精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末检测卷（三）

2024年北师大七年级下册数学期末检测卷（三） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法表示0.00000000005是（ ） A. 5×10－9 B. 0.5×10－10 C. 5×10－11 D. 5×10－12 3. 事件：①打雷后会下雨；②掷一枚均匀硬币，反面朝上；③过十字路口时正好遇到绿灯；④煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，点P是直线l外一点，且，点C是垂足．点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC中点，过点C作CF∥AB与DE的延长线相交于点F，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 7. 有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 9. 如图，中，点是上一点，连接，将沿折叠，使点落在边上点处，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（ ） A. 27 B. 30 C. 33 D. 36 10. 如图，在中，，以为边，在的另一侧作，且，再以为边，作，点E在边 上，连接．下列结论：①；② ；③；④若，则．其中一定正确的结论是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个角的余角比它的补角的多，则这个角为__________． 12. 如果是完全平方式，则的值为________ 13. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____． 14. 如图，已知在中，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，点为线段的中点，连接、，若阴影部分的面积等于，则的面积等于______． 15. 如图，已知长方形中，，，点在边上，，点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，向点运动，点在线段上以的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t=______秒． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 16. 计算： （1）； （2） . 17. 先化简，再求值：，其中． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图， 已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两个内角的夹边等于a． 19. 数学课上，在计算（x+a）（x+b）时，琪琪把b看成6，得到的结果是x2+8x+12，莹莹把a看成7，得到的结果是x2+12x+35．根据以上提供的信息： （1）请求出a、b的值； （2）请你写出原算式并计算正确的结果． 20. 某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数3500人时，每月利润为多少元？ 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； （2）观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值； 22. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）在（1）的条件下，若，求和的值． 23. 如图，直线，相交于点O，平分． （1）【基础尝试】如图（1），若，求的度数； （2）【画图探究】作射线，设，请你利用图（2）画出图形，探究与之间的关系，结果用含x的代数式表示． （3）【拓展运用】在第（2）题中，可能和互补吗？请你作出判断并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年北师大七年级下册数学期末检测卷（三） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则进行计算，再逐一判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，故本选项不符合题意； B、，原计算错误，故本选项不符合题意； C、，原计算错误，故本选项不符合题意； D、，原计算正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 2. 氢原子的半径约为0.00000000005m，用科学记数法表示0.00000000005是（ ） A. 5×10－9 B. 0.5×10－10 C. 5×10－11 D. 5×10－12 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：0.00000000005=5×10-11， 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值． 3. 事件：①打雷后会下雨；②掷一枚均匀的硬币，反面朝上；③过十字路口时正好遇到绿灯；④煮熟的鸡蛋能孵出小鸡．以上事件中随机事件有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：①打雷后可能下雨，也可能不下雨，随机事件；②掷一枚均匀的硬币，可能反面朝上，也可能正面朝上，随机事件；③过十字路口时正好遇到绿灯，也有可能正好遇到红灯或黄灯，随机事件；④煮熟的鸡蛋不可能能孵出小鸡，不是随机事件， 综上，以上事件中随机事件的有①②③共3个， 故选：C． 【点睛】本题考查随机事件的概念，理解概念是解答的关键． 4. 如图，点P是直线l外一点，且，点C是垂足．点A，B，D在直线l上，下列线段中最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短的公理求解． 【详解】根据公理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短”，，所以最短； 故选C． 【点睛】本题考查基本公理“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短”，理解公理是解题的关键． 5. 如图，△ABC中，点D是边AB上一点，点E是边AC的中点，过点C作CF∥AB与DE的延长线相交于点F，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线性质得出∠1=∠F，∠2=∠A，求出AE=EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可． 【详解】解： 解：∵CF∥AB， ∴∠1=∠F，∠2=∠A， ∵点E为AC的中点， ∴AE=EC， 在△ADE和△CFE中 ， ∴△ADE≌△CFE（AAS）， ∴DE=EF，AD=CF，∠A=∠ACF. 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边与对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 6. 如图是雨伞在开合过程中某时刻的截面图，伞骨，点分别是的中点，是连接弹簧和伞骨的支架，且，已知弹簧在向上滑动的过程中，总有，其判定依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据三角形全等的判定方法“”即可证明． 【详解】∵点分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴． 故选：C 7. 有两块总面积相等的场地，左边场地为正方形，由四部分构成，各部分的面积数据如图所示．右边场地为长方形，长为，则宽为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用长方形的面积除以长可得. 【详解】宽为:= 故选：C 【点睛】考核知识点：整式除法与面积.掌握整式除法法则是关键. 8. 如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事． A. ① B. ② C. ③ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形， 所以，最省事的做法是带③去． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，正确理解“角边角”的内容是解题的关键． 9. 如图，中，点是上一点，连接，将沿折叠，使点落在边上的点处，若的周长为21，边的长为6，则的周长为（ ） A. 27 B. 30 C. 33 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据折叠的性质可得：，，再根据的周长为：，即可求解． 【详解】解：将沿折叠，使点落在边上的点处， ，， 的周长为21， ， ， 的周长为： 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质，求三角形周长，熟练掌握和运用折叠的性质是解决本题的关键． 10. 如图，在中，，以为边，在的另一侧作，且，再以为边，作，点E在边 上，连接．下列结论：①；② ；③；④若，则．其中一定正确的结论是（ ） A. ②③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】延长至，使，连接，从而得到，进一步证明，且，利用证明，则，，即可判断①②是否正确，通过线段的等量代换运算推导出③是正确的，设，则，然后可得，所以，进而可判断④． 【详解】解：如图，延长至，使，连接，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ②是正确的，①不正确； ， ∴， ③是正确的， ∵， ∴， 设，则， ，， ， ∴， ④是正确的； 故选C 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质与判定，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一个角的余角比它的补角的多，则这个角为__________． 【答案】27°##27度 【解析】 【分析】设这个角为x，则它的余角为90°－x，补角为180°－x，依据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这个角为x°，则它余角为90°－x，补角为180°－x， 由题可得：90－x＝（180－x）＋12 90－x＝60－x＋12 90－60－12＝x－x 18＝x x＝27 即这个角为27°． 故答案为：27°． 【点睛】此题主要考查了角度的计算，解题关键是依据题意列出方程． 12. 如果是完全平方式，则的值为________ 【答案】1或 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征结合题意即可确定出的值. 【详解】∵是完全平方式， ∴，即， ∴或， ∴或， 故答案为：1或. 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的结构特征，熟练掌握相关公式是解题关键. 13. 如图，假设可以随意在图中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用阴影部分的面积除以整个大正方形的面积即可得． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则整个大正方形的面积为， 阴影部分面积为， 所以这个点取在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求几何概率，正确求出阴影部分的面积是解题关键． 14. 如图，已知在中，点在边上，连接，点为线段的中点，连接，点为线段的中点，连接、，若阴影部分的面积等于，则的面积等于______． 【答案】4a 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，由点为的中点得到，再由点为的中点得到，接着利用点为的中点得到，，从而得到的值． 【详解】解：点为的中点， (cm2)， 点为的中点， (cm2)， 点为的中点， (cm2)，(cm2)， (cm2)， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用中线求三角形的面积，解题的关键是理清三角形面积之间的关系． 15. 如图，已知长方形中，，，点在边上，，点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返，向点运动，点在线段上以的速度由C点向D点运动．点F、G同时出发，当一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间为t秒．若以E，B，F为顶点的三角形和以F，C，G为顶点的三角形全等，则t=______秒． 【答案】2或6##6或2 【解析】 【分析】依题意可知需要分两种情况进行讨论：（1）当点由点向点运动时，①当，时，求出，则可得到的值；②当时，时，由于，因此这种情况不存在；（2）当点折返时，又有以下两种情况：①时，时，不存在这种情况，②当，时，求出，则可得到的值． 【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，到达点后马上折返， 有以下两种情况： （1）当点由点向点运动时， 四边形为矩形，，，， ，， 以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，， 有以下两种情况： ①当，时，此时和全等， ，， ， 点运动的时间（秒； ②当时，时，此时和全等， ，， ， 又，， ，即点在的延长线上，故不存在此种情况； （2）当点折返时，又有以下两种情况： ①时，时，此时和全等， 由（1）②可知：这种情况不存在； ②当，时，此时和全等， 由（1）①可知：， 点运动的路程为： 点运动的时间（秒． 综上所述：若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则为2秒或6秒． 故答案为：2或6． 【点睛】此题主要考查了长方形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解题意，熟练掌握全等三角形判定所需的条件，分类讨论是解答此题的难点，也是易错点之一． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 16. 计算： （1）； （2） . 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简零指数幂、负整数指数幂、同底数幂的除法、有理数乘方，然后计算； （2）利用完全平方公式、多项式乘以多项式进行计算． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题主要考查实数的运算、整式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 17 先化简，再求值：，其中． 【答案】，37 【解析】 【分析】首先根据完全平方公式和平方差公式对原式进行化简，然后去括号合并同类项，最后将m和n的值代入即可求解． 【详解】原式= = = 当时 原式= = =37 【点睛】本题考查了乘法公式的应用，整式的化简求值，重点是记忆完全平方公式和平方差公式． 四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图， 已知∠α和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于2∠α，且这两个内角的夹边等于a． 【答案】见解析 【解析】 【分析】①作射线AM，在射线AM上截取AC＝a． ②分别在直线AC的上方作∠NAC＝α，∠ECA＝2α，射线CE交射线AN于点B，△ABC即为所求． 【详解】解：如图， 如图，△ABC即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 19. 数学课上，在计算（x+a）（x+b）时，琪琪把b看成6，得到的结果是x2+8x+12，莹莹把a看成7，得到的结果是x2+12x+35．根据以上提供的信息： （1）请求出a、b的值； （2）请你写出原算式并计算正确的结果． 【答案】（1）a＝2，b＝5 （2）原式为，正确结果为x2+7x+10． 【解析】 【分析】（1）考查了整式乘法的看错问题，将错就错，即可得出正确的a、b的值； （2）将a、b的值代入式子，利用多项式乘多项式运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：∵琪琪把b看成6，得到的结果是x2+8x+12， ∴， ∴， ∴，， 解得， ∵莹莹把a看成7，得到的结果是x2+12x+35， ∴ ∴ ∴，， 解得， 【小问2详解】 当a＝2，b＝5时， ＝x2+5x+2x+10 ＝x2+7x+10． 【点睛】本题主要考查了整式乘法的看错问题及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 20. 某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x(人)与每月利润(利润＝收入费用﹣支出费用)y(元)的变化关系如下表所示(每位乘客的公交票价是固定不变的)： x(人) 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y(元) ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … (1)在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到_______人以上时，该公交车才不会亏损； (3)请你估计当每月乘车人数为3500人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)x， y；(2)观察表中数据可知，每月乘客量达到2000；(3)每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【解析】 【分析】（1）直接利用常量与变量的定义分析得出答案； （2）直接利用表中数据分析得出答案； （3）利用由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元，进而得出答案． 【详解】解：(1)在这个变化过程中，每月的乘车人数x是自变量，每月的利润y是因变量； 故答案为每月的乘车人数x，每月的利润y； (2)观察表中数据可知，每月乘客量达到观察表中数据可知，每月乘客量达到2000人以上时，该公交车才不会亏损； 故答案为观察表中数据可知，每月乘客量达到2000； (3)由表中数据可知，每月的乘车人数每增加500人，每月的利润可增加1000元， 当每月的乘车人数为2000人时，每月利润为0元，则当每月乘车人数为3500人时，每月利润为3000元． 【点睛】本题考查常量与变量以及函数的表示方法，正确把握函数的定义是解题关键． 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． （1）请用两种不同的方法求图大正方形的面积：方法：______；方法：______； （2）观察图，请你写出代数式：，，之间的等量关系______； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，，求的值； ②已知，求的值； 【答案】（1） ， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景、正方形的面积以及长方形的面积，利用完全平方公式的变形求值，解题的关键是掌握完全平方公式． （1）正方形面积可以从整体直接求，还可以是四个图形的面积和； （2）根据两种方法所表示的面积相等可解答； （3）①利用完全平方公式的变形求解即可； ②设，，则，然后利用完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 解：方法：大正方形的面积为； 方法：大正方形的面积为， 故答案：，； 【小问2详解】 解：由（1）可知； 故答案为：； 【小问3详解】 ， ， ， 又， ； 设，，则， ， ， ， ， 即． 22. 阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值． 解：设，则原方程变为， 整理得，即， ． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． （1）已知实数x，y满足，求的值． （2）在（1）的条件下，若，求和的值． 【答案】（1）3 （2）， 【解析】 【分析】（1）设，则原方程变为，解方程求得，根据非负数的性质即可求得； （2）根据完全平方公式的变形，即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； ， ∴． 【点睛】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，理解“换元法”是解题的关键． 23. 如图，直线，相交于点O，平分． （1）【基础尝试】如图（1），若，求的度数； （2）【画图探究】作射线，设，请你利用图（2）画出图形，探究与之间的关系，结果用含x的代数式表示． （3）【拓展运用】在第（2）题中，可能和互补吗？请你作出判断并说明理由． 【答案】（1） （2）图见解析，或 （3）互补，见解析 【解析】 【分析】（1）由补角的定义可求解∠BOC的度数，结合角平分线的定义可求∠COE的度数，再利用平角的定义可求解； （2）可分两种情况：当OF在∠BOC内部时，当OF在∠AOD内部时，利用平角的定义及角平分线的定义分别求解即可； （3）在AB⊥CD，且OF与OB重合的时候，∠EOF可以和∠DOE互补． 【小问1详解】 ∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=40°， ∴∠BOC=180°-40°=140°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOC==70°， ∵∠DOE+∠COE=180°， ∴∠DOE=180°-70°=110°； 【小问2详解】 ∠EOF=x或∠EOF=180°-x． 当OF在∠BOC内部时，如图， ∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=x°， ∴∠BOC=（180-x）°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOC=（90-x）°， ∵OF⊥OC， ∴∠COF=90°， ∴∠EOF=90°-∠COE=90°-（90-x）°=x°， 即∠EOF=x°； 当OF在∠AOD内部时，如图， ∵∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC=x°， ∴∠BOC=（180-x）°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠COE=∠BOC=（90-x）°， ∵OF⊥OC， ∴∠COF=90°， ∴∠EOF=90°+∠COE=90°+（90-x）°=180°-x°， 即∠EOF=180°-x°． 综上所述：∠EOF=x°或∠EOF=180°-x；° 【小问3详解】 ∠EOF可能和∠DOE互补． 当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC=∠BOD=90°， ∵OE平分∠BOC， ∴∠BOE=BOC=45°， 即∠EOF=45°， ∴∠DOE=∠BOD+∠BOE=90°+45°=135°， ∴∠EOF+∠DOE=180°， 即∠EOF和∠DOE互补． 【点睛】本题主要考查垂线，角平分线的定义，余角和补角，角的计算，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$