精品解析：上海市七宝中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷

七宝中学2024学年第一学期高二数学开学练习卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线过点，法向量为，则的一般式方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】首先得到直线的方向向量，从而得到直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程，最后化为一般式即可. 【详解】因为直线过点，法向量为， 所以直线的方向向量可取， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 2. 已知集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式得集合A，化简集合B，再根据交集运算即可得结论. 【详解】， ， 则，又， . 故答案为：. 3. 已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】可知也是实系数一元二次方程的根，从而利用韦达定理求解． 【详解】是实系数一元二次方程的根， 也是实系数一元二次方程的根， ，， 解得，，故. 故答案为：4 4. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据指对互化，以及对数换底公式和运算公式，即可求解. 【详解】由，得，， 所以. 故答案为：1 5. 已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 6. 若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为______________． 【答案】x＋3y－3＝0 【解析】 【详解】解析：（解法1）在直线上取点（1，0），其绕原点按逆时针方向旋转90°后得到点（0，1），按逆时针方向旋转90°，倾斜角增加90°，故所得直线斜率为－，从而所求直线方程为x＋3y－3＝0. （解法2）在直线上取两点（1，0）和（0，－3），它们绕原点按逆时针方向旋转90°后分别得到点（0，1）和（3，0），进而可得所求直线方程为x＋3y－3＝0. 7. 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】直角三角形中较小的内角为，斜边为1， 则直角三角形的两条直角边分别为， 所以小正方形的边长为，即， 也即，可得， 因， 因为锐角，则. 故答案为：. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一. 【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式. 9. 已知数列满足则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用累加法求出an＝33+n2﹣n，所以，设f（n），由此能导出n＝5或6时f（n）有最小值．借此能得到的最小值． 【详解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴当n≥2时，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+33＝n2﹣n+33 且对n＝1也适合，所以an＝n2﹣n+33． 从而 设f（n），令f′（n）， 则f（n）在上是单调递增，在上是递减的， 因为n∈N+，所以当n＝5或6时f（n）有最小值． 又因为，， 所以的最小值为 故答案为 【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性． 10. 如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】用来表示，再用向量的数量积化简，结合余弦型函数求值域即可. 【详解】连接，则， 由题可设，则， 所以 ， 因为，所以， 故. 故答案为：. 11. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是______.. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数与对数函数的图象作出函数图象，利用数形结合及对勾函数的性质计算即可. 【详解】作函数的图象如下图所示： 由图象可知，方程有四个不同的解，且， 需满足， 则由二次函数的对称性可知，， 由对数函数的图象及性质可知，，，， 则，， ∴，， 而函数在递减，在上递增， 当时，，当或4时，，故其取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：函数零点求参问题通常利用数形结合思想，及常用结论：对于方程有两根，且该两根之积为定值1，化简，再根据参数范围及对勾函数的性质计算即可. 12. 设定义域为的函数的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点是C上任意一点，向量，且满足，又设向量，现定义函数在上“可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中为常数.给出下列结论： ①A、B、N三点共线； ②直线MN的法向量可以为； ③函数在上“可在标准1下线性近似”； ④函数在上“可在标准k下线性近似”，则. 其中所有正确结论的序号为_______. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据题意得到得到①正确，计算得到得到轴，②正确，取，计算得到，③错误，，根据均值不等式得到答案. 【详解】对①，，即，即，故三点共线，①正确； 对②，，，， 故，，故，即轴，即直线的法向量可以为，故②正确； 对③，当，则，当，则，则，， 取，则，故，，故，即，③错误； 对④，函数在上，易知该函数在上单调递增，当，，当，， 则，，故直线方程为：. ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故答案为：①②④. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】在向量非零向量的情况下， 若，即， 即有，即． 又，故， 又，所以，即方向相反，故， 即“”是“”的必要条件； 若，则共线，但与的方向可能相同也可能相反， 所以由推不出，故充分性不成立； 综上所述，“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 14. 已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入代简可得，则，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】设，则，得 ， 所以，化简得， 所以， 所以 ，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 15. 设为数列的前n项和，k为常数且，有以下两个命题： ①若是公差不为零的等差数列，则是的充分非必要条件， ②若是等比数列，则是的充要条件，那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①、②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①、②都是假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由等差数列和等差数列的前项和性质分析①的真假，由等比数列和等比数列的前项和性质分析②的真假，综合可得答案. 【详解】根据题意，对于命题①，是公差不为零的等差数列， 若，则在中，至少有一项为， 假设，则， 必有， 反之，在等差数列中，若， 则，有，则成立， 但不成立， 则是的充分非必要条件，故①正确； 对于命题②，若是等比数列，设其公比为，若，时， 有，则中，至少有一项为，则， 假设，则有，必有， 又由，必有为偶数且，故， 反之，若，则，必有，则有，， 则，所以是等比数列， 则是的充要条件， 故②正确. 故选：B. 16. 若存在常数a，b，使得函数对定义域内的任意x值均有，则关于点对称，函数称为“准奇函数”.现有“准奇函数”，对于任意，都有，则函数在区间上的最大值与最小值的和为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】令，，根据“准奇函数”的定义可确定，都关于对称，则由对称性可得的最值之和，进而得到的最值之和. 【详解】令，则， 关于点中心对称； 令，则， 关于点中心对称； ，， 设在处取得最大值，则在处取得最小值 ， ，即的最大值与最小值的和为. 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. （1）求的通项公式： （2）若，为数列的前n项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为不为，由已知可得，求解可得的通项公式： （2）由（1）可求数列的通项公式，进而可求数列的前n项和，进而可求. 【小问1详解】 设等差数列的公差为不为， 因为，成等比数列，所以， 整理得，解得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 18. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两直线垂直得到直线斜率，用点斜式写出直线方程. （2）由倾斜角关系得到直线斜率，由点斜式写出直线方程，联立直线方程组，解出交点坐标. 【小问1详解】 ∵，∴且，∴， ∵，∴直线：，即 【小问2详解】 ∵，∴，∴ 方程，令，则，∴， ∴，∴， ∴直线： 联立方程，解得 即 19. 如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（，在上，，在半圆上，为圆心），已知全长. （1）求枫叶林面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）. 【答案】（1）； （2）元. 【解析】 【分析】（1）设，则且，根据计算即可求解. （2）记，根据已知条件、结合正弦定理得且，再依据角取值范围结合三角恒等变换公式计算即可得解. 【小问1详解】 设，则，且，， 所以， 故当，即时，矩形枫树林面积取得最大值，为. 【小问2详解】 因为，所以，记， 由正弦定理有，，， 则 ， ，其中，，且， 当时，取得最大值， 所以修建观景木质栈道所需的费用最多为元. 20. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义计算即可得； （2）可结合函数单调性计算，亦可借助换元法解不等式； （3）计算出及的值域后，对任意的，总存在，使得成立即为的值域为的值域的子集，计算即可得. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，所以， 即在定义域上恒成立， 整理得，故； 【小问2详解】 解法一：由（1）知， 所以函数在和上单调递减， 且当时，，当时，， 所以，解得； 所以此时不等式的解集为； 解法二：因为， 令，则可化简为， 即，即， 解得，即． 所以此时不等式的解集为； 【小问3详解】 在的值域， 又，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， 又对任意的，总存在，使得成立，即， 所以，解得. 21. 已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． （1）已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； （2）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； （3）设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）或 （3）存在， 【解析】 【分析】(1)直接利用点到直线的有向距离公式进行计算即可. (2)分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别利用点到直线的有向距离公式进行化简，即可求出直线方程. (3)分和，分别计算出，然后根据题意 可得出关于和的等量关系，进行求出的结果. 【小问1详解】 由直线，直线，根据点到直线的有向距离公式得， ，； 即， 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时，舍去； 当直线的斜率存在时，直线的方程为， 由题意,所以直线可化为， 假设，则，解得或． 所以存在直线的方程为或； 【小问3详解】 当时，直线， ， 由，整理得 ，，，，即， 当时，直线， 得， 由， 即， 或，解得 或， 由题意对任意的参数都有恒成立，所以， 综上所述，存在实数满足题目条件，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七宝中学2024学年第一学期高二数学开学练习卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 直线过点，法向量为，则的一般式方程为________. 2. 已知集合，则______. 3. 已知i为虚数单位，是实系数一元二次方程的一个虚根，则______. 4. 若，则______． 5. 已知直线，点到直线的距离等于，则____________ 6. 若将直线y＝3x－3绕原点按逆时针方向旋转90°，则所得到的直线的方程为______________． 7. 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________． 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______． 9. 已知数列满足则的最小值为__________. 10. 如图，，，点在以为圆心的圆弧上运动，则的取值范围是________. 11. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，的取值范围是______.. 12. 设定义域为的函数的图象为C，图象的两个端点分别为A、B，点O为坐标原点，点是C上任意一点，向量，且满足，又设向量，现定义函数在上“可在标准k下线性近似”是指恒成立，其中为常数.给出下列结论： ①A、B、N三点共线； ②直线MN的法向量可以为； ③函数在上“可在标准1下线性近似”； ④函数在上“可在标准k下线性近似”，则. 其中所有正确结论的序号为_______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知非零平面向量，，那么“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 15. 设为数列的前n项和，k为常数且，有以下两个命题： ①若是公差不为零的等差数列，则是的充分非必要条件， ②若是等比数列，则是的充要条件，那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①、②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①、②都是假命题 16. 若存在常数a，b，使得函数对定义域内的任意x值均有，则关于点对称，函数称为“准奇函数”.现有“准奇函数”，对于任意，都有，则函数在区间上的最大值与最小值的和为（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 8 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17. 已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. （1）求的通项公式： （2）若，为数列的前n项和，求. 18. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为. （1）求直线的一般式方程； （2）求直线的一般式方程及点的坐标. 19. 如图，某城市为升级沿河直线绿道的沿途风景，计划在以为直径的半圆形空地内部修建一块矩形枫叶林（，在上，，在半圆上，为圆心），已知全长. （1）求枫叶林面积的最大值； （2）为方便游客休憩打卡，计划在的另一侧修建观景木质栈道，已知段每米的造价为元，段每米的造价是段的两倍，，求修建观景木质栈道所需的费用最多为多少元（结果用表示）. 20. 已知函数为奇函数． （1）求实数的值； （2）求关于的不等式的解集； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 21. 已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． （1）已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； （2）已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； （3）设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $