九年级上册 第4章 微专题5 相似三角形的基本模型(课时作业)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(北师大版)

宝典训练·数学·九年级全册（北师大版） 微专题5相似三角形的基本模型 模型一A字型（有公共角） D 人2 B C (1)条件：DE∥BC(如图)， (2)条件：∠1=∠2（如图）， (3)条件：∠1=∠2（如图）， 结论：①△ADE∽△ABC 结论：①△AED∽△ABC 结论：①△ACD△ABC ②品能脹 @把-8暖 AB BC ②架能品 BC ③AC=AD·AB 1.如图，已知∠A=70°，∠APC 2.如图，在△ABC中，DE∥BC, =65°，AC2=AP·AB,则 AE-2,EC =1,则 DE B ∠B的度数为 BC ( A.45° B.50° C.55° D.60° 3.如图，点D,E分别在△ABC的边 4.如图，在△ABC中，P为边 AB,AC上，且∠B=∠AED,若 AB上一点，且∠ACP= DE=3,AE=4,BC=9,则AB的 ∠B,若AP=3,BP=2,则 长为 AC的长为 模型二8字形（有一组隐含的等角，即对顶角相等） (1)条件：∠A=∠C (1)条件：∠A=∠C (或∠B=∠D)(如图)， (或∠B=∠D)(如图)， 结论：①△ABOx△CDO 结论：①△ABO∽△DCO ②A0-B0-AB CO DO CD @800 5.如图，在菱形ABCD中，点E在AD上，若6.如图，在☐ABCD中， AE:AB=1:3,则EF:FC E是AD的中点，AC 与BE交于点F,过点 G F作FG∥BC交AB于点G.若BC=6,则 FG的长为 7.如图，AD与BE交于点C,∠A=∠E.若DE=2AB,AC=4,则CE= 44 第四章图形的相似 模型三母子型（双垂直） 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC (1)求证：△ABC∽△DBA; (2)若BD=4,DC=5,求AB的长. B 条件：∠BAC=∠1=90°（如图）， 结论：①△ABCc∽△DBA∽△DAC ②AB2=BD·BC ③AC=CD·BC ④AD=BD·CD 模型四 一线三等角 特征：两个三角形的一条边在一条直线上，并且有一个顶，点重合 结论： (1)一线三垂直型 (2)一线三等角型 已知：∠1=∠2=∠3=90°， 已知：∠B=∠ACE=∠D=a, 结论：①△ABC∽△CDE, 结论：①△ABCp△CDE, E ②AB·DE=BC·CD, ②AB·DE=BC·CD, 61 ③当点C为BD边的中点时， ③当点C为BD边的中点时， △ABC∽△CDE∽△ACE. △ABC∽△CDEp△ACE. 9.如图，在边长为9的等边△ABC中，BD=3, 11.【综合与实践】如图，在矩形ABCD中，AB= ∠ADE=60°，则AE= 2,AD=4,三角板EFG的直角顶点E在矩 形ABCD的边AD上，∠EFG=30°，将 △EFG绕点E旋转.当直角边EF经过点 B,EG的延长线经过点C时. (1)求证：△ABE∽△DEC; 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, (2)求AE的长. 点D是BC边上的一个动点（不与B,C点重 合)，∠ADE=45°.若BC=4√2，BD=√2，则 EC= 45高效课堂宝典训练数学九年级全册（北师大版） 10.解：(1)4：1 设AG所在直线的解析式为y=kx十b (2),四边形ABCD是平行四边形， (k≠0)，将点A,G的坐标代人得 .AD∥BC,AD=BC (3)顺次连接A'B',BC',CD',DA' ∴.△ADF∽△EBF. 得到所要画的四边形A'B'CD', 2架得合1， 一1=b, E为BC的中点0号， 2 同理，在点O的另一侧也可以作出符合 .此函数的解析式为y=x一1，与EC 条件的四边形A'B'CD',图略. 的交点坐标是(1,0)； .C△ADF:C△EmF=2:l. 10.解：(1)∠DAP=∠CBP,∠DPA= (2)当A和E是对应顶点，C和G是对 C△ADF=24,.C△mF=12. ∠CPB,∴.△ADP∽△BCP. 应顶点时，位似中心就是AE与CG的 11.解：(1)由题意得AP=3xcm, 如果两个图形不仅是相似图形，而且对 交点，设AE所在直线的解析式为y QC=4x cm,.'.AQ=(16-4x)cm. 应顶点的连线相交于一点，那么这样的 x十b(k≠0)，将点A,E的坐标代入 BA=BC,∴.∠A=∠C 两个图形叫做位似图形，这个点叫做位 1 ①当△APQn△CQB时，CQ-BC, AP AQ 似中心，而由图可知△ADP与△BCP k= 13k十b=2, 解得 2 的对应点的连线不交于一个点， 得 一k+b=0, 1 即-162，解得= 7 b= 12 ∴.△ADP与△BCP不是位似图形 2, ②当△APQc∽△CBQ时， (e:△ADPABCP,0-路， 故此一次函数的解析式为y= 2x十 C能，即l64红-3红 AQ AP 4x129 R-路叉：∠DC=∠APB. 0. 解得=-2+2√5，x2=-2-25 △DPCAAPB,0品， 同理，设CG所在直线的解析式为y= (舍去) x十b(≠0)，将点C,G的坐标代入得 综上所述，当x为子或-2+25时， △APQ与△CQB相似. 即哈-受PA=6 3 15十b=0,解得 b=-1, 11.D b=-1, (2)当8=子时，5am=是5a. S△ABC .'△BQC的QC边上的高和△ABC 第13课时图形的位似(2) 故此直线的解析式为y号。-1@。 1.A2.C3.C4.(0,2)5.3:4 联立①②得 的AC边上的高相等，QC=子AC= 6.解：A(0,1),B(2,0), y=2x+2 4 cm. .OA=1,OB=2. 解得一5， 1 y=一2， 此时运动的时间为1s,则AP=3cm, ,矩形AOBC与矩形DOEF是位似图 y=5x-1, BP=AB-AP=12-3=9(cm). 形，O为位似中心，相似比为1：√2， 故AE与CG的交点坐标是(-5，一2). ∴OA:OD=OB:OE=1:√2， 综上所述：位似中心的坐标是(1,0)或 ∴品品方 2 1 (-5,-2) SABPO-16SAMBC:'SABrQ S△ABC 16 ∴.OD=√2，OE=2√2， 微专题5相似三角形的基本模型 第12课时图形的位似(1) 点F的坐标为(2√2√②). 1B2.D3D4D5.246号 7.D8.(-2,3) 1A2号 3.124./155.2:3 6.27.8 9.解：(1)如答图所示， 7.解：(1)AC∥A'C.理由如下： 8.(1)证明：.AD⊥BC, .△ABC与△A'BC'是位似图形 ∴.∠ADB=∠BAC=90° .△ABCC∽△A'B'C', 又'∠B=∠B,∴.△ABC∽△DBA .∠A=∠CA'B',∴.AC∥A'C (2)解：BD=4,DC=5, (2):△ABC与△A'B'C'是位似图形， .BC=BD+DC=4+5=9 点0为位似中心“瓷=号=是 AABC△DBA器-品 .0C=5,∴.0C=10. ∴.AB=BD·BC=4X9=36..∴AB=6. .CC=OC-0C=10-5=5. 答图 8.50 (2)如答图所示，C"(1,0), 9.7102 9.解：如答图 5am=6×4-7×2X6-2×2X4 1 11.(1)证明：.四边形ABCD为矩形，三 角板EFG为直角三角形，∴·∠A= 2×2×4=24-6-4-4-10. ∠D=∠CEB=90°..∠AEB+ ∠ABE=∠AEB+∠CED=90°. 10.解：：正方形ABCD和正方形OEFG .∠ABE=∠CED. 0 答图 中A和点F的坐标分别为(3,2)，( ∠A=∠D,∴△ABE∽△DEC 画法如下： 1,-1), (2)解：四边形ABCD为矩形， (1)过点O分别作射线OA,OB,OC, .E(-1,0),G(0,-1),D(5,2),B(3, ∴.CD=AB=2. OD 0),C(5,0), 由(1)得，△ABE∽△DEC, (2)分别在射线OA,OB,OC,OD上取 (1)当E和C是对应顶点，G和A是对 点4，，C,,使得祭-8器8瓷 应顶点时，位似中心就是EC与AG的 品-是5-入 2-4-AE 交点， 解得AE=2. 44. 参考苔案 微专题6相似三角形中辅助线 ∴.△DFA≌△EFH.∴.DF=EF 设AH=GH=xm,则EH=EG十GH 的构造—平行线 (2)结论：MF=AM+FC. =(x十1.7)m, 1.B 证明：如答图3， :∠CGE=∠AHE=90°，∠CEG= 2.证明：如答图，过点D 过点D作DG∥ ∠AEH, 作DG∥CF交AB于 BC,交AC于点 △CEG∽△AEH,A7-Ei, CG EG 点G. G,由思路1可 DG∥CF,D为BC 知，DA=DG, 的中点. B △DFG≌△EPFC 答图 ..FG=FC. 解得x=27.2, ∴G为BF的中点， FG-BG=号BF. ,DM⊥AG,∴.AM=GM. ∴.AB=AH+BH=28.2m. .MF=GM+FG,..MF=AM+FC. 答：避雷针顶端A的高度AB为28.2m ,EF∥DG, 11.解：如答图，过点E作EG⊥AD于点 、AE=AF ·DEFG1 AF __2AF 第14课时《图形的相似》 G,延长EB至点H,使BH=BF,连接 BF· FH, 热门考点整合应用 3.证明：如答图，过点 1.D2.B3.C4.2+15.(3+√5) C作CF∥AB,交 6.解：(1)如答图所示，△A1B1C即为所 DE于点F, 求 E 答图 ∴∠FCD=∠B.又 ,在Rt△AEG中，∠A=60° ∠D为公共角， CF CD ∴.∠AEG=30°，∴.AG= ·△CDF∽△BDE.BEBD 2AE= 5 2 .点M为AC边的中点，∴.AM=CM, EG-AE-AG-5/3 2 ,CF∥AB,∴.∠A=∠MCF 又.'∠AME=∠CMF, 4DG-AD-AG- .△AME≌△CMF.,AE=CF. .DE=√DG+EG=√I29. AE-1 AB,BE-AB-AE, 答图 :四边形ABCD是平行四边形， BE=3AE是-吉 (2)如答图所示，△AB2C即为所求， .BC=AD=13. A2(-2,-2) AB=CD=AE+BE=21,AD//BC, 能-品能品 7.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边 ∴.∠FBH=∠A=60°， 形，.AD∥BC,即AD∥BE, 又BH=BF,∴△BFH是等边三角 即BD=3CD. ∴.∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF, 形，.∠H=∠A=∠DEF=60°， 又BD=BC+CD,∴.BC=2CD】 ∴.△ADFC∽△ECF .∠ADE+∠AED=120°， 4.解：(1)（答案不唯 (2)解：四边形ABCD为平行四边形， ∠BEF+∠AED=120°， 一，选一种即可) ∴.AD=BC,AB=CD=8, ,·∠BEF=∠ADE, 思路1：如答图1， :△ADE∽△HEF,小E7- AD AE 过点D作DG∥ 且CB=?AD,即 =3. BC,交AC于点 答图 ,△ADF∽△ECF, 器即B即6品=， 13 5 G,.'AB=BC, ∴.∠A=∠BCA 架器脚器 =3. 解得BF=10,EF=2√129， :DG∥BC, .CD=DF++CF, ∴.CF=BC-BF=3, ∴.∠DGA=∠BCA,∠DGF=∠ECE. .四边形CDEF的周长为DE十EF+ .∠A=∠DGA..AD=DG DF-1 CD-6. CF+CD=24+3/129. ,AD=CE,∴.DG=CE 8A99 又.∠DFG=∠EFC, 10.解：如答图所示， ,∴.△DFG≌△EFC.∴.DF=EF 第五章投影与视图 过点E作EHI 思路2：如答图2， AB于点H,设 第1课时投影 过点E作EH∥ EH,CD交于点 1.A2.D3.B4.125.中心 AB,交AC的延 G,则四边形 6.解：(1)变短 长线于点H, 答图 EFBH、四边形EFDG都是矩形， (2)如答图所示，连接PA,并延长交地 .'AB=BC, .DG=BH=EF=1 m,EG=DF=1. 面于点E,则线段BE为所求作小亮的 ∠A=∠BCA. 答图2 7m,∠CGE=∠AHE=90°， 影子 :EH∥AB, ..CG=CD-DG=1.6 m. .∠A=∠H. .ND=1 m, .'∠ECH=∠BCA ∴点N和点G重合 .∠H=∠ECH,.CE=EH. .∠AGH=a=45°， .AD=CE,∴.AD=EH 答图 .△AGH是等腰直角三角形， 又：∠AFD=∠HFE, ..AH=GH, 7.C8.15cm9. 4 45