第四章《图形的相似》单元检测试卷2024-2025学年北师大版数学九年级上册

第四章《图形的相似》单元检测试卷 姓名_ 班级_ 考号_ 一、选择题:本题共10题,每题3分,共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.若,则( ) A. B. C. D. 2.下列各组线段中是成比例线段的是( ) A.1cm,2cm,3cm,4cm B.1cm,2cm,2cm,4cm C.3cm,5cm,9cm,13cm D.1cm,2cm,2cm,3cm 3.如图,已知,,,的长为( ) A. B. C. D. 4.如图,每个小正方形边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与图中相似的是( ) A. B. C. D. 5. 如图,嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为, 若A时和B时两次日照的光线互相垂直,则B时的影长为( ) A. B. C. D. 6. 如图,在平面直角坐标系中,A,B,C,D四个点都在格点上. 若正方形和正方形是以原点O为位似中心的位似图形,且相似比为, 则点的坐标为( ) A.或 B.或 C.或 D.或 7 .大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”, 如图,为的黄金分割点,则下列结论中正确的是( ) ①;②;③;④. A.个 B.个 C.个 D.个 8 .现有一张Rt ABC纸片,直角边BC长为12cm,另一直角边AB长为24cm.现沿BC边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条,如图.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( ) A.第4张 B.第5张 C.第6张 D.第7张 9.如图,在中,点P由点B出发沿方向向点A匀速运动,速度为,同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动,速度为,连接.设运动的时间为,其中.当t为何值时,与相似( ) A.3 B. C.或 D.3或 10. 如图,在矩形纸片中,,,点在上,将沿折叠,点恰落在边上的点处;点在上,将沿折叠,点恰落在线段上的点处, ;∽;; 则下列结论正确的有( ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共6个小题.每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 11.如图,,,,则的长是_ 12.如图,在平面直角坐标系中,正方形与正方形是以点为位似中心的位似图形, 且相似比为,两个正方形在点的同侧,点、、在轴上,其余顶点在第一象限, 若正方形的边长为,则点的坐标为 . 13. 如图,将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折,如果得到两个矩形都与原矩形相似, 则原矩形长与宽的比是_ 14.如图,把 DEF沿DE平移到 ABC的位置,它们重合部分的面积是 DEF面积的,若AB=6,则 DEF移动的距离AD= . 15.如图,在中,,,点P从点A开始沿边向点B以的速度移动,点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动.若点P、Q分别从点A、B同时出发, 问经过 秒钟,与相似. 16. 如图,已知正方形,E为的中点,F是边上的一个动点, 连接将沿折叠得,延长交于M,现在有如下5个结论: ①定是直角三角形; ②; ③当M与C重合时,有;④平分正方形的面积;⑤, 在以上5个结论中,正确的有 . 三、解答题:(本大题共10个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知,且,求值. 18.如图,已知,.求证:. 19. 如图,某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度, 他们通过调整测量位置,使斜边DF与地面保持平行,并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上, 已知米,米,测点D到地面的距离米,到旗杆的水平距离米, 求旗杆的高度. 20.如图,的顶点坐标分别为,,. (1)作出先向左平移4个单位,再向上平移1个单位后得到的; (2)在第三象限内,以点O为位似中心作出的位似图形,使新图与原图的位似比为. (3)在(2)的条件下,若M为边上的中点,则的边上与点M对应的点的坐标为_. 21.如图,正方形中,为上一点,是的中点,,垂足为, 交的延长线于点,交于点. (1)求证:; (2)若,求的长. 22.如图,是一块锐角三角形余料,边,高,要把它加工成矩形零件,使一边在上,其余两个顶点分别在边、上,交于点. (1)当点恰好为中点时,_. (2)若矩形的周长为,求出的长度. 23.如图,在 ABC中,∠C=90 ,AC=3cm,BC=4cm. P、Q分别为AB、BC上的动点, 点P从点A出发沿AB方向作匀速移动的同时,点Q从点B出发沿BC方向向点C作匀速移动, 移动的速度均为1cm/s,设P、Q移动的时间为t(0<t≤4). (1) 当t为何值时, BPQ与 ABC相似; (2)当t为何值时, BPQ是等腰三角形. 24.【问题呈现】 和都是直角三角形,, 连接,,探究,的位置关系. (1)如图1,当时,直接写出,的位置关系:_; (2)如图2,当时,(1)中的结论是否成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由. 【拓展应用】 (3)当时,将绕点C旋转,使三点恰好在同一直线上,求的长. 参考解答 一、选择题:本题共10题,每题3分,共30分.每小题只有一个选项符合题目要求. 1.C.2.B. 3.B.4.B.5 .A. 6 .C 7 .A 8 .C 9.C 10 .B 二、填空题:本大题共6个小题.每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 11.4. 12.. 13 . 14.2 15.2或5 16 .①②③⑤ 三、解答题:(本大题共10个小题,共66分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解:设, ,,, , , , , 的值为. 18.解:证明:∵, ∴,即, ∵, ∴, ∴. 19.解:,, , , 即, 解得, ,,, , 四边形是矩形, , (米). 答:旗杆的高度为14米. 20.(1)解:如图,为所求图形; (2)解:根据相似比可得,, 如图,为所求; (3)解:根据题意,若M为边上的中点, . 故答案为:. 21.(1)证明:∵四边形是正方形, ∴,,, ∴, 又∵, ∴, ∴, ∴; (2)解:∵四边形是正方形,, ∴,, ∴, ∵是的中点, ∴, ∵, ∴, 即, ∴. 22.(1)解:∵为中点, ∴, ∵在矩形中,, ∴,, ∴, ∴, ∴. 故答案为:. (2)解:∵四边形为矩形, ∴, ∵, ∴, ∴ ∴. ∴四边形为矩形, ∴,, ∵矩形的周长为 ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴. 23.解:(1)∵在 ABC中,∠C=90 ,AC=3cm,BC=4cm. ∴AB=(cm). ∵ BPQ和 ABC有公共角∠B, ∴①当时, BPQ∽ BCA, 由此可得: , 解得: ; ②当时, BPQ∽ BAC, 由此可得: , 解得: ; ∴当或时, BPQ与 ABC相似; (2) ①如图1,当BP=BQ时, BPQ是等腰三角形, 由题意可得: ,解得: ; ②如图2,当BQ=PQ时,过点Q作QE⊥AB于点E, 则BE=PE=BP=,∠BEQ=∠C=90 , 又∵∠B=∠B,∴ BEQ∽ BCA, ∴,即 ,解得: ; ③如图3,当PB=PQ时,过点P作PE⊥BC于点E, 则BE=EQ= ,∠BEP=∠C=90 , 又∵∠B=∠B,∴ BEP∽ BCA, ∴,即,解得: ; 综上所述,当, , 时, BPQ是等腰三角形. 24.(1)解:∵, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, ∵, , ∴, ∴; 故答案为:. (2)解:成立;理由如下: ∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∵, , ∴, ∴; (3)解:当点E在线段上时,连接,如图所示: 设,则, 根据解析(2)可知,, ∴, ∴, 根据解析(2)可知,, ∴, 根据勾股定理得:, 即, 解得:或(舍去), ∴此时; 当点D在线段上时,连接,如图所示: 设,则, 根据解析(2)可知,, ∴, ∴, 根据解析(2)可知,, ∴, 根据勾股定理得:, 即, 解得:或(舍去), ∴此时; 综上分析可知,或. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$