25.1比例线段（基础篇）练习2025-2026学年冀教版数学九年级上册

25.1比例线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 比例线段的概念 · 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段(a)、(b)的长度分别是(m)、(n)，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即，或写成。 · 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。若四条线段(a)、(b)、(c)、(d)满足，则(a)、(b)、(c)、(d)是成比例线段。 2. 比例的基本性质 · 如果（(b)、(d)不为(0)），那么（交叉相乘）。 · 反之，如果（(b)、(d)不为(0)），那么。 3. 比例的重要性质 · 合比性质：若，则。 · 等比性质：若（），则。 4. 黄金分割 · 定义：点(C)把线段(AB)分成两条线段(AC)和(BC)（(AC>BC)），如果，那么称线段(AB)被点(C)黄金分割，点(C)叫做线段(AB)的黄金分割点，(AC)与(AB)的比叫做黄金比。 · 黄金比：黄金比的值为。 型 习 练 题 比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 2．如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段，理解题意是关键；设，则可得，由题意得到比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查比例中项的定义，掌握比例中项的定义是解题的关键．根据比例中项的定义，列出比例式即可得出的值，注意线段不能为负． 【详解】解：是 和的比例中项， ， ，， ，解得：， ， 故选：D． 4．在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出比例方程，设它的下部的高度应设计为，则上部高为，根据题意得，解题的关键是根据比例关系正确列出等式． 【详解】解：设它的下部的高度应设计为，则上部高为， 根据题意得， 故选：． 5．在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例尺的应用，根据比例尺为图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约， ∴实际长度约为， 故选：B． 比例的性质 6．如果，那么的值是（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例的性质，已知比例关系，可设参数表示变量，代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴设,（其中）， ∴， 故选：C． 7．若线段满足，且线段，，则线段（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据比例的性质，由比例关系 可得是和的比例中项，即，代入数据计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ， ∴ ． 故答案为：． 8．若，则（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．熟练掌握合比性质，是解题的关键．将所求表达式拆分为两部分，利用已知比例直接计算． 【详解】解：∵，且， ∴． 故选：A． 9．已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解． 【分析】解：∵， ∴，，， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 10．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了比例的性质．根据已知比例，设参数表示a和b，代入所求表达式计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴设，（）， ∴， 故选：B 成比例线段 11．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查成比例线段，根据比例线段的概念，内项之积等于外项之积．通过计算最小与最大的积和另外两条的积，判断是否相等即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选B． 12．下列四组线段中不能构成比例线段的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．根据成比例线段的定义逐项分析即可． 【详解】解：，故选项 A 中的线段成比例； B．，故选项 B 中的线段成比例；     C．，故选项 C 中的线段成比例；     D．，故选项 D 中的线段不成比例；     故选：D． 13．若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（   ）cm A．15 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例线段的概念，即对于四条线段 , , , ，若 ，则它们是成比例线段．根据比例线段的定义，有 ，代入已知值求解 d． 【详解】∵ 线段 , , , 是成比例线段， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ． 故选： A． 14．已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了成比例线段，理解成比例线段的定义和性质是解题关键．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，， 则有，即， 解得． 故选：C． 15．下列各组线段（单位：）中，是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，8 C．2，4，6，8 D．3，6，6，12 【答案】D 【分析】本题考查比例线段，根据成比例线段的定义，若四条线段a、b、c、d满足，则它们是比例线段，据此解答即可． 【详解】解：A、，不是成比例线段； B、，不是成比例线段； C、，不是成比例线段； D、，是成比例线段； 故选：D． 黄金分割 16．已知C是线段上黄金分割点，，，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 根据黄金分割的定义得到，然后把的长代入计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ． 故选：A． 17．点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是，近似值为． 根据黄金分割的定义，点P为线段的黄金分割点且时，较长部分与较短部分的比值等于整体与较长部分的比值，即．据此分析各选项． 【详解】解：∵点P为的黄金分割点，且， ∴由黄金分割定义，有． 选项A：，符合黄金分割比例，正确； 选项B：，符合黄金分割比例，正确； 选项C：，与定义不符，错误； 选项D：，符合黄金分割比例，正确； 故选：C． 18．已知线段，点、是线段的两个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比． 如图：根据黄金比值，求出的长，根据即可解答． 【详解】解：如图： ∵C、D是上的两个黄金分割点，， ∴， ∴． 故选：D． 19．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割比的定义，关键是熟练应用定义解题； 根据黄金比的定义，宽与长之比为 ，已知宽求长，通过比例关系计算即可． 【详解】解：设长为 ， ∵ 宽与长之比为黄金比，即 ， ∴ ， ∴ ， 有理化分母：， ∴ 长为 ． 故答案为：A． 20．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三线合一定理，解一元二次方程，黄金分割，过点A作于F，由三线合一定理和勾股定理可求出的长，由“黄金分割”点定义可得，即，解方程可求出的长，同理可求出的长，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于F， 设，则， ∵， ∴， ∴； ∵点D是边的“黄金分割”点， ∴， ∴， 解得（经检验，符合题意）或（舍去）， 同理可得， ∴， ∴， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.1比例线段 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1. 比例线段的概念 · 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段(a)、(b)的长度分别是(m)、(n)，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即，或写成。 · 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。若四条线段(a)、(b)、(c)、(d)满足，则(a)、(b)、(c)、(d)是成比例线段。 2. 比例的基本性质 · 如果（(b)、(d)不为(0)），那么（交叉相乘）。 · 反之，如果（(b)、(d)不为(0)），那么。 3. 比例的重要性质 · 合比性质：若，则。 · 等比性质：若（），则。 4. 黄金分割 · 定义：点(C)把线段(AB)分成两条线段(AC)和(BC)（(AC>BC)），如果，那么称线段(AB)被点(C)黄金分割，点(C)叫做线段(AB)的黄金分割点，(AC)与(AB)的比叫做黄金比。 · 黄金比：黄金比的值为。 型 习 练 题 比例线段 1．下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 2．如图，将一张矩形纸片沿它的长边翻折（为折痕），得到两个小矩形，其中，．若矩形的长边与短边的比等于矩形长边与短边的比，则矩形的长边与短边的比是（   ）    A． B． C． D． 3．已知线段是线段和线段的比例中项，若，，则为（   ） A． B． C． D． 4．在设计人体雕像时，使雕像的上部与下部的高度比，等于下部与全身的高度比，可以增加视觉美感，按此比例，如果雕像的高为，设它的下部的高度应设计为，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．在比例尺为的交通游览图上，常泰长江大桥长约，则实际长度约为（    ） A． B． C． D． 比例的性质 6．如果，那么的值是（   ） A． B．5 C． D． 7．若线段满足，且线段，，则线段（　　） A． B． C． D． 8．若，则（） A． B． C． D． 9．已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 10．已知，则的值是（ ） A． B． C． D． 成比例线段 11．下列各组中的四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 12．下列四组线段中不能构成比例线段的是（　　） A． B． C． D． 13．若线段，，，是成比例线段，且，，，则为（   ）cm A．15 B． C． D． 14．已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（   ） A． B． C． D． 15．下列各组线段（单位：）中，是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，8 C．2，4，6，8 D．3，6，6，12 黄金分割 16．已知C是线段上黄金分割点，，，则的长为（   ） A． B．1 C． D． 17．点P为线段的黄金分割点，且，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 18．已知线段，点、是线段的两个黄金分割点，则（    ） A． B． C． D． 19．一本书的宽与长之比为黄金比，书的宽为cm，则它的长为（   ） A．cm B．cm C．cm D．cm 20．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将一线段分为两线段，，使得其中较长的一段是全长与较短的一段的比例中项，即，把点称为线段的“黄金分割”点，如图，在中，已知，若D，E是边的两个“黄金分割”点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $