2023-2024学年北京市九年级上学期期末数学分类汇编：直线和圆

2023-2024北京市初三上学期期末数学 分类汇编：直线和圆 一、填空题 1．（2024北京朝阳初三上期末）⊙O的直径为，若圆心与直线的距离为，则与⊙O的位置关系是 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 2．（2024北京海淀初三上期末）如图，，是⊙O的两条切线，切点分别为，，．若⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）．    3．（2024北京北师大实验中学初三上期末）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，，则的度数为 ． 二、解答题 4．（2024北京西城初三上期末）如图，小云在生活中观察到一个拱门，拱门的上方拱线和下方拱线的最高点均为点，拱门的跨径间对称分布有8根立柱．他搜集到两条拱线的相关数据，拱线的跨径长为，高为．右侧的四根立柱在拱线上的端点，，，的相关数据如下表所示． 点 点 点 点 距的水平距离（） 4 5 6 7 距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0 所查阅的资料显示：拱线为某个圆的一部分，拱线为某条抛物线的一部分． 根据以上信息，解答下列问题： (1)选取拱线上的任意三点，通过尺规作图作出拱线所在的圆； (2)建立适当的平面直角坐标系，选取拱线上的点，求出拱线所在的抛物线对应的函数解析式，并验证拱线上的其他已知点都在抛物线上，写出验证过程（不添加新的字母）． 5．（2024北京海淀初三上期末）如图，为半圆的直径，点，在半圆上，直线与半圆相切于点，． (1)若，求的大小（用含的式子表示）； (2)过点作交于点，交于点，若，，求的长． 6．（2024北京海淀初三上期末）如图，是⊙O外一点，与⊙O相切，切点为．画出⊙O的另一条切线，切点为．小云的画法是： ①连接，过点画出的垂线交⊙O于点； ②画出直线． 直线即为所求． （1）根据小云的画法，补全图形； （2）补全下面的证明． 证明：连接，． ，， 垂直平分，． ． ． ． 是⊙O的切线，为切点， ． ． ． 于点． ∵OP是⊙O的半径， 是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）． 7．（2024北京北师大实验中学初三上期末）下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程． 已知：如图，⊙O及⊙O上一点P． 求作：过点P的⊙O的切线． 作法：如图，作射线OP； ① 在直线OP外任取一点A，以A为圆心，AP为半径作⊙A，与射线OP交于另一点B； ②连接并延长BA与⊙A交于点C； ③作直线PC； 则直线PC即为所求．根据小元设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明： 证明：∵ BC是⊙A的直径， ∴ ∠BPC=90° （填推理依据）． ∴ OP⊥PC． 又∵ OP是⊙O的半径， ∴ PC是⊙O的切线 （填推理依据）． 8．（2024北京东城初三上期末）如图，⊙O是 △ABC的外接圆，是⊙O的直径，，，为的延长线与的交点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，，求和长． 9．（2024北京朝阳初三上期末）如图，是圆内接四边形的对角线，于点平分．    (1)求的度数； (2)点在的延长线上，是该圆的切线． ①求证：是该圆的切线； ②若，直接写出的长． 10．（2024北京北师大实验中学初三上期末）如图，为⊙O的直径，交⊙O于点C，D为上一点，延长交⊙O于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为⊙O的切线； (2)若且，求⊙O的半径． 11．（2024北京东城初三上期末）如图，为⊙O的直径，点在⊙O上，的平分线交⊙O于点，过点作，交的延长线于点． (1)求证：直线是⊙O的切线； (2)若，．求的长． 12．（2024北京东城初三上期末）在平面直角坐标系中，已知点P和直线，，点P关于直线，“和距离”的定义如下：若点P到直线，的距离分别为，，则称为点P关于直线，的“和距离”，记为d．特别地，当点P在直线上时，；当点P在直线上时，． (1)在点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是_____； (2)若P是直线上的动点，则点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为_____； (3)已知点，⊙O的半径为1．若P是⊙O上的动点，直接写出点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围． 13．（2024北京汇文中学初三上期末）如图，是直径AB所对的半圆弧，点C在上，且∠CAB =30°，D为AB边上的动点（点D与点B不重合），连接CD，过点D作DE⊥CD交直线AC于点E． 小明根据学习函数的经验，对线段AE，AD长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）对于点D在AB上的不同位置，画图、测量，得到线段AE，AD长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 AE/cm 0.00 0.41 0.77 1.00 1.15 1.00 0.00 1.00 4.04 … AD/cm 0.00 0.50 1.00 1.41 2.00 2.45 3.00 3.21 3.50 … 在AE，AD的长度这两个量中，确定_______的长度是自变量，________的长度是这个自变量的函数； （2）在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象； （3）结合画出的函数图象，解决问题：当AE=AD时，AD的长度约为________cm(结果精确到0.1)． 14．（2024北京朝阳初三上期末）在平面直角坐标系中，已知． 对于点给出如下定义：若，则称为线段的“等直点”． (1)当时， ①在点中，线段的“等直点”是______； ②点在直线上，若点为线段的“等直点”，直接写出点的横坐标． (2)当直线上存在线段的两个“等直点”时，直接写出的取值范围． 15．（2024北京西城初三上期末）如图，是⊙O的直径，，交⊙O于点，点在的延长线上且．    (1)求证：是⊙O的切线； (2)若，，求的长． 16．（2024北京海淀初三上期末）在平面直角坐标系中，将中心为的正方形记作正方形，对于正方形和点（不与重合）给出如下定义：若正方形的边上存在点，使得直线与以为半径的相切于点，则称点为正方形的“伴随切点”． (1)如图、正方形的顶点分别为点，，，． ①在点，，中，正方形的“伴随切点”是 ； ②若直线上存在正方形的“伴随切点”，求的取值范围； (2)已知点，正方形的边长为．若存在正方形的两个“伴随切点”，，使得△OMN为等边三角形，直接写出的取值范围． 参考答案 1．相切 【解析】解：∵⊙O的直径为，， ∴⊙O的半径为， 圆心与直线的距离为， 圆心与直线的距离等于⊙O的半径， 与⊙O相切， 故答案为：相切． 2． 【解析】解：∵，是⊙O的两条切线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．40° 【解析】解：∵PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， ∴PA=PB，∠PAC=90°， ∵， ∴∠PAB=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°． ∵PA=PB， ∴∠PAB=∠PBA=70°， ∴∠P=180°﹣70°×2=40°． 故答案为40°． 4．(1)尺规作图见解析 (2)，其他已知点都在抛物线上，验证过程见解析 【解析】（1）解：如图所示： ∴⊙O即为所求； （2）解：以为坐标原点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，如图所示： 拱线的跨径长为，高为， 、、， 设拱线的表达式为， 将代入表达式得，解得， 拱线所在的抛物线对应的函数解析式为， 点 点 点 点 距的水平距离（） 4 5 6 7 距的竖直距离（） 4.125 3.000 1.625 0 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上； 将代入得，故点在拱线所在的抛物线上． 5．(1) (2) 【解析】（1）∵， ∴， ∴． （2）根据(1)的证明，得， ∵，， ∴， ∵直线与半圆相切于点， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∵， 解得． 6．(1) 见解析(2)，，过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线 【解析】(1)根据垂线的基本作图，作图如下： 直线即为所求． (2)证明：连接，． ，， 垂直平分，． ． ． ． 是⊙O的切线，为切点， ． ． ． 于点． 是⊙O的半径， 是⊙O的切线（过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线）． 故答案为：，，过半径的外端点并垂直于半径的直线是圆的切线． 7．（1）见解析；（2）直径所对的圆周角是直角；过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 【解析】解：（1）补全图形如图所示，则直线PC即为所求； （2）证明：∵BC是⊙A的直径， ∴∠BPC=90°（圆周角定理）， ∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线（切线的判定）． 故答案为：圆周角定理；切线的判定． 8．(1)证明见解析； (2)的长为，． 【解析】（1）证明：连接并延长交于点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是⊙O的半径，且， ∴是⊙O的切线； （2）∵， ∴， ∴， ∴△BOC是等边三角形，， ∴， ∴的长为， ∵是⊙O的切线， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：． 