吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

数学试卷 2024.9.20 一、选择题（每题3分，共24分） 1．下列式子一定是二次根式的（ ） A． B． C． D． 2．关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ） A．2 B． C．2或 D．4 3．、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（ ） A．3cm B．4cm C．5cm D．8cm 4．杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（ ） A．必然事件 B．不可能事件 C．确定性事件 D．随机事件 5．如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（ ） A．0.8m B．1m C．1.5m D．2m 6．如图，网格中每个小正方形的边长是1，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A． B． C． D． 7．如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的正切值为（ ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ） A．9 B．13.5 C．14.5 D．15 二、填空题（每题3分，共18分） 9．若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 10．表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 187 446 730 1790 10836 成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为______．（精确到0.1） 11．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 12．已知，化简：______． 13．如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为______． 14．如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，且，则的长为______． 三．解答题（共10小题，共78分） 16．（6分）计算：． 16．（6分）计算：． 17．（6分）如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位、、、．小双和小萌一同报名参加了这项桌游． （1）小双抽中座位的概率为______； （2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小双和小萌成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 18．（7分）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为14m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ 19．（7分）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．（只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹） （1）在图①中找一格点，使为直角三角形，且的正切值为1； （2）在图②中找一格点，使为直角三角形，且的正切值为； （3）在图③中找一格点，在线段上找一点，使为锐角三角形，且的正切值为2． 20．（7分）如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部30.0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为1.5米．试利用直角三角形的知识，求出该建筑物的高度．（参考数据：，，）． 21．（8分）关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值． 22．（9分）阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______； （2）若，求______； （3）参照上面解题的思想方法解方程：． 23．（10分）【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为______； 【性质延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 24．（12分）如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发以每秒1个单位的速度沿向终点运动．以为边作正方形，点在射线上．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）连接，则______度；当点与点的距离最短时，线段的长为______； （3）连接，当将正方形的面积分为两部分时，求的值； （4）作点关于直线的对称点，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$九年级数学学科参考答案 2024.09 一、选择题(每小题3分,共24分) 5.C 4. D 1. B 3. D 6. D 7. A 2. B 0 8. B 二、填空题(每小题3分,共18分) 9. 4 10. 0.9 11. k4 13. VT3 12. 2x-6 14. 2或4 三、解答题(本大题10小题,共78分) $5. 解:原式=2-3+23 (3分) -2+3 (6分) 16. 解:原式=2x+3x1+2×x (3分) =3 (6分) 17.解:(1) (2分) 小双 . #### 小萌B (4分) P(小双和小葫成为盟友)=1 (6分) 18.解:设:垂直于墙的长为xm (1分) x28-2t)=96 (3分) $t =6.t=B (5分) 当$x=6时,28-2x=16>14.(舍) 当x=8时,28-2x-12<14 (6分) 答:猪舍长为12m,宽为8m (7分) 19. (C D 图② 图① 图③ (2分) (4分) (7分) 20. 解:解:过H作HO1AC于点O,则四边形HBCO为矩形 (1分) '.HO=BC=30米,CO=BH=1.5米, 在Rt△AHO中. (2分) .乙AHQ=37'. 1. tanzAHo-4-tan37' ~0.75. (5分) '$AO=H0·tan37*-30X0.75=22.5(米) (6分) '$AC=A0+0C=22.5+1.5=24.0(米) (7分) 答:建筑物的高度AB约为24.0米. 21. 解:(1)证明:这里a=1,b=-(k+3),c=2k+$ .=(k+3) 2-4(2k+1) =-2k+5=(k-1) 2+4=4 (3分) .方程有两个不相等的实数根 (4分) (2)解:把x-3代入方程得:9-3(k+3)+2k+1=0 解得:k-1,即方程为x2-4x+3-0 (6分) 设另一根为m,根据题意得:3m=3 解得:m-1. (8分) 22.解:(1)-y-6=0 (2分) (2)4. (4分) (3)设y-.则y2-4+4=0. 即(y-2)2-0. 解得y1-y2-2. 经检验,y一2是分式方程的根 所以2. 即22-x-2-0. 解得:x-1+vT7 4,1-vT7 7. 1-17是分式方程的根. 经检验,x-14vT7 4 所以原分式方程的解为:x1+VT7 ”.1-vT7 (9分) 23. 解:(1)解:(1)延长BO至D,使OD=OB,连接AD,CD. # C .点O是AC边的中点; '.AO=CO. .BO=OD. .四边形ABCD是平行四边形, : ABC-90{*. :.四边形ABCD是矩形 '.AC-BD. (5分) (2)4V. (7分) (3)vT3. (10分) 24. 解:(1) DN=3-3.(3<t58). (3-t.(0<t<3) (3分) (2)45*.1.5 3)4 (5分) (9分) (4)_或6-2或$+a_ (12分) 注:第(4)题对1个值得1分。