，球的总数量为个， 由题意得：，解得， 经检验，是分式方程的解， 答：后来放入袋中的黑球个数为18个． 考点十三 几何概率（共4题） 1．（2024·湖北·模拟预测）小鄂在数学书中看到了斐波那契曲线，于是将曲线画在了纸上小明看到后想计算阴影部分面积于是他们决定在纸上随机戳点，并记录数据于下表 总点数 10 20 40 100 阴影部分点数 4 11 23 47 若正方形的边长为4，则阴影部分面积约为（    ） A．4.7 B．7.52 C．7.98 D．8 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率，几何概率，根据频率估计出概率，再利用几何概率进行求解即可． 【详解】解：由表格数据可知：点落在阴影部分的概率为， ∵正方形的边长为4， ∴正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为：； 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·期末）一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，求出黑砖部分的面积占整体的几分之几即可，熟练掌握几何概率的求法是解此题的关键． 【详解】解：这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的， 所以小球最终停留在黑砖上的概率是， 故选：A． 3．（2023九年级·河南驻马店·学业考试）如图，将一个微型机器人放置在封闭的圆形装置内部，圆形装置内部划分为三个区域，其中A、B两个区域为圆环，C区域为小圆．若微型机器人随机在装置内停止，则微型机器人停止在B区域的概率为_______． 【答案】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，分别求出三个区域的面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：， ， ， 微型机器人停在区域的概率为． 故答案为：． 4．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图②是用图①的七巧板拼成的“龙马精神”图形，现将一个飞镖随机投掷到该图形上，则飞镖落在阴影部分的概率是_______． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板，以及几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据图形和七巧板特点可得到阴影部分面积占正方形面积的，进而根据概率公式，即可得到飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：由七巧板特点可知，图②中阴影部分的面积，可转化为图①中阴影部分面积，如图所示： 阴影部分面积占正方形面积的， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 考点十四 列举法求概率（共4题） 1．（23-24九年级下·河南漯河·开学考试）小宁书桌的抽屉有两层，每层都有一把锁，现在小宁手中有三把钥匙，其中有两把钥匙能开书桌的两层抽屉的锁（一把钥匙只能开一把锁），从中随机选取两把钥匙，则恰好一次性（不能试）打开这两把锁的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：将两把锁分别记为、，将把钥匙分别记为，，，其中与配套，与配套， 根据题意，画出树状图如下： 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中恰好一次性（不能试）打开这两把锁的情况有种， 故所求概率为：，故选：D． 2．（2024·内蒙古·中考真题）如图，有4张分别印有卡通西游图案的卡片：唐僧、孙悟空、猪八戒、沙悟净．现将这4张卡片（除图案不同外，其余均相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中随机取出1张卡片，然后放回并搅匀，再从中随机取出1张卡片，则两次取到相同图案的卡片的概率为________． 【答案】 【分析】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得随机两次取出卡片的所有等可能的结果，再找出两次取到相同图案的卡片的结果，然后利用概率公式求解即可得． 【详解】解：将这4张卡片记为，画出树状图如下： 由图可知，随机两次取出卡片的所有等可能的结果共有16种，其中，两次取到相同图案的卡片的结果有4种， 则两次取到相同图案的卡片的概率为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上． 将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是＿＿． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了概率公式及用列表或画树状图的方法求概率, 正确画出树状图是解题的关键． （1）直接运用概率公式求解即可； （2）先画出树状图，可知共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是共“B”和“D”的结果有2种，最后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是；故答案为: ． （2）解：画树状图如下： ， 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“B”和“D”的结果数为2， 体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率． 4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·开学考试）甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为，3，，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为，1，5．先从甲袋中随机取出一张卡片，用a表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用b表示取出的卡片上标的数值，把a、b分别作为点A的横坐标、纵坐标，反比例函数的图象过点A． (1)用列表法写出点的所有的情况； (2)求使反比例函数的图象在第一、三象限的概率． 