专题突破1：建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法（8大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题突破1：建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法 一、建立空间直角坐标系策略： 策略一：建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行 1.确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。 2.确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。 3.确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。 4.确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。 5.根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。 策略二：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系 策略三：利用线面垂直建系 策略四：利用面面垂直建系 策略五：利用正棱锥的中心与高所在直线建系 策略六：利用图形中的对称关系建系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系. 二、确定空间直角坐标系中点坐标的方法 求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下 射影法 看所求点分别在轴的投影对应的数值. 如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是； 或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标. 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； 公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 若点， 则线段的中点坐标；三角形的重心； 点在线段上且，则. 向量法 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质. 待定系数法：设点，利用已知条件求出. (6) 函数法：常用于设动点坐标； 动点在定直线上，把投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面，得到投影直线方程，从而达到动点投影中的关系. 以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用. 题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系 【例1】如图，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式1-1】如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点， 平面.    (1)求证：平面； (2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为； 若___________，求平面与平面夹角的余弦值. 【变式1-2】如图，在三棱柱中，平面 . (1)求证:; (2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值. 题型二 利用线面垂直建立空间直角坐标系 【例2】如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值.    【变式2-1】已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影为B，二面角的大小为， (1)求与BC所成角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【变式2-2】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 题型三 利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 【例3】在三棱锥中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若为的中点，且，，求二面角的余弦值． 【变式3-1】如图，三棱锥，平面平面，点为线段上的动点．      (1)若点为的中点时，求的长； (2)当时，是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为 【变式3-2】如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于.    (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 题型四 利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 【例4】如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，.      (1)求异面直线，所成角的大小； (2)在线段上存在点且，探究二面角的大小并说明理由. 【变式4-1】如图所示，四棱锥的底面为正方形，顶点P在底面上的射影为正方形的中心为侧棱的中点．    (1)求证：平面； (2)若，四棱锥的体积为，求与平面所成角． 题型五 利用图形中的对称关系建立空间直角坐标系 【例5】如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P，Q，是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，AB＝a，．    (1)当a为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是的重心； (2)在（1）条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值． 【变式5-1】已知圆台的轴截面为，圆台的上底面圆半径与高都等于1，下底面圆半径等于2，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点的弧的四等分点，经过三点的平面与弧交于点，且三点在平面的同侧．    (1)判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论； (2)为下底圆周上左半部分(靠近点)的一个动点，且与点在的不同侧，当四棱锥的体积等于时，求二面角的余弦值． 题型六 作线面垂直辅助线建系 【例6】四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【变式6-1】如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.    (1)求证：平面 (2)求棱与BC所成的角的大小； (3)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值. 【变式6-2】如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式6-3】如图，在三棱锥中，平面平面，． (1)求的长度； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 题型七 求点的坐标 【例7】已知正方体的棱长为，分别为棱的中点，如图所示建立空间直角坐标系． (1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量的坐标． 【变式7-1】在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标. ； ； ； 若为上点，且写出坐标； 题型八 设点的坐标 【例8】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点在侧棱上，．若以，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求的坐标． 【变式8-1】如图所示，平面，底面边长为的正方形，，是上一点，且， (1)建立适当的坐标系并求点坐标；(2)求证：． 【变式8-2】长方形中，，是中点(图)，将沿折起，使得(图)在图中 (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破1：建立空间直角坐标系和确定点坐标的方法 一、建立空间直角坐标系策略： 策略一：建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行 1.确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。 2.确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。 3.确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。 4.确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。 5.根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。 策略二：利用共顶点且相互垂直的三条棱建系 策略三：利用线面垂直建系 策略四：利用面面垂直建系 策略五：利用正棱锥的中心与高所在直线建系 策略六：利用图形中的对称关系建系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系. 二、确定空间直角坐标系中点坐标的方法 求点的坐标和设点坐标的方法是一致的，常见方法具体如下 射影法 看所求点分别在轴的投影对应的数值. 如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是； 或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标. 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； 公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 若点， 则线段的中点坐标；三角形的重心； 点在线段上且，则. 向量法 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质. 待定系数法：设点，利用已知条件求出. (6) 函数法：常用于设动点坐标； 动点在定直线上，把投影到空间坐标系中某个平面，如投影平面，得到投影直线方程，从而达到动点投影中的关系. 以上的方法其实也是相通的，也还存在其他一些灵活的处理方法(比如平移法等)，都需要理解再灵活运用. 题型一 利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系 【例1】如图，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定证面、面，再由面面平行的判定得面面，最后根据面面平行的性质证结论； （2）构建空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值； （3）由（2）所得坐标系，向量法求面面角的余弦值； 【详解】（1）由，面，面，则面， 由，面，面，则面， 而，面，故面面， 由面，则平面； （2）由平面，平面，则，又， 以为原点构建空间直角坐标系，，， 所以，则，，， 令面的一个法向量，则，若，则， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为.    （3）由（2）知：，则， 令面的一个法向量，则，若，则， 所以，即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式1-1】如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点， 平面.    (1)求证：平面； (2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为； 若___________，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理进行证明； （2）选①：根据异面直线所成角的定义计算得到；选②：根据直线与平面所成角的的定义计算得到；选③：利用等体积转换计算得到；然后再利用空间向量法求两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接，    平面平面， 平面平面， ， 是的中点，是的中点， 又， 平面，平面， ，又，，平面， 平面平面， 又，平面. 平面. （2）如图， 选①：异面直线与所成角为或其补角， 由（1）， ； 选②：平面直线与平面所成角为，，， ； 选③：设，由是的中点，得， ， 所以，解得，所以； 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则所以 令，则， 设平面的一个法向量为，则 所以令，则， 记平面与平面的夹角为， 则.    【变式1-2】如图，在三棱柱中，平面 . (1)求证:; (2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得平面，即可证得. （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以， 因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形， 所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以. （2）解： 因为与平面所成角为平面，所以， 因为， 所以是正三角形， 设， 则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以 ， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的大小为， 因为， 所以， 所以二面角的正弦值为. 题型二 利用线面垂直建立空间直角坐标系 【例2】如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值.    【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）平面平面. 在中，， 又平面 平面， 平面，所以平面平面. （2）   取的中点，连接， 则两两互相垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系. 则， . 设平面的一个法向量为，则 所以令，得. 设平面的一个法向量为， 则所以令，得. 记平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式2-1】已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影为B，二面角的大小为， (1)求与BC所成角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据已知结合几何知识得出与，即可得出为二面角的平面角，则，令，则，在中，得出，在中，根据，，，，列式求解即可得出，过B作，又因为平面ABC，所以BM、BC、两两垂直，即可以、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，得出，，即可根据直线间夹角的向量求法得出答案； （2），所以，得出，则，根据平面的法向量的求法求出平面EBC与平面的法向量，即可根据二面角为，列式求解出，即可得出答案. 【详解】（1）连接，因为在平面ABC上的射影为B， 所以平面ABC， 取AC的中点F，由于， 所以， 连接，由三垂线定理可得， 则为二面角的平面角，即，则， 令，则， 则在中，， 所以， 在中，，，，， 所以，解得， 过B作，又因为平面ABC， 所以BM、BC、两两垂直， 以、、为x、y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，， 则，， 则， 则与BC所成角的余弦值为 （2）设，所以，可求得，则， 设平面EBC的法向量为，由，， 得， 解得， 因为是三棱柱， 所以， 设平面的法向量， 由，， 得，解得， 若二面角为， 则，即，解得， 所以的值为. 【变式2-2】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用平面几何的知识与线面垂直的性质证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，由此证得线面平行； （2）结合（1）中结论，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （3）先利用线面角结合向量法求得的坐标，再利用空间向量点面距离公式求解即可. 【详解】（1）记的中点为，连结， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，则两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为，而，， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． . （2）设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 题型三 利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 【例3】在三棱锥中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若为的中点，且，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，垂足为点，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，由平面可得出，进而利用线面垂直的判定定理可证得平面； （2）推导出点为线段的中点，设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）过点作，垂足为点，    且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由平面，可得， 又因为平面，平面，则， 且，、平面，所以平面. （2）因为，，可知：为中点． 又因为为的中点，则∥， 由（1）可知：平面，则平面， 且、平面，可得，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图．    因为平面，平面，则， 设，则，， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则，， 由，即， 令得，，则． 设平面的法向量为，，， 由，可得， 令，可得，，则， 可得． 由图象可知：二面角是钝角，所以二面角的余弦值为. 【变式3-1】如图，三棱锥，平面平面，点为线段上的动点．      (1)若点为的中点时，求的长； (2)当时，是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为 【答案】(1)； (2)存在，点为的中点. 【分析】（1）取的中点，结合已知，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. （2）借助（1）的坐标系，确定点的坐标，借助共线向量表示出的坐标，利用空间向量结合线面角的正弦求解作答. 【详解】（1）在三棱锥中，，取的中点，连接，则， 而平面平面，平面平面，平面，则平面， 在平面内过作，则平面，于是两两垂直， 以为原点，以射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    而，则， ，线段中点， 于是，由，得， 解得，而，则，即， 所以. （2）由（1）知，当时，点，， 由为线段上的动点，得，，即点， 则，显然平面的法向量，令直线与平面所成的角为， 则，解得，即点为的中点， 所以当点为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. 【变式3-2】如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于.    (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段上不存在点使得，理由见解析 【分析】（1）先证明线面平行，再利用线面平行的性质证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量来求解二面角； （3）先假设存在点，设出点的坐标，利用等量关系建立方程，看方程是否有根，判断是否有这样的点. 【详解】（1）∵，平面ABFE，平面ABFE ∴平面ABFE ∵平面与平面交于，平面CDE ∴ （2）取AD中点O，连接OE，OB，BD ∵， ∴是等边三角形 由三线合一得：OB⊥AD ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴OE⊥AD ∵四边形和三角形所在平面互相垂直，交线为AD ∴OE⊥底面ABCD, ∵平面ABCD, ∴OE⊥OB, 故OE，OB，OA三线两两垂直, 以O为坐标原点，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ，， , ∵且由第一问得知, 所以四边形CDEF是平行四边形, ∴可得：， ∴， 设平面BCF的法向量为 则即： 令，得：， 解得： 其中平面ABC的法向量为 设二面角大小为，由题意得为锐角 所以    （3）不存在满足条件的点M，使得AM⊥EM，理由如下： 若AM⊥EM，则，因为点M在线段BC上，所以设（）， 则，解得：，， 所以 ，， 所以，整理得： 因为，此方程无解，所以线段上不存在点使得 题型四 利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 【例4】如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，.      (1)求异面直线，所成角的大小； (2)在线段上存在点且，探究二面角的大小并说明理由. 【答案】(1) (2)二面角为，理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可得出，由线面垂直可得出，进而得出平面，即可得出异面直线，所成角. （2）建立空间直角坐标系，写出，，，点的坐标，得出平面和平面的法向量，根据两个平面法向量关系，得出二面角的大小. 【详解】（1）由，为的中点，得， 又平面，得， 因为，所以平面， 而平面，得到.故异面直线所成角为. （2）如图，以为坐标原点，过点作交与点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，          则，，，，所以，，，，， 又因为，则，得，所以， 设平面的法向量为， 平面的法向量为， 由，得，取，则 由，得，取，则 因为，故二面角为. 【变式4-1】如图所示，四棱锥的底面为正方形，顶点P在底面上的射影为正方形的中心为侧棱的中点．    (1)求证：平面； (2)若，四棱锥的体积为，求与平面所成角． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）利用三角形中位线结合线面平行的判定定理进行证明； （2）构建空间直角坐标系，然后利用法向量求解与平面所成角． 【详解】（1）   连接，因为底面是正方形，且顶点P在底面上的射影为正方形的中心， 所以， 又因为点是中点， 所以由三角形中位线定理可得； 因为平面，平面， 所以平面； （2）， 解得： 以故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    由已知可得 ， 设平面的一个法向量是. 由，得， 令，则， 又因为与平面所成角与互余， 所以与平面所成角为. 题型五 利用图形中的对称关系建立空间直角坐标系 【例5】如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P，Q，是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，AB＝a，．    (1)当a为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是的重心； (2)在（1）条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)当时，点在平面内的射影恰好是的重心. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证得平面，过点作，得到，进而证得平面，得到是在平面内的射影，结合恰好是的重心，得到，在直角中，即可求解； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：取的中点，连接， 可得，且，平面，所以平面， 过点作，交于点， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 即是在平面内的射影， 因为恰好是的重心，所以， 在直角中，，， 所以，所以，解得， 所以时，点在平面内的射影恰好是的重心. （2）解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 作，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 由图象可得平面与平面所成二面角的平面角为锐角， 所以， 即平面与平面所成二面角的余弦值为．    【变式5-1】已知圆台的轴截面为，圆台的上底面圆半径与高都等于1，下底面圆半径等于2，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点的弧的四等分点，经过三点的平面与弧交于点，且三点在平面的同侧．    (1)判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论； (2)为下底圆周上左半部分(靠近点)的一个动点，且与点在的不同侧，当四棱锥的体积等于时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)平面，证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，由线线平行得到线面平行； （2）根据题意求出为上靠近的四等分点，根据已知条件建系，结合二面角的向量计算公式求解答案即可. 【详解】（1）平面，证明如下： 因为圆台的两个底面互相平行 所以平面与圆台两个底面的交线平行，即， 又因为点为上底圆周上靠近点的的四等分点， 所以点为下底圆周上靠近点的的四等分点， 所以， 所以点为下底圆弧的中点， 所以，所以． 又因为平面，平面， 所以平面 （2）梯形的面积为， 设到平面的距离为， 则四棱锥的体积等于，所以， 如图所示，在平面内，过点作，则， 同理可知，为上靠近的四等分点， 连接，在平面内，过点作， 因为平面，平面，所以， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理平面的一个法向量为， 设二面角大小为，由图可知，二面角为钝角， 所以， 所以二面角的余弦值为 题型六 作线面垂直辅助线建系 【例6】四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到、，从而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接，因为平面，平面， 所以、， 又，，， 所以，所以，所以， ，平面， 所以平面. （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 则， 设平面的法向量为，则，令， 则， 设二面角为，由图可得二面角为钝二面角， 所以，所以二面角的余弦值为. 【变式6-1】如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.    (1)求证：平面 (2)求棱与BC所成的角的大小； (3)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)P为棱的中点， 【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判断定理得到证明. （2）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式求解即可； （3）利用已知条件求出点P的坐标，利用向量法求解平面角的余弦值. 【详解】（1）因为三棱柱中，，所以， 因为顶点在底面上的射影恰为点，平面，所以，所以， 又，平面，平面，所以平面. （2）以A为原点，射线，，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，所以，， 设棱与BC所成的角为， 所以，又，所以， 故棱与BC所成的角为. （3）设，则. 于是，解得， 则P为棱的中点，其坐标为. 设平面的一个法向量，则， 令，得， 而平面的一个法向量， 则， 故二面角的平面角的余弦值是. 【变式6-2】如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取中点，连接，， 在和中，，，， 可得，则，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 且平面，所以. （2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，， 由（1）得平面，且平面，所以， 且，平面，所以平面， 在中，，， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 在中，，可得，， 则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.    【变式6-3】如图，在三棱锥中，平面平面，． (1)求的长度； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出A，D两点的坐标，即可得线段AD的长； （2）分别求得平面ACD与平面ABC的法向量，再由空间向量的夹角公式计算即可得解． 【详解】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 平面平面，平面平面，轴平面，轴 ，可知轴平面， ， 又，则，， 则， 所以， 所以． （2）设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为． 题型七 求点的坐标 【例7】已知正方体的棱长为，分别为棱的中点，如图所示建立空间直角坐标系． (1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量的坐标． 【答案】 (1) ，，，，，，，； (2) 【解析】(1)建立空间直角坐标系：如图所示： ，，，，，，，； (2)， 所以：． 【变式7-1】在平行六面体中，底面是矩形，， 平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标. ； ； ； 若为上点，且写出坐标； 【解析】 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，以过点作的平行线为轴建立空间直角坐标系． (1)射影法 求点，在平面上则， 由图可知它到轴投影对应数值，则， 到轴投影对应数值为，则，即； 同理得； (2)公式法 是的重心， (由三角形重心公式可得) (3)向量法 设，则，， 又 ， (利用向量平行关系) 比较得， 点B坐标为 (投影法也可以) (4)三点共线，可设，(某点在一直线上常用向量法) 即， ， ， ， 解得， 故. 【点拨】 射影法：看所求点分别在轴的投影对应的数值； 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； ② 公式法：对中点、等分点、重心等点可用公式求解； ③ 向量法：常用于涉及到平行、垂直、共线等向量关系中的点. 各方法之间也是相通的，需要理解再灵活运用. 题型八 设点的坐标 【例8】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点在侧棱上，．若以，分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，求的坐标． 【答案】 【解析】 底面为矩形，底面 两两垂直， 如图以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系． 则， 设． ．可得：，解得 ， ． 【变式8-1】如图所示，平面，底面边长为的正方形，，是上一点，且， (1)建立适当的坐标系并求点坐标；(2)求证：． 【解析】 (1)平面，底面边长为的正方形， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，是上一点，且， ，设， 则由，得， ，解得，点坐标． 证明：(2)，， ，． 【变式8-2】长方形中，，是中点(图)，将沿折起，使得(图)在图中 (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存点，使得二面角的余弦值为，说明理由． 【解析】(1)证明：在长方形中，由，是中点， 得，而，，得， 又，且，平面， 而平面， 平面平面； (2) 思路：先根据“点在线段上”，得到其坐标形式(即找到的关系)，再利用二面角余弦值求出点的坐标；那怎么引入参数设出点坐标呢？ 解：取中点，以为坐标原点，分别以，所在直线为，轴， 在平面内，过作底面垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 方法1 向量法 设为线段上的点， 则， ，(即得到点坐标) (以上是由共线关系利用向量法引入参数设点坐标) (PS 以下求的过程学完求二面角的向量法方能理解) 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 由，取，得； 由， 取，得． 由， 解得舍)或． 在线段上存点，使得二面角的余弦值为． 方法2 函数法 设， ，， 点在平面上投影为，， (相当于把直线投影到平面上，空间问题化为平面问题，降维处理) 求得直线的方程为，则； 点在平面上投影为，， 求得直线的方程为，则，即； 所以的坐标可设为， 以下求解类似方法！ 【点拨】 ① 本题在处理“点在线段上”这一条件时，想设点找到的关系，介绍了向量法和函数法，而向量法引入变量表示，而函数法变量是，用其表示便可； ② 有时也可用几何法相似求解， 比如在方法中求中的关系， 如下图，过点分别作轴，轴， 由得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$