吉林省长春市第一〇八学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列式子一定是二次根式的（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 、、、是成比例线段，其中，，，则线段的长可能为（ ） A. B. C. D. 4. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 5. 如图是一架梯子的示意图，其中，且．为使其更稳固，在间加绑一条安全绳（线段）量得，则的长度为（ ） A. 0.8m B. 1m C. 1.5m D. 2m 6. 如图，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画射线，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图像上．若直线的函数表达式为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 10. 表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 187 446 730 1790 10836 成活的频率 0.935 0.892 0.913 0.895 0.903 由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为__．（精确到 11. 若关于x的一元二次方程x2+4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 12. 已知，化简：______． 13. 如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为______． 14. 如图，在中，，，，为的中点．若点在边上，且，则的长为______． 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 如图，时下有一种四人对战桌游十分流行，游戏开始前，四个人通常经过抽签决定座位、、、．小双和小萌一同报名参加了这项桌游． （1）小双抽中座位的概率为______； （2）若面对面座位上的两人视为游戏中的盟友，求小双和小萌成为盟友的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 18. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ 19. 图、图均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．（只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹） （1）在图中找一格点，使为直角三角形，且的正切值为； （2）在图中找一格点，使为直角三角形，且的正切值为； （3）在图中找一格点，在线段上找一点，使为锐角三角形，且的正切值为． 20. 如图，为测量某建筑物的高度，在离该建筑物底部米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为，目高为1.5米．试利用直角三角形的知识，求出该建筑物的高度．（参考数据：，，）． 21. 关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是3，求它的另一个根和的值． 22. 阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为①， 解这个方程得：，． 当时，，； 当时，，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． （1）解方程时，若设，则原方程可转化为______； （2）若，求______； （3）参照上面解题的思想方法解方程：． 23. 【课本再现】定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 定理证明： （1）为了证明该定理，小芸同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，，点是边的中点． 求证：． 【知识应用】（2）如图2，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．若，平分，，则的长为______； 【性质延伸】（3）如图③，在四边形中，，，，．在四边形内存在一点，点到四边形四个顶点的距离均为，则的值为______． 24. 如图，在中，，，，点为边的中点．点从点出发以每秒1个单位的速度沿向终点运动．以为边作正方形，点在射线上．设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示线段的长； （2）连接，则______度；当点与点的距离最短时，线段的长为______； （3）连接，当将正方形的面积分为两部分时，求的值； （4）作点关于直线的对称点，当点、点到的某一条直角边所在直线距离相等时，直接写出的值． 数学试卷 一、选择题（每题3分，共24分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、填空题（每题3分，共18分） 【9题答案】 【答案】4 【10题答案】 【答案】0.9 【11题答案】 【答案】a＜4 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或##4或2 三．解答题（共10小题，共78分） 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】所围矩形猪舍的长为、宽为时，猪舍面积为． 【19题答案】 【答案】（1） 如图， （2） 如图， （3） 如图， 【20题答案】 【答案】建筑物的高度为米 【21题答案】 【答案】（1） 证明：由已知， ， ， ， ∴无论取何值方程总有两个不相等的实数根． （2），另一个根为1 【22题答案】 【答案】（1） （2）4 （3）， 【23题答案】 【答案】 （1）证明：延长至D，使，连接， ∵点O是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2） （3） 【24题答案】 【答案】（1）当时，；当时，； （2）； （3）或 （4）或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $第23题第3小问：如图③， 在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，