【答案】(1)详见解析；(2) 【分析】此题主要考查利用列表法求概率，反比例函数的图象与性质，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公式进行计算，属于基础题． （1）直接利用表格列举即可解答； （2）利用（1）中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可． 【详解】（1）根据题意列表如下：点共9种情况； 3 1 5 （2）∵使反比例函数的图象在第一、三象限的情况有：，，，四种情况， ∴使反比例函数的图象在第一、三象限的概是： 考点十五 游戏的公平性（共4题） 1．（22-23九年级下·宁夏银川·开学考试）为迎接党的二十大胜利召开，银川市组织了形式多样的主题教育，我校开展了以“喜迎二十大•永远跟党走”为主题的知识竞赛，学校将从获得满分的四位同学甲、乙、丙、丁中选出2名同学参加市“喜迎二十大•奋进新征程”知识竞赛，选取规则如下：在一个不透明的口袋中，装有4个大小质地均相同的小球，分别标有数字1、2、3、4，从中摸出两个小球，若两个数字之和为奇数，则选甲乙；若两个数字之和为偶数，则选丙丁，请用树状图或列表法说明此规则是否合理． 【答案】此规则不合理，理由见解析 【分析】本题考查游戏公平性，解决本题的关键是得到相应的概率，概率相等就公平，否则就不公平.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比. 画树状图得出所有可能出现的结果，分别求出两个小球和是奇数和偶数的概率即可得出答案. 【详解】此规则不合理，理由如下： 画树状图如图所示： 由树状图可知共有种等可能的结果，其中选甲乙的有种结果，选丙丁的有种结果， ∴ ，故此规则不合理. 2．（23-24九年级上·四川达州·期末）渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．      (1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为度． (2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人． (3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？ 【答案】(1)72；(2)7500；(3)这种方法不公平，理由见解析 【分析】（1）用“其他”种类人数除以“其他”种类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；用“漫画”种类人数除以本次调查抽取的人数乘即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数； （2）用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生中喜爱“科普常识”的小学生人数； （3）列表得出所有可能的情况数，找到符合抽得的数字之和是5的倍数的情况数，是3的倍数的情况数，再分别除以总情况数，即可求出数字之和是5的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，进而比较求解即可． 【详解】（1）解：（人） “漫画”所在扇形的圆心角为； （2）解：估计喜爱“科普常识”的小学生约有（人）； （3）解：列表如下： 两数之和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 ∴共有16种等可能的结果，其中抽得的数字之和是5的倍数的有4种，是3的倍数的有5种， ∴则书给小丽的概率是，给小芳的概率是 ∵ 答：这种方法不公平． 【点评】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数量，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 3．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，现有一个转盘被均分成六等份，分别标有数字1，2，3，4，5，6，自由转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字． (1)随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”，则这15次中转出数字“5”的频率是______； (2)小明和小亮一起做游戏，转出的数字是2的倍数，小明获胜，转出的数字是3的倍数，小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1)；(2)不公平，见解析 【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可； （2）根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种，故小明获胜的概率为，转出的数字是3的倍数的可能性有2种，故小亮获胜．解得即可． 本题考查了简单的概率公式应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，随机转动转盘15次，其中3次转出数字“5”， 则这15次中转出数字“5”的频率是． 故答案为：． （2）解：根据题意，转出的数字是2的倍数的可能性有3种， 故小明获胜的概率为， 转出的数字是3的倍数的可能性有2种， 故小亮获胜． ， 故游戏不公平． 4．（2024九年级下·云南·专题练习）如图所示，小明和小亮用转盘做游戏，小明转动的盘被等分成个扇形，小亮转动的盘被等分成个扇形，两人分别转动转盘一次．    （1）用列表法或画树状图求恰好“配成紫色”的概率（红色与蓝色配成紫色）； （2）若“配成紫色”小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？说说你的理由． 【答案】（1）（2）不公平，理由见详解． 【分析】本题考查的是列表法和画树状图，游戏公平性的判断，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，根据概率公式即可得答案； （2）由（1）的表格，分析可能得到紫色的概率，继而可得小亮获胜，得到结论不公平． 【详解】（1）解：用列表法将所有可能出现的结果表示如下： 所有可能出现的结果共有种，    由上表可得：两人转动转盘恰好转到红色与蓝色有种， 即“配成紫色”的概率为 （2）不公平． 理由：∵上面等可能出现的种结果中，有种情况可能得到紫色， ∴配成紫色的概率是，即小明获胜的概率是； ∴小亮获胜的概率为， ∵， ∴小亮获胜的概率大，这个“配色”游戏对双方是不公平的． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$