25.1 比例线段（4大题型提分练）数学冀教版九年级上册

第二十五章 图形的相似 25.1 比例线段（4大题型提分练） 知识点一、线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 知识点三、黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 题型一 比例的性质 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解：， ，即， 故选：D． 2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据比例的性质得到，再把代入所求式子中约分即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．若，则下列比列式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．据此对各选项分析即可． 【详解】解：A．由得，故不符合题意； B．由得，故不符合题意； C．由得，符合题意； D．由得，故不符合题意； 故选：C． 4．已知，且，则的值是（    ）． A． B．3 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．利用等比性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ∴ ， 故选：． 5．如果，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查把给出的等式改写成比例式的方法，在改写时，要注意：相乘的两个数要作内项就都作内项，要作外项就都作外项．根据比例的性质，把所给的等式，改写成一个外项是x，一个内项是y的比例，则和x相乘的数2就作为比例的另一个外项，和y相乘的数5就作为比例的另一个内项，据此写出结果即可． 【详解】解：因为，所以． 故答案为：． 6．已知，其中，那么 ． 【答案】 【分析】根据比例的基本性质，变形计算即可． 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 7．已知，则的值为 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，利用设法即可解答，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：， 设，， 则， 故答案为：． 8．若实数a，b满足，且，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质求解是解题的关键．由，可得，再由，可得，从而得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：20 9．已知．判断是否成立，并说明理由． 【答案】成立，见解析 【分析】本题考查了比例的性质，等式的性质，熟练掌握比例的性质，等式的性质是解题的关键． 由，可得，根据，可证． 【详解】解：成立 理由如下： ∵ ∴ ∴ ∴． 10．阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 【答案】(1)①若，则；②若，则 (2)见解析 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据题意写出答案即可； （2）运用设参法，证明①时，设设，则，，求出，即可得出结论．同理可证明②． 【详解】（1）解：①若，则； ②若，则． （2）解：①若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． ②若，则． 证明：设，则，， ∴，， ∴． 题型二 比例线段 1．如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段的比，设，则，，据此即可求解． 【详解】解：设，则，， ∴， 故选：D． 2．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键． 【详解】解：设两地间的实际距离为， 由题意得：， 解得：， 两地间的实际距离为， 故选：C． 3．2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，且，米， 米， 故选：D． 4．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（    ） A．3858千米 B．3218千米 C．2314千米 D．1543千米 【答案】A 【分析】根据地图上的距离比等于实际距离比，列式计算即可． 【详解】解：设飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为（千米）， 则：， 解得； ∴飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行的实际距离为千米； 故选：A． 【点睛】本题考查比例尺．熟练掌握地图上的距离比等于实际距离比，是解题的关键． 5．若，则 ． 【答案】3 【分析】先设，可得，，进而得出答案． 【详解】解：∵设， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了比例的计算，掌握分式的基本性质是解题的关键． 6．点在线段上，若  ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比；根据题意，设，根据题意可得，进而即可求解． 【详解】解：∵ 设 ∴ ∴ 故答案为：． 7．已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 . 【答案】厘米/12cm 【分析】根据比例中项的性质：比例中项平方等于两外项的积直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵线段厘米，厘米，它们的比例中项为b， ∴， 解得：（厘米），（厘米）（不符合题意舍去）， 故答案为：厘米； 8．在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米． 【答案】 【分析】根据比例尺的定义，即可解答． 【详解】解：设实际距离为x米， 3厘米米， ， 解得：， 故答案为：60． 【点睛】本题主要考查了比例尺的定义，解题的关键是掌握比例尺是图上距离与实际距离之比，注意单位的统一． 9．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段； （1）设，用含的代数式分别表示出，再由，建立关于的方程，解方程求出的值，从而可求出的值； （2）由已知线段 是线段 和 的比例中项，可得到，代入计算求出的值． 【详解】（1）解：设，则， ∵ ∴ 即， 解得：， ∴； （2）解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵ ∴． 10．上午9时，小丽和小芳为了测量一根旗杆的高度，在同一时间同一地点做了以下实验（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    【答案】这根旗杆的高度为米 【分析】设这根旗杆的高度为x米，根据题意得，即可得． 【详解】解：设这根旗杆的高度为x米， ， ， ， ， 即这根旗杆的高度为米． 【点睛】本题考查了比例的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出比例． 题型三 成比例线段 1．下面四组线段中不能成比例线段的是（   ） A．3、6、2、4 B．4、6、5、10 C．1、2、3、6 D．25、20、4、5 【答案】B 【分析】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据两内项之积等于两外项之积逐项分析即可． 【详解】解：A、，能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，符合题意； C、，能成比例，不符合题意； D、，能成比例，不符合题意； 故选：B． 2．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ） A． B．8 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了比例线段，掌握比例线段的性质是本题的关键．根据四条线段成比例，列出比例式，再把，，代入计算即可． 【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段， ， ，，， ， ， 故选：． 3．已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，根据线段a，b，c，d成比例，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵， ∴ ∴； 故选D． 4．2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（     ） A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 【答案】A 【分析】本题考查了比例尺，比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出式子，根据比例的基本性质即可得出图上的距离． 【详解】解：根据比例尺＝图上距离：实际距离， 得它们之间的图上距离是米厘米． 大约相当于一支粉笔的长度． 故选：A． 5．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 6．已知线段，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的比，将线段的单位化为，然后利用线段的比的定义计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 7．已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 【答案】 【分析】根据是的比例中项，得到，代入计算即可． 本题考查了比例中项的意义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的比例中项， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， 故答案为：6． 8．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的应用，设两地的实际距离是，根据比例尺可得，解比例式即可求解，理解比例尺的意义是解题的关键． 【详解】解：设两地的实际距离是， 由题意得，， ∴， ∵， 故答案为：． 9．已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义． （1）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可； （2）根据四个数a，b，c，d成比例，得出，然后代入数据进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵，，， ∴， 即， ∴． （2）解：∵四个数a，b，c，d成比例， ∴， ∵， ，， ∴， 即． ∴． 10．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【答案】(1)1440m，900m (2)， 【分析】本题考查比例尺： （1）根据比例尺为图上距离与实际距离的比例，进行求解即可； （2）根据图上距离，和实际距离，相比即可得出结果． 【详解】（1）解：∵比例尺为， ∴新安大街的实际长度为：； 光华大街的实际长度为； （2）图上长度之比为：， 实际长度之比为：． 题型四 黄金分割 1．点B是线段的黄金分割点，且．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，解题的关键是熟练掌握黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．根据黄金分割点的定义，用的长度乘以黄金分割比即可． 【详解】解：∵点B是线段的黄金分割点，且， ∴． 故选：D． 2．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可得出答案，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵，支撑点是靠近点的一个黄金分割点， ∴， 故选：C． 3．大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的意义，无理数的估算．先估算得出，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 观察四个选项，选项B符合题意； 故选：B． 4．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， 故选：A 5．已知，则点是的黄金分割点， ． 【答案】 【分析】此题考查了黄金分割，关键是理解黄金分割点的概念，要熟记黄金比的值，计算时要注意的条件． 根据黄金分割点的定义和得出，再根据即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，， ， ， ， ， 故答案为：． 6．科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度为 .（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查黄金比，根据黄金比列式求解即可得到答案． 【详解】解：∵蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，蝴蝶展开的双翅的长度是， ∴蝴蝶的身体长度为： 故答案为：． 7．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义分别求出，，再根据线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点D是靠近点A的黄金分割点，， ∴ ∴， ∴支撑点C，D之间的距离为， 故答案为：． 8．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为进行求解即可． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，， ∴米， 故答案为：． 9．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 【答案】8 【分析】本题主要考查黄金分割的应用，先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义列方程求解． 【详解】解：设她应该穿的高跟鞋的高度大约是， 根据题意得：，即 ， ∴， 解得： 答：她应该穿的高跟鞋的高度大约是8． 10．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    【答案】这双高跟鞋的高度偏高 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，设出人体上半身长和下半身长成黄金比例时，高跟鞋的高，利用黄金比例求出此时高跟鞋的高是解题的关键. 【详解】解：设这双高跟鞋的高度为时，人体上半身长和下半身长成黄金比例， 由题意得：， 解得：， ， 这双高跟鞋的高度偏高． 1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质直接计算即可得到答案． 【详解】解：∵， 设 ∴， 故选：A． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了比例的基本性质，熟练掌握比例式的两个内项之积等两个外项之积是解决问题的关键． 根据比例的基本性质可得出的值． 【详解】解：， ， 故选：A． 3．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 【答案】B 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】千米米厘米， ∴地图上的距离与实际的距离之比是， 故选：． 【点睛】此题考查了比例尺，解题的关键是正确理解比例尺的定义． 5．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割的概念：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，比值为．正确掌握黄金分割的概念是解题的关键． 因为线段有两个黄金分割点，因此根据黄金分割的概念分别求出两段较长线段的长度，最后根据即可得出结论． 【详解】点是靠近点的黄金分割点，， ， 点是靠近点的黄金分割点， ， ， 支撑点之间的距离为． 故选：A． 6．已知a=4，c=13，则a，c的比例中项是 ． 【答案】 【分析】设a，c的比例中项为b，则，然后利用平方根的定义求解． 【详解】解：设a，c的比例中项为b， 根据题意得， ∵a=4，c=13， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了比例线段：正确理解比例中项的定义是解决问题的关键． 7．已知实数x和1，2，4构成比例，则实数x的值为 ． 【答案】或2或8 【分析】本题主要考查了成比例的数．根据成比例的数的性质，即可求解． 【详解】解：∵实数x和1，2，4构成比例， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，实数x的值为或2或8， 故答案为：或2或8 8．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即，则这四条线段成比例．据此得到，进而得到，代入数据即可求解． 【详解】解：已知a，b，c，d是成比例线段， 根据比例线段的定义得，即， ∵，，， ∴ 解得． 故答案为：6． 9．电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米） 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割，分两种情况进行计算是解题的关键． 设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置，分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：设主持人应走到离点米，就处在比较得体的位置， 分两种情况： 当时， ， 解得：； 当时， ， 解得：； 综上所述：主持人应走到离点7.6或12.4米，就处在比较得体的位置， 故答案为：7.6或12.4． 10．小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 ． 【答案】2 【分析】根据得到a，b，c之间的关系，再等量代换得到a，c的关系． 本题考查与成比例线段相关的比例式的计算，根据比例相等得到等量关系是解决问题的关键． 【详解】， ， ， ， 故答案为 2． 11．已知 ，求 的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质， 根据可得出，变形即可得出答案． 【详解】解：由 ，得， 整理得：， ， 12．（1）已知，求的值．             （2）已知，求的值． 【答案】（1）﹣；（2） 【分析】（1）依据比例的性质可得到2b=1.5a，然后代入计算即可； （2）设=k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴2b=1.5a， ∴=﹣； （2）设=k（k≠0），则x=2k，y=3k，z=4k， ∴=． 【点评】本题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 13．如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长． 【答案】10 【分析】先设AC=3x，BC=2x，根据AC+CD=8，可得3x+x=8，求得x=2，进而得到线段AB的长． 【详解】解：设AC=3x，BC=2x，则CD=x，AB=5x， ∵AD=8， ∴AC+CD=8，即3x+x=8， ∴4x=8， ∴x=2， ∴AB=5×2=10． 【点评】本题主要考查了比例线段以及两点间的距离，解题时注意运用线段中点的意义及线段的和差运算． 14．对如图，在中，是斜边上的高线． 找出一组比例线段，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了成比例线段．根据，即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的高线， ∴， ∴， ∴ ， ∴是一组比例线段． 15．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【答案】这双高跟鞋合适，理由见解析． 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章 图形的相似 25.1 比例线段（4大题型提分练） 知识点一、线段的比与成比例线段 线段的比 两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）． 成比例线段 四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 知识点二、比例的性质 基本性质 合比的性质 等比性质 知识点三、黄金分割 黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为． 题型一 比例的性质 1．已知，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．