专题01 三角形（7大基础题+5大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学上学期期中真题分类汇编（福建专用）

专题01 三角形 三角形第三边取值范围 1．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（    ）的小棒才能围成一个三角形． A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24八年级上·泉州安溪·期中）若、、为三角形的三边长，且、满足，则第三边长的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上龙文区·期中）三角形的两边长分别是2、7，若第三边长为奇数，则此三角形第三边的长是 ． 与三角形的高有关计算问题 1．（23-24八年级上·漳州·期中）如图，，是三角形的两条高，，，，的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 2．（23-24八年级上·福建厦门瑞景外国语·期中）如图，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，的高与的比是 ．    4．（23-24八年级上·福州·期中）如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是 ． 根据三角形的中线求长度 1．（23-24八年级上·福州三牧中学·期中）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为（　　）   A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·晋安区·期中）如图，中为中线，，，则与的周长之差为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24八年级上·福州·期中）如图，为的中线，的周长为23，的周长为18，，则为 ．    三角形角平分线有关计算 1．（23-24八年级上·厦门湖里中学·期中）下列说法中正确的是（　　） A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 2．（23-24八年级上·福建厦门杏东中学·期中）如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·莆田·期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D.若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是(　　) 　　 A．10° B．12° C．15° D．18° 三角形内角和定理应用 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）1.如图，，，则是（    ）    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种都有可能 3．（23-24八年级·福建永泰·期中）将一把直尺和一块三角板如图放置，若，则的度数为 °．    4．（23-24八年级·福建漳州·期中）已知，，则 ． 5．（23-24八年级·福州平潭·期中）如图，在中，是边上的高，平分 交边于点，，求度数．    三角形外角和的应用 1．（2023·福建厦门·期中）如图，在中，，，点D在边的延长线上，则为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·莆田仙游·期中）如图，，，，则的度数为(   )    A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，在上，在的延长线上，若，则的度数为 ． 4．（23-24八年级上·福州晋安·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则 ．    5．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在直角中，，是斜边上的高，．求和的度数． 多边形的内角和与外角和 1．（23-24八年级上·福州·期中）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（23-24八年级上·龙岩连城·期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 3．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则 ． 4．（23-24八年级上·福州福清·期中）如图，五边形中，，、、分别是、、的外角，则等于 ． 5．（2023·福建漳州·期中）如图，一个正方形和一个正五边形各有一边，在直线上，且只有一个公共顶点，则的度数为 ． 三角形中的折叠问题 1．（22-23八年级上·福建南平·期中）如图，中，，将沿折叠，点落在处，则的度数为（　　） A．140° B．60° C．70° D．80° 2．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·福建漳州·期中）如图所示，中，边上有一点D，使得，将沿翻折得，此时，则 度． 4．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且为等腰三角形，则的度数为 ． 5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．    根据三角形中线求面积 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，点，，，分别是线段，，，的中点，设四边形的面积为2，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（23-24八年级上·三明·期中）如图，在中，点、分别为、的中点，，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，点D，E分别在，上，，若，则的值为 ． 4．（23-24八年级上·莆田·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是 ． 5．（23-24八年级上·漳州·期中）如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 八字模型 1．（23-24八年级上·漳州·期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 燕尾模型 1．（23-24八年级上·三明·期中）如图，若，则 ． 2．（23-24八年级上·厦门·期中）如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 3．（23-24八年级上·漳州·期中）如图所示，已知四边形，求证． 4．（23-24八年级上·福州闽侯·期中）如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 双角平分线模型 1．（23-24八年级上·福州·期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·宁德·期中）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 3．（23-24八年级上·厦门翔安·期中）如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 4．（23-24八年级上·龙岩·期中）如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 5．（23-24八年级上·福州闽清·期中）如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．    (1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形 三角形第三边取值范围 1．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）盒中有的小棒各一根，取出和的小棒后，至少再取（    ）的小棒才能围成一个三角形． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，设三角形第三边为，由三边关系求出第三边范围即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：取出和的小棒后，作为三角形的其中两边， 设三角形第三边为，则，即， 四个选项中，5、6、7均符合构成三角形要求，其中最小的是边长为， 故选：B． 2．（23-24八年级上·泉州安溪·期中）若、、为三角形的三边长，且、满足，则第三边长的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先根据绝对值和平方的非负性求出a和b的值，然后利用三角形三边关系求解即可． 【详解】∵， ∴，， ∴，即， ∴第三边长的值可以是2． 故选：B． 【点睛】此题考查了绝对值和平方的非负性，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（23-24八年级上龙文区·期中）三角形的两边长分别是2、7，若第三边长为奇数，则此三角形第三边的长是 ． 【答案】7 【分析】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得，然后再确定x的值即可． 【详解】解：设第三边长为x， ∵两边长分别是2和7， ∴， 即：， ∵第三边长为奇数， ∴， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边． 与三角形的高有关计算问题 1．（23-24八年级上·漳州·期中）如图，，是三角形的两条高，，，，的长为（　　） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 【答案】B 【分析】根据三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴，解得：． 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角形的高，根据同一个三角形面积相等列方程是解答本题的关键． 2．（23-24八年级上·福建厦门瑞景外国语·期中）如图，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【分析】根据三角形的高的定义，作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可． 【详解】解：的边上的高是线段 故选：D． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，的高与的比是 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福州·期中）如图，中，，P为直线上一动点，连，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据垂线段最短，得到当时，的值最小，利用等积法进行计算即可。 【详解】∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵， ∴，即：， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查垂线段最短，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 根据三角形的中线求长度 1．（23-24八年级上·福州三牧中学·期中）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则的长为（　　）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线得到，进而推出两个三角形的周长的差为，即可得出结果． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， ∵， ∴； 故选C． 2．（23-24八年级上·晋安区·期中）如图，中为中线，，，则与的周长之差为（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据周长定义，列式计算即可． 【详解】∵与的周长之差为，且， ∴与的周长之差为， ∵，， ∴与的周长之差为， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的周长计算，中线的意义，熟练掌握中线的定义是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福州·期中）如图，为的中线，的周长为23，的周长为18，，则为 ．    【答案】5 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边与长度的差是解题的关键． 三角形角平分线有关计算 1．（23-24八年级上·厦门湖里中学·期中）下列说法中正确的是（　　） A．平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线 B．三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线 C．钝角三角形的三条高都在三角形外 D．三角形的三条中线总在三角形内 【答案】D 【分析】角平分线为线段，即可判断A中说法是否正确，三角形的中线是线段，即可判断B中说法是否正确，钝角三角形和直角三角形有一条边上的高在三角形内，锐角三角形三边上的高都在三角形内，即可判断C中说法是否正确；根据三角形中线的定义，即可判断D中说法是否正确． 【详解】解：平分三角形内角的线段叫做三角形的角平分线，故A说法不符合题意； 三角形的中线是经过顶点和对边中点的线段，故B说法不符合题意； 钝角三角形最长边上的高在三角形内，构成钝角的两边上的高在三角形外，故C说法不符合题意； 三角形的三条中线总在三角形内，故D说法符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形的中线、高线、角分线的定义及特点，掌握相关定义是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建厦门杏东中学·期中）如图，已知，平分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的角平分线，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 3．（23-24八年级上·莆田·期中）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D.若∠BAC＝128°，∠C＝36°，则∠DAE的度数是(　　) 　　 A．10° B．12° C．15° D．18° 【答案】A 【分析】根据角平分线定义求出∠EAC=64°,根据垂线定义求出∠CAD=54°,相减即可求解. 【详解】解：∵AE平分∠BAC, ∠BAC＝128°， ∴∠EAC=64°, ∵AD⊥BC,∠C＝36°， ∴∠CAD=54°, ∴∠DAE=∠EAC-∠DAC =64°-54°=10°, 故选A. 【点睛】本题考查了角平分线的定义,垂线的定义,属于简单题,表示出∠EAD=∠EAC-∠DAC是解题关键. 三角形内角和定理应用 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和等于列式进行计算即可得解，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：D． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）1.如图，，，则是（    ）    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种都有可能 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形， 故选：B． 3．（23-24八年级·福建永泰·期中）将一把直尺和一块三角板如图放置，若，则的度数为 °．    【答案】130 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出，再根据邻补角定义求出，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可． 【详解】解：∵，    ∴， ∴， ∵直尺的两边互相平行， ∴． 故答案为：130． 【点睛】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键． 4．（23-24八年级·福建漳州·期中）已知，，则 ． 【答案】 【分析】，，由得，计算即可求出的度数． 【详解】解：，， 得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和及其应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5．（23-24八年级·福州平潭·期中）如图，在中，是边上的高，平分 交边于点，，求度数．    【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理，求出的大小是解题的关键． 利用角平分线的定义可求出的大小，在中，利用三角形内角和定理可求出的大小，再结合，即可求出的大小． 【详解】解：平分， ． 在中，， ． ． 三角形外角和的应用 1．（2023·福建厦门·期中）如图，在中，，，点D在边的延长线上，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级上·莆田仙游·期中）如图，，，，则的度数为(   )    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质得到，利用三角形外角的性质得到，由此求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，三角形外角性质，熟练掌握平行线的性质及三角形的外角性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，，在上，在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】此题考查了三角形的内角和及外角性质，利用三角形内角和定理先求出，然后利用外角性质即可求出的度数，熟练掌握三角形的内角定理和及外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·福州晋安·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，若，，则 ．    【答案】 【分析】利用三角形的外角先求出的度数，再求出的度数，然后再利用三角形的外角即可求得的度数； 【详解】∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．注意三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 5．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在直角中，，是斜边上的高，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形内角和和外角和的求解， （1）利用三角形外角等于不相邻两个内之和即可求得答案； （2）利用前一问的结果和三角形外角定理即可求得答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 多边形的内角和与外角和 1．（23-24八年级上·福州·期中）一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式：边形的内角和为：进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得， 故多边形是九边形． 故选：C． 2．（23-24八年级上·龙岩连城·期中）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的内角和公式、多边形外角和为等知识，先设这个多边形的边数为，由题意，结合多边形内角和公式及外角和为列方程求解即可得到答案，熟记多边形的内角和公式、多边形外角和为是解决问题的关键． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 多边形的内角和是外角和的2倍， ，解得， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如果一个n边形的内角和等于它的外角和，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查多边形的内角与外角，掌握多边形的内角和的计算方法以及外角和是是正确解答的关键． 根据多边形的内角和的计算方法以及多边形的外角和是列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：4． 4．（23-24八年级上·福州福清·期中）如图，五边形中，，、、分别是、、的外角，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补得到以点、点为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：延长，， ， ， 根据多边形的外角和定理可得， ． 故选：． 5．（2023·福建漳州·期中）如图，一个正方形和一个正五边形各有一边，在直线上，且只有一个公共顶点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正四边形和五边形的外角，三角形内角和性质，利用正多边形的性质求出每个内角，和的度数即可，掌握正多边形的内角和及正确理解多边形内角和与外角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：正五边形的一个内角，正方形的一个内角， ∴，， ∴， 故答案为：． 三角形中的折叠问题 1．（22-23八年级上·福建南平·期中）如图，中，，将沿折叠，点落在处，则的度数为（　　） A．140° B．60° C．70° D．80° 【答案】A 【分析】由折叠得到与的关系，利用四边形的内角和得到，再利用平角得到，可得到最终结果． 【详解】解：是折叠而成的， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了四边形的内角和，掌握折叠的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键． 2．（22-23八年级上·福建龙岩·期中）如图，把纸片沿折叠，当点落在四边形内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查四边形的内角和，三角形内角和，根据四边形的内角和为及三角形内角和，就可求出这一始终保持不变的性质．解决本题的关键是熟记翻折的性质． 【详解】解：， 理由：如图：延长，交于一点N，由翻折性质，知道点N与点A关于对称 则在四边形中，， 因为把纸片沿折叠， 所以， 因为， 则， ∴可得． 故选：B． 3．（22-23八年级上·福建漳州·期中）如图所示，中，边上有一点D，使得，将沿翻折得，此时，则 度． 【答案】90 【分析】根据可得，再根据翻折的性质可得，最后根据三角形的内角和求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵沿翻折得， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 故答案为：90． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行内错角相等，翻折前后对应边相等对应角相等． 4．（22-23八年级上·福建厦门·期中）如图，，，将沿折叠，使得点B落在边上的点F处，若且为等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】为等腰三角形，要分类讨论：情况一，当时， ，，，由此即可求解；情况二，当时，，，由此即可求解；情况三，当时，点与点重合，不符合题意． 【详解】解：情况一：当时， ∴， 在中，将沿折叠， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； 情况二：当时， ∴， 同理可知， ∴； 情况三：当时，点与点重合，不符合题意． 综上所述，的度数是或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，翻折变换等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． 5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，则，根据三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据三角形中线求面积 1．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，点，，，分别是线段，，，的中点，设四边形的面积为2，则的面积为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的中线的性质、三角形面积公式．连接，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答即可． 【详解】解：如图，连接， 点，分别是线段，的中点， ，， ， ， 点是线段的中点， ， 故选：D． 2．（23-24八年级上·三明·期中）如图，在中，点、分别为、的中点，，若的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题灵活考查了三角形的面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题关键．根据点、分别为、的中点，求出，，进而求出，再根据三角形的面积公式，由，求出，最后得出的面积． 【详解】解：点、分别为、的中点， ，， ， ， ， 的面积为：； 故选：C 3．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，在中，点D，E分别在，上，，若，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的面积，一元一次方程的应用，根据已知条件找到相等关系列出方程是解题的关键．设，则可得到，利用同底等高，结合，得到点是的中点，由此得到，进而利用列方程即可求解． 【详解】解：设， 则， 且两个三角形等高， ，即点是的中点， ， ，， 解得， ． 故答案为：6． 4．（23-24八年级上·莆田·期中）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，且的面积是4，则的面积是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形的面积公式：底高．依据三角形的面积公式及点D、E、F分别为边、、的中点，推出，从而求得的面积． 【详解】解：设以为底边的高为， 则， 点D、E、F分别为边、、的中点， ， 同理可得，，，， ， ． 故答案为：1． 5．（23-24八年级上·漳州·期中）如图所示，已知分别是的高和中线，，． 试求： (1)的长； (2)的面积； (3)和的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了中线的定义、三角形中线的性质、三角形周长的计算，解题的关键是掌握等面积法和三角形中线的性质． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）根据与是等底同高的两个三角形，它们的面积相等求解即可； （3）由于是中线，那么，于是的周长的周长，化简可得的周长的周长，即可求其值． 【详解】（1）解：，是边上的高， ， ， 即的长度为； （2）解：如图，是直角三角形，，，， ． 又是边的中线， ． 的面积是． （3）解：为边上的中线， ， 的周长的周长， 即和的周长的差是． 八字模型 1．（23-24八年级上·漳州·期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D， ∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D， ∴∠2＞∠D， 故选项A，B，C正确， 故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 燕尾模型 1．（23-24八年级上·三明·期中）如图，若，则 ． 【答案】230° 【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论． 【详解】解：如图 ∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质． 2．（23-24八年级上·厦门·期中）如图，在中，D是上一点，E是上一点，、相交于点F，，，．求的度数． 【答案】 【分析】先由三角形外角的性质求得，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ 在中， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键． 3．（23-24八年级上·漳州·期中）如图所示，已知四边形，求证． 【答案】见解析 【分析】方法1连接BC，根据三角形内角和定理可得结果； 方法2 作射线，根据三角形的外角性质得到，，两式相加即可得到结论； 方法3延长BD，交AC于点E，两次运用三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】方法1如图所示，连接BC. 在中，，即. 在中，， ； 方法2如图所示，连接AD并延长. 是的外角， . 同理，. . 即. 方法3如图所示，延长BD，交AC于点E. 是的外角， . 是的外角， . . 【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理． 4．（23-24八年级上·福州闽侯·期中）如图，中， (1)若、的三等分线交于点、，请用表示、； (2)若、的等分线交于点、（、依次从下到上），请用表示，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得，再由、的三等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解； （2）根据三角形的内角和定理可得，再由、的等分线交于点、，可得再根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵、的三等分线交于点、， ∴ ∴， ； （2）解：∵， ∴， ∵、的等分线交于点、， ∴ ∴， ． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线三角形的内角和问题，熟练掌握三角形的内角和定理，并利用类比思想解答是解题的关键． 双角平分线模型 1．（23-24八年级上·福州·期中）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P． 法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可． 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D， ∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线 ∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE， ∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°， 整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD， 即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°． 故选A. 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 2．（23-24八年级上·宁德·期中）如图，平分，平分，与交于点，若，，则（    ） A．80° B．75° C．60° D．45° 【答案】C 【分析】连接先求解 再求解 可得 再利用角平分线的定义可得： 从而可得： 再利用三角形的内角和定理可得的大小. 【详解】解：连接 平分，平分， 故选： 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的定义，熟练利用三角形的内角和定理求解与之相关的角的大小是解题的关键. 3．（23-24八年级上·厦门翔安·期中）如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 4．（23-24八年级上·龙岩·期中）如图，在△ABC中， (1)如果AB=4cm，AC=3cm，BC是能被3整除的的偶数，求这个三角形的周长． (2)如果BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线． a、当∠A=45°时，求∠BPC的度数． b、当∠A=x°时，求∠BPC的度数． 【答案】(1)13cm (2)a、112.5°；b、90°＋x° 【分析】（1）利用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边，得出BC的取值范围为1＜BC＜7，再根据BC是能被3整除的偶数，得到BC=6 cm，再求出周长为13 cm． （2）利用三角形的内角和等于180°，先求出∠ABC+∠ACB，再利用角平分线平分角的知识，求出∠PBC+∠PCB，然后再一次用三角形内角和等于180°，求出∠BPC． 【详解】（1）∵AB=4 cm，AC=3 cm ∴1＜BC＜7 ∴BC=6 cm ∴三角形的周长为： C△ABC=AB+AC+BC =4+3+6 =13cm （2）a、当∠A=45°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−45°=135° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×135° =67.5° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−67.5° =112.5° b、当∠A=x°时，由三角形的内角和可知： ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°− x° ∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线 ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB ∴∠PBC+∠PCB=∠ABC+∠ACB = (∠ABC+∠ACB) =×(180°− x°) =90°−x° ∴∠BPC=180°− (∠PBC+∠PCB) =180°−(90°−x°) =90°＋x° 【点睛】本题考查有关三角形的知识．第一小问的解题关键是运用三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两之差小于第三边进行解答；第二小问的解题关键是运用三角形的内角和等于180°，以及角平分线平分角的知识结合一起解答，在求角度时，有时不一定需要每个角都求出来，可以利用整体思想． 5．（23-24八年级上·福州闽清·期中）如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．    (1)如果∠A＝70°，求∠BPC的度数； (2)如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系． (3)如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数． 【答案】(1) (2) (3)∠A的度数是或或或 【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB=55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可； （2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根据三角形内角和定理求出即可； （3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ=90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可 【详解】（1）∵∠A＝70°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°， ∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点， ∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB， ∴∠PBC+∠PCB＝55°， ∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°； （2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A， ∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点， ∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB， ∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A， ∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A； （3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线， ∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线， ∴∠ACF＝2∠BCF， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ECF＝∠EBC+∠E， ∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E， 即∠ACF＝∠BC+2∠E， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A， ∴∠A＝2∠E， 即∠E＝A， ∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ ＝∠ABC+MBC ＝（∠ABC+∠A+∠ACB） ＝90°， 如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况： ①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°； ②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°； ③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°； ④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°， 综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，熟练掌握知识点及运用分类讨论思想是解题的关键． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$