专题02 一元二次函数、方程及不等式（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年高一数学上学期高频考点题型归纳与满分必练（人教A版2019必修第一册）

专题02一元二次函数、方程及不等式 【考点01：根据不等式的性质判断命题】 【考点02：基本不等式及其应用】 【考点03：利用基本不等式求最值】 【考点04：基本不等式的综合运用】 【考点05：基本不等式的实际应用】 【考点06：解不含参的一元二次不等式】 【考点07：根据条件求解含参一元二次不等式】 【考点08：求解含参一元二次不等式(分类讨论)】 【考点09：一元二次不等式恒成立问题】 【考点10：一元二次不等式能成立(有解/存在)问题】 知识点1 等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝ 知识点2 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3 比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 知识点4 基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点5基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点6 利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 知识点7 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点8 二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点9 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点10 解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点11 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 知识点12 一元二次不等式的恒成立 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 【考点01：根据不等式的性质判断命题】 1．若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．多选题下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 3．多选题已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 【考点02：由不等式的性质证明不等式】 4．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 5．（1）当时，比较与的大小； （2）当时，求证：． 6．（1）比较与的大小； （2）若，，证明：． 7．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 8．证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【考点03：利用基本不等式求最值】 9．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 11．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 12．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 13．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 14．设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 15．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 16．已知，且，则的最小值是 . 17．已知，且，则的最小值为 ． 18．已知，且，则的最小值为 ． 19．已知，，且，则xy的最大值为 ． 20．已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 21．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 22．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【考点05：基本不等式的实际应用】 23．有一批材料，可以建成长为的围墙，如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？    24．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 25．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 26．如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 27．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数关系式为（，且） (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 28．为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元. (1)试求关于的函数解析式； (2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用. 【考点06：解不含参的一元二次不等式】 29．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 30．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 31．求解下列不等式： (1) (2) 32．解不等式 (1) (2) (3) (4) 33．解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 34．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【考点07：根据条件求解含参一元二次不等式】 35．已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 36．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 37．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．多选题已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 【考点08：求解含参一元二次不等式(分类讨论)】 39．多选题已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 40．多选题已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 41．已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 42．已知关于不等式的解集为． (1)求实数； (2)解关于不等式． 43．解关于的不等式：． 【考点09：一元二次不等式恒成立问题】 44．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 45．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 46．已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 48．对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 49．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 52．（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【考点10：一元二次不等式能成立(有解/存在)问题】 53．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 54．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 56．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 57．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02一元二次函数、方程及不等式 【考点01：根据不等式的性质判断命题】 【考点02：基本不等式及其应用】 【考点03：利用基本不等式求最值】 【考点04：基本不等式的综合运用】 【考点05：基本不等式的实际应用】 【考点06：解不含参的一元二次不等式】 【考点07：根据条件求解含参一元二次不等式】 【考点08：求解含参一元二次不等式(分类讨论)】 【考点09：一元二次不等式恒成立问题】 【考点10：一元二次不等式能成立(有解/存在)问题】 知识点1 等式的基本性质 1．