已知，则等于（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列比列式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，且，则的值是（    ）． A． B．3 C．1 D．0 5．如果，那么 ． 6．已知，其中，那么 ． 7．已知，则的值为 8．若实数a，b满足，且，则 ． 9．已知．判断是否成立，并说明理由． 10．阅读理解，并解决问题： 小明同学在一次教学活动中发现，存在一组都不为0的数a，b，c，d，使得成立（即a，b，c，d成比例）．小明同学还有新的发现：若，则（分比性质）． 已知①；②． 问题解决： (1)仿照上例，从①②中选一组数据写出分比性质等式； (2)证明（1）中的分比性质等式成立． 题型二 比例线段 1．如图，线段，那么等于（    ）    A． B． C． D． 2．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ） A． B． C． D． 3．2023年11月24日，“中国名酒，黄鹤楼”——涡阳首届群星演唱会．雪峰蜜桔节文艺表演舞台长为36米，主持人站在的黄金分割点C处自然得体．已知，则（    ）米． A． B． C． D． 4．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为（    ） A．3858千米 B．3218千米 C．2314千米 D．1543千米 5．若，则 ． 6．点在线段上，若  ，则 ． 7．已知线段厘米，厘米，则它们的比例中项b为 . 8．在比例尺为的地图上，测得 A、B 两地间的图上距离为3厘米，则其实际距离为 米． 9．已知三条线段，，满足，且. (1)求，，的值； (2)若线段是线段和的比例中项，求的值. 10．上午9时，小丽和小芳为了测量一根旗杆的高度，在同一时间同一地点做了以下实验（如图），根据下面的实验，请你求出这根旗杆的高度．    题型三 成比例线段 1．下面四组线段中不能成比例线段的是（   ） A．3、6、2、4 B．4、6、5、10 C．1、2、3、6 D．25、20、4、5 2．若线段a，b，c，d是成比例线段，且，，，则（ ） A． B．8 C．2 D．3 3．已知线段，如果线段a，b，c，d成比例，则线段d的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．2023年9月，占地约3.23平方千米的合肥园博园正式对外全面开放，主办方精心筹建的舞台展区深受广大游客的青睐，其中某两个展区入口之间的距离为155米，在一张比例尺为的导游图上，它们之间的距离大约相当于（     ） A．一支粉笔的长度 B．数学课本的长度 C．一把家用扫帚的长度 D．课桌的宽度 5．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 6．已知线段，，则 ． 7．已知线段、、，其中是的比例中项，如果，，那么线段的长度为 ． 8．在比例尺为的地图上，量得甲乙两地的距离是，则两地的实际距离是 ． 9．已知四个数a，b，c，d成比例． (1)若，，，求d； (2)若， ，，求c． 10．在某市城区地图（比例尺）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是和． (1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？ (2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 题型四 黄金分割 1．点B是线段的黄金分割点，且．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．古筝是一种弹拨弦鸣乐器，又名汉筝、秦筝，是汉民族古老的民族乐器，流行于中国各地．若古筝上有一根弦，支撑点是靠近点的一个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 3．大自然是美的设计师，校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点 P是的黄金分割点，即 ，这个无理数约是（   ） A．0.505 B．0.618 C．0.707 D．0.828 4．2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看作是线段的黄金分割点（），，则的长为（    ）．      A． B． C． D． 5．已知，则点是的黄金分割点， ． 6．科学家发现，蝴蝶的身体长度与它展开的双翅的长度之比是黄金比，已知蝴蝶展开的双翅的长度是，则蝴蝶身体的长度为 .（结果保留根号） 7．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 ．（结果保留根号） 8．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，．已知为2米，则线段的长为 米． 9．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人美感．数学老师身高为160，下半身长x与身高h的比值是0.60，为尽可能达到最好的效果，请你帮她算一算，她应该穿的高跟鞋的高度大约是多少？(结果保留整数)． 10．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．某演员的身长情况如图所示，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，于是她购买了一双6厘米的高跟鞋．请依据“黄金比”判断这双高跟鞋的高度是偏高还是偏低？    1．若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（     ） A．1、2、3、4； B．1、2、4、8； C．2、3、4、5； D．5、10、15、20． 4．某两地的实际距离为千米，画在地图上的距离是厘米，则在地图上的距离与实际的距离之比是（    ）． A． B． C． D． 5．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为（    ）．（结果保留根号）    A． B． C． D． 6．已知a=4，c=13，则a，c的比例中项是 ． 7．已知实数x和1，2，4构成比例，则实数x的值为 ． 8．若四条线段a、b、c、d是成比例线段，其中，，则 ． 9．电视节目主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台长为20米，试计算主持人应走到离A点 米，就处在比较得体的位置．（，结果精确到米） 10．小慧同学在学习“图形的相似”一章后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程，下图就是一个特殊化的学习过程，图中横线上应填写的数值是 ． 11．已知 ，求 的值． 12．（1）已知，求的值．             （2）已知，求的值． 13．如图：点C是线段AB上的点，点D是线段BC的中点，若AC：BC=3：2，且AD=8，求线段AB的长． 14．对如图，在中，是斜边上的高线． 找出一组比例线段，并说明理由． 15．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$