9．(1) (2)①见解析；②的长为3． 【解析】（1）解：平分， ． ， ． ， ． ． ； （2）①证明：如图，取的中点，连接．   ， 是该圆的直径． 点是该圆的圆心． 是⊙O的切线， ． ， ． ， ． ． 是⊙O的切线； ②∵、都是⊙O的切线， ∴， ∵， ∴， ∴△PAC是等边三角形， ∴，， ∴，△BAO是等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的长为3． 10．(1)见解析 (2)3 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径，则， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 11．【答案】(1)见解析 (2) 【解析】（1）证明，如图，连接． 是⊙O的直径， ， 平分， ， ， ， ， ， 为⊙O的半径， 直线是⊙O的切线． （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， ． 在中，， 根据勾股定理，得， ∵=， ， 在Rt△BFD中，根据勾股定理，得 ． 12．【答案】(1)， (2)3 (3)点P关于x轴和直线的“和距离”d的取值范围为 【解析】（1）解：点到x轴的距离为0，到y轴的距离为3，则“和距离”为； 点到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则“和距离”为； 点到x轴的距离为1，到y轴的距离为4，则“和距离”为； 点，，，中，关于x轴和y轴的“和距离”为3的点是，． 故答案为：，． （2）解：点P是直线上的动点， 设点P的坐标为， 点到x轴的距离为，到y轴的距离为，关于x轴和y轴的“和距离”为， 当，即时，， 当，即时，， 当，即时，， 当时，该不等式组无解． ， 即点P关于x轴和y轴的“和距离”d的最小值为3， 故答案为：3． （3）解：如图，设点，作轴于点N，交直线于点R，直线于点M，轴交直线于点S， ，=，点，点， ， ， ， ， 令，则直线，依题意，直线与⊙A有公共点， 设直线点到的距离为，则， 根据上面点到直线的距离公式得到，则， ， ，即． 13．【答案】（1）AD，AE；（2）画图象见解析；（3）2.2，． 【解析】（2）根据题意作图即可； （3）满足AE=AD条件，实际上可以转化为正比例函数y=x． 解：（1）根据题意，D为AB边上的动点， ∴AD的长度是自变量，AE的长度是这个自变量的函数； ∴故答案为：AD，AE． （2）根据已知数据，作图得： （3）当AE=AD时，y=x，在（2）中图象作图，并测量两个函数图象交点得：AD=2.2或3.3 故答案为：2.2或3.3 14．【答案】(1)①，；②或 (2)且 【解析】（1）解：①∵， ∴， 作等腰直角，且， 此时， ∴点的坐标为或点的坐标为， ∴圆的半径为， ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； ∵， ∴点是线段的“等直点”； ∵， ∴点不是线段的“等直点”； 故答案为：，； ②作轴于点，连接， 设，则，， 在Rt△QCG中，，即， 解得（舍去）， ∴点的横坐标为； 同理，点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或； （2）解：作轴交x轴于点，交直线于点，作直线的垂线，垂足为点，则， ∵， ∴， ∴点的横坐标为， ∴点E的坐标为， ∴， 解得； 如图，同理求得； 当直线经过点或点时，直线上只存在线段的一个“等直点”， 此时或； 综上，的取值范围为且． 15．(1)详见解析； (2)． 【解析】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵为⊙O直径， ∴是⊙O的切线； （2）由（1）知，是⊙O的切线， ∴， ∴， ∴ 设⊙O的半径为r， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，    ∵为⊙O的直径， ∴， ∵， ∴D为中点， ∴OD//BC， ∴， ∵， ∴△AOF∽△EBA， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在Rt△AEC中， 16．【答案】(1)①；②或 (2)或 【解析】（1）解：①正方形的顶点分别为点，，， ∴， 则正方形的边长为，对角线长为 ∴， ∵，即到的距离为， 而到的距离小于， ∴在点，，中，正方形的“伴随切点”是， 故答案为：． ②解：由①可得， 如图所示，当时 设直线与坐标轴分别交于点，作交轴于点，过点作于点 ∴，， ∵， ∴△DEF∽△DQT ∴ 当时， ∴ 解得：或（舍去） 当时，则，解得：， ∵ ∴ 当时，如图所示，过点作于点， ∵， ∴△DTQ∽△DOF ∴ 当时， ∴ 解得： 当时，则，解得：， ∴； 综上所述，或； （2）解：∵点，正方形的边长为． ∴ ` ∴，当点在上时取得等于号， ∵△OMN为等边三角形，为正方形的中心，则 ∴ ∴，则 ∴ ∵，即 ∴当，解得：或 当，解得：或 ∴的解集为：或． ∴或． 第19页/共23页 学科网（北京）股份有限公司 $$