如果a＝b，那么b＝a. 2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c. 3．如果a＝b，那么a±c＝b±c 4．如果a＝b，那么ac＝bc. 5．如果a＝b，c≠0，那么＝ 知识点2 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点3 比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 知识点4 基本不等式的概念 1、两个不等式 重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、 基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）. 常见变形公式： ； 【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”. （3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2、由公式和引申出的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点5基本不等式的证明 1、法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为. 这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为. 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：. 当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点， 这时有. 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得： 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”） 2、法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，. 所以，（当且仅当时取等号“=”）. 知识点6 利用基本不等式求最值 1、在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等. ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三取等：含变数的各项均相等，取得最值. 2、积定和最小，和定积最大 （1）设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为. （2）设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值),则当x=y时，和x＋y有最小值,且这个值为2. 知识点7 一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或(其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点8 二次函数的零点 1.一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 2.二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． 3.一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 知识点9 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 【解读】(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 知识点10 解含参数的一元二次不等式 1.若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； 2.若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； 3.若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 知识点11 简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 知识点12 一元二次不等式的恒成立 1.不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 2.一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 3.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 【考点01：根据不等式的性质判断命题】 1．若，且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论. 【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误； 对B：当，时，由不能推出，所以B错误； 对C：当时，由不能推出，所以C错误； 对D：由 ，又，所以，所以D正确. 故选：D 2．多选题下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】BCD 【分析】由已知条件结合不等式的性质，判断结论是否正确. 【详解】对于A项，取，，，， 则，，所以，故A选项错误； 对于B选项，若，有，则，B选项正确； 对于C选项，若，则，则， 又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确； 对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确． 故选：BCD． 3．多选题已知，则下列结论成立的是（） A． B．若．则 C．若，则 D． 【答案】AC 【分析】对于A,用作差法比较大小即可；对于B,举特殊情况即可判断；对于C,用作差法比较即可；对于D,用作差法比较即可. 【详解】对于,因为,所以, 即,，即故，故正确; 对于,若则,故错误; 对于,即,故正确; 对于,,故错误. 故选:. 【考点02：由不等式的性质证明不等式】 4．证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，再根据不等式的性质证明； （2）利用作差法证明即可. 【详解】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 5．（1）当时，比较与的大小； （2）当时，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】（1）由作差法比较大小； （2）由作差法即可证明. 【详解】（1）， 若，，所以， 若，，所以， 综上：若，；若，. （2）由于， 因为，所以，，， 所以，所以. 6．（1）比较与的大小； （2）若，，证明：． 【答案】（1） ；（2）证明见解析 ． 【分析】（1）利用作差法，结合配方法，比较即可； （2）根据不等式的性质比较即可. 【详解】（1）解：依题意有： ， 又，，，所以， 即； （2）证明：，，又，， ，则有：， 又，． 7．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）由题意得，利用作商法即可得出答案； （2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论. 【详解】（1），， ，. （2），，又， 又， ， . 8．证明不等式． (1)，bd＞0，求证：； (2)已知a＞b＞c＞0，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明； （2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到. 【详解】（1）证明：， 因为，，所以，， 又bd＞0，所以，， 即. （2）证明：因为a＞b＞c＞0， 所以有，，，， 则，， 即有，成立； 因为，，所以，， 又，所以，成立. 所以，有. 【考点03：利用基本不等式求最值】 9．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把化简为为，然后利用基本不等式即可求出最小值 【详解】因为，则， 由于， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为， 故选：C 10．若，，，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D．18 【答案】C 【分析】根据题意结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，，， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：C. 11．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用消元法，消去，再利用基本不等式进行求解即可. 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 12．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 13．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】C 【分析】通过配凑，直接利用基本不等式即可求解. 【详解】由为正实数，且 则利用基本不等式可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为3. 故选：C. 14．设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为、满足，且、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 15．当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 16．已知，且，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】利用不等式乘“1”法即可求解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最小值为9， 故答案为：9 17．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，即有，再由基本不等式可得最小值，注意等号成立的条件. 【详解】因为且，所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以最小值为. 故答案为：． 18．已知，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据分母特点，将化为，将化为.然后用基本不等式即可. 【详解】由于，因此， 则 ， 当且仅当时取等号． 故答案为：. 19．已知，，且，则xy的最大值为 ． 【答案】8 【分析】根据题意结合不等式运算求解即可. 【详解】因为，，且， 可得，当且仅当，即，时，等号成立， 所以xy的最大值为8． 故答案为：8. 20．已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知得，然后利用基本不等式可得答案. 【详解】正实数且得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 故答案为： 21．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 【答案】12 【分析】算得，直接由基本不等式即可求解. 【详解】依题意， 所以 当且仅当，时等号成立． 故答案为：12． 22．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【详解】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 【考点05：基本不等式的实际应用】 23．有一批材料，可以建成长为的围墙，如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可以取得最大面积？    【答案】当面积相等的小矩形的长为时，矩形面积最大，最大为. 【分析】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式即可求得矩形面积的最大值. 【详解】如图，设每个小矩形的长为，宽为，由题可知， 所以． 当且仅当时，等号成立， 所以，.    24．用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小？并求出所用篱笆长度的最小值． 【答案】当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 【分析】以实际应用问题为情境，建立函数关系，利用函数最值的求法解出结果； 【详解】 设，上底， 分别过点作下底的垂线，垂足分别为， 则，， 则下底， 该等腰梯形的面积， 所以，则， 所用篱笆长为 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以，当等腰梯形的腰长为时，所用篱笆长度最小，其最小值为． 25．某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间，，三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中，区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为，鲜花种植的总面积为. (1)用含有的代数式表示； (2)当的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设矩形花园的长为，结合，进而求得关于的关系式； （2）由（1）知，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设矩形花园的长为， 因为矩形花园的总面积为，所以，可得， 又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得，可得， 即关于的关系式为. （2）解：由（1）知，， 则 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以当时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为. 26．如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 27．某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数关系式为（，且） (1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 【答案】(1)当这批机器运转第年时，可获得最大利润，最大利润为 (2)当运转年时，这批机器的年平均利润最大 【分析】（1）根据二次函数性质可得最大利润； （2）根据基本不等式可得年平均利润的最大值. 【详解】（1）由，， 可知当时，取最大值为， 即当这批机器运转第年时，可获得最大利润，最大利润为； （2）由已知可得年平均利润，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即当运转年时，这批机器的年平均利润最大. 28．为加强“疫情防控”，某校决定在学校门口借助一侧原有墙体，建造一间墙高为4米，底面积为32平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园应急室，由于此应急室后背靠墙，无需建造费用，某公司给出的报价为：应急室正面和侧面报价均为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，设应急室的左右两侧的长度均为米，公司整体报价为元. (1)试求关于的函数解析式； (2)公司应如何设计应急室正面和两侧的长度，可以使学校的建造费用最低，并求出此最低费用. 【答案】(1) (2)正面长度为8米,两侧长度为4米,建造费用最低,最低20000元. 【分析】（1）首先得到正面长度为米，根据题意写出总价即可. （2），利用基本不定式即可求出最值. 【详解】（1）因应急室的左右两侧的长度均为米,则应急室正面的长度为米,于是得 （2）， 当且仅当，即时等号成立，此时在内，， 故正面长度为8米，两侧长度为4米，建造费用最低，最低20000元. 【考点06：解不含参的一元二次不等式】 29．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】求解一元二次方程的解，可得不等式的解. 【详解】根据题意，方程的解为， 所以不等式的解集是. 故选：A 30．不等式的解集为（    ） A． B． C． D．R 【答案】C 【分析】根据题意整理可得，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为，整理可得，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 31．求解下列不等式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】借助一元二次不等式的解法计算即可得. 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为，所以，即， 此时有，解得． 32．解不等式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （2）因为， 解得， 所以不等式的解集为. （3）不等式转化为，且， 解得， 所以不等式的解集为. （4）不等式转化为， 解得， 所以不等式的解集为. 33．解下列不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)． (2)． (3)或． 【分析】（1）化简不等式，求方程的判别式，作函数的图象，观察图象求解集； （2）原不等式可化为，作函数的图象，观察图象可得解集； （3）求方程的根，作函数的图象，观察图象可得解集. 【详解】（1）原不等式可化为． 因为方程的判别式， 所以函数的图象开口向上，与x轴无交点（如图所示）． 观察图象可得，原不等式的解集为． （2）原不等式可化为，即， 函数的图象如图所示， 根据图象可得，原不等式的解集为． （3）方程的两根是，． 函数的图象是开口向上的抛物线，与轴有两个交点和， 如图所示． 观察图象可得不等式的解集为或． 34．解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用一元二次不等式的解法对各个不等式逐个化简求解即可． 【详解】（1）不等式可化为，∴不等式的解集是． （2）不等式可化为，∴不等式的解集是． （3）不等式可化为，即，∴不等式的解集是． （4）不等式可化为，∴不等式的解集是 【考点07：根据条件求解含参一元二次不等式】 35．已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解. 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有三个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：D 36．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 37．若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含参解一元二次不等式，分类讨论的范围确定整数解即可. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去； 当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需； 当时，不等式的解集为，此时若有3个整数解，则需 综上：所以或， 故选：A． 38．多选题已知关于的一元二次不等式的解集为或，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一元二次不等式的解集得出、与的关系，对选项一一判断即可得出答案. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为或， 所以是方程的根，且， 所以，所以，，故A错误；B正确； ，故D正确； 因为 或，所以，故C错误； 故选：BD. 【考点08：求解含参一元二次不等式(分类讨论)】 39．多选题已知实数，则不等式的解集可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】AD 【分析】分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集，即可判断. 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，不等式即为，即， 解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或，结合选项可知只有AD符合题意. 故选：AD 40．多选题已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分，，三种情况结合与的大小关系讨论，可得不等式的解集. 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 41．已知关于的一元二次不等式的解集为． (1)求和的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）依题意和是方程的两个根，利用韦达定理得到方程组，解得即可； （2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意知和是方程的两个根且， 由根与系数的关系得，解得； （2）由、，不等式可化为， 即，则该不等式对应方程的实数根为和． 当时，，解得，即不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为空集， 当时，，解得，即不等式的解集为， 综上：当时，解集为， 当时，解集为空集， 当时，解集为． 42．已知关于不等式的解集为． (1)求实数； (2)解关于不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据不等式的解集，结合根与系数的关系列出方程即可得到结果； （2）由题意得到不等式对应的方程的两根，然后根据两根的大小讨论即可得到结果. 【详解】（1）不等式的解集为， 方程的根为， ，解得． （2）由（Ⅰ）原不等式可化为，即， 原不等式对应的方程的根为， 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 43．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论的符号，结合二次函数解不等式. 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 【考点09：一元二次不等式恒成立问题】 44．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况，结合不等式恒成立求参数的取值范围. 【详解】当时，不等式为对一切实数都成立，符合题意， 当时，要使得不等式对一切实数都成立， 则，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：D． 45．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据和，结合判别式即可求解. 【详解】当时，恒成立，则符合题意； 当时，由题意可得解得． 综上，实数的取值范围是． 故选:B． 46．已知“，不等式恒成立”，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式恒成立求参即可. 【详解】由不等式恒成立， 所以, 故选：A. 47．若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可. 【详解】由题意可知恒成立， 当时，恒成立， 当时需满足，即，求得， 所以实数的取值范围是 故选：C 48．对一切恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由题意首先考虑为零的情况，再考虑的情况，需满足，解不等式组即可得答案. 【详解】当时，明显成立， 当时，则，即，解得， 综上： 故选：B. 49．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 当时，恒成立，等价于当时，恒成立， 则有， 故选：D 50．对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 51．关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可. 【详解】结合题意知．即解得， 所以实数k的取值范围是. 故答案为：. 52．（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）题目转化为，利用均值不等式计算最值得到答案. （2）变换得到，计算函数的最小值得到答案. 【详解】（1）当时，有解， 即在上有解， 又，于是等价于， 故，又， 当且仅当即，即时等号成立，所以 所以实数的取值范围是 （2）当时，恒成立． 因为，且当时有最大值为， 所以等价于． 在区间上的最小值为，故只需即可， 所以实数的取值范围是． 【考点10：一元二次不等式能成立(有解/存在)问题】 53．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）． A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据给定条件，列出不等式组并求解即得. 【详解】由方程有两个不相等的实数根，得， 即，解得，因此且， 所以实数m的取值范围是且. 故选：C 54．命题：“使得不等式成立”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化为不等式在有解，结合二次函数的性质，求得其最小值，即可求解. 【详解】由使得不等式成立是真命题， 即不等式在有解， 因为，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 55．若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（    ） A．9 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】先通过分离参数得到，然后利用基本不等式求解出的最小值，则的最小值可求. 【详解】因为在上有解，所以在上有解， 所以， 又因为，当且仅当即时取等号， 所以，所以，即的最小值为， 故选：B. 56．若存在，使不等式成立，则a的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用分离参变量思想，再用换元法转化到对钩函数求最小值，即可得到取值范围. 【详解】由， 因为，所以，令， 由， 构造函数， 即，当且仅当时取等号， 所以 故答案为：. 57．关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意将不等式转化为在能成立即可，再由二次函数性质求出即可得的取值范围是. 【详解】由不等式以及可得， 依题意可知即可， 令， 又，由可得， 利用二次函数性质可知，即可得； 即实数的取值范围是. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$