专题突破3：空间向量的数量积或数量积的最值（8大题型）-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题突破3：空间向量的数量积或数量积的最值 1、夹角的定义 已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图． 2、夹角的范围 通常我们规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 【注意】只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角． 3、两个向量数量积的定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． 4、向量数量积的几何意义 （1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． （2）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （3）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 5、向量数量积的运算规律 （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 6、向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 题型一 计算空间向量数量积 【例1】已知向量，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-1】已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知棱长为的正四面体，为中点，为中点，则___________. 【变式1-4】已知直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，若M、N分别为，BC的中点，则______． 题型二 求空间向量的模 【例2】在平行六面体中，其中，，，则（    ） A．25 B．5 C．14 D． 【变式2-1】已知正四面体的边长为3，点，分别为线段，上的点，满足，，为线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，且，N是CM的三等分点（靠近M点），则BN的长为___________. 【变式2-3】如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 【变式2-4】向量，且，则___________． 题型三 求空间向量的夹角 【例3】已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【变式3-1】已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，四面体的所有棱长都相等，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】在四面体中，，，，，则 ． 题型四 已知空间向量成锐角（钝角）求参数 【例4】已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【变式4-2】已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______. 【变式4-3】如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 求空间向量的投影 【例5】已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ． 【变式5-3】若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________. 题型六 利用数量积证明垂直关系 【例6】【多选】如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式6-1】已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 【变式6-2】【多选】如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 题型七 求空间向量数量积的最值 【例7】已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【变式7-1】已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式7-3】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8，，∠BCD＝45°．若E，F是四面体ABCD外接球表面上的两点，且，则的最大值为（    ） A．32 B．28 C．21 D．16 【变式7-5】如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 【变式7-6】点P是棱长为2的正四面体表面上的动点，若MN是该四面体外接球的一条直径，则的最小值是___________. 题型八 求空间向量模的最值 【例8】如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式8-1】在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【变式8-2】已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________. 【变式8-3】如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破3：空间向量的数量积或数量积的最值 1、夹角的定义 已知两个非零向量、，在空间任取一点D，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作，如下图． 2、夹角的范围 通常我们规定：，且 （1）当、共线且同向时，； （2）当、共线且反向时，； （3）当当、垂直时，即时，． 【注意】只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角． 3、两个向量数量积的定义 已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即．规定：零向量与任意向量的数量积是0． 4、向量数量积的几何意义 （1）类比平面向量，等于的长度与在方向上的投影的乘积，或的长度与在方向上的投影的乘积． （2）向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量。类似的，可以将向量向直线投影（如图②）． （3）向量在平面上的投影 如图③，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 5、向量数量积的运算规律 （1）； （2）（交换律） （3）（分配律） 6、向量数量积的性质 设，是非零向量，是单位向量，则 ①； ②； ③或； ④； ⑤ 题型一 计算空间向量数量积 【例1】已知向量，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量数量积的坐标运算计算可得. 【详解】∵， 故选:B 【变式1-1】已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，空间向量，，， 可得， 则. 故选：A. 【变式1-2】已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为E是棱AB的中点，F是棱CD靠近C的四等分点， 所以，，因为 ， ， ， 所以． 故选：D. 【变式1-3】已知棱长为的正四面体，为中点，为中点，则___________. 【答案】## 【详解】 . 故答案为：. 【变式1-4】已知直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，若M、N分别为，BC的中点，则______． 【答案】 【详解】因为直三棱柱的底面是边长为的正三角形， 所以，，， 所以， 又，分别为，的中点， 所以，， 因此 . 故答案为: 题型二 求空间向量的模 【例2】在平行六面体中，其中，，，则（    ） A．25 B．5 C．14 D． 【答案】B 【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解. 【详解】解：， 所以 ， 所以， 故选：B. 【变式2-1】已知正四面体的边长为3，点，分别为线段，上的点，满足，，为线段的中点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，作图如下： 由题意知： ， 则 ， ∵正四面体为四面体，且边长为3， ， ， ， 故选：A． 【变式2-2】如图所示，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，且，N是CM的三等分点（靠近M点），则BN的长为___________. 【答案】 【详解】， 则， 则 所以， 所以，BN的长为 故答案为：. 【变式2-3】如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为 . 【答案】 【解析】因为. 所以 所以. 故答案为：. 【变式2-4】向量，且，则___________． 【答案】 【详解】解：因为，且， 所以，，解得， 所以，， 所以，， 故答案为： 题型三 求空间向量的夹角 【例3】已知空间向量，，满足，，且，则与的夹角大小为（    ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【解析】由题设，则， 所以，又，可得，即.故选：C 【变式3-1】已知空间向量，，满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以， 因为， 所以，即， 因为， 所以，即与的夹角为．故选：D． 【变式3-2】如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在正四面体（四个面都是正三角形）ABCD中， ， 因为M，N分别为BC，AD的中点， 所以， 且， 则 ， 所以， 即直线AM和CN夹角的余弦值为. 故选：A. 【变式3-3】如图，四面体的所有棱长都相等，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为四面体的所有棱长都相等，，， 所以，两两夹角为，且分别为的中点， 所以，，， 设四面体的棱长为， 所以，， ， ， 所以 故选：B 【变式3-4】在四面体中，，，，，则 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以，所以. 又，，所以，所以. 又，所以． 故答案为： 题型四 已知空间向量成锐角（钝角）求参数 【例4】已知，若与的夹角为锐角，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为与的夹角为锐角， 所以，且不共线，所以，解得且， 故选：D 【变式4-1】已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】且 【详解】因为， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以，解得， 当时，，解得， 所以实数的取值范围为且. 故答案为：且. 【变式4-2】已知向量，，，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是______. 【答案】 【详解】解：因为，，， 所以，解得， 所以， 所以，， 因为向量与所成角为钝角， 所以，解得， 若向量与共线，则，解得， 此时与共线同向， 综上可得. 故答案为： 【变式4-3】如图，设动点P在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的对角线BD1上，记，当∠APC为钝角时，λ的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用∠APC不是平角，∠APC为钝角等价于，即,从而可求λ的取值范围. 【详解】由题设，建立如图所示空间直角坐标系： 则有， ， ， ， 显然∠APC不是平角， 所以∠APC为钝角等价于， ， ， 得， 因此，λ的取值范围是, 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求向量的夹角，解一元二次不等式，属于中档题. 题型五 求空间向量的投影 【例5】已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在上投影向量 故选：A 【变式5-1】在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为.故选：B 【变式5-2】如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ． 【答案】 ； . 【解析】（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． （2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知． 故答案为：； 【变式5-3】若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，设向量的夹角为， 所以，可得，解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为．故选：C. 【变式5-4】已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为_________. 【答案】 【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可. 【详解】两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为 . 故答案为： 题型六 利用数量积证明垂直关系 【例6】【多选】如图，已知四边形ABCD为矩形，平面，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积为零的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD 【解析】对于A，由于平面，平面，则， 又，平面，则有平面， 而平面，则有，即向量､一定垂直， 则向量､的数量积一定为0，故A正确； 对于B，由于平面，平面，则， 又，平面，则有平面， 而平面，则有，即向量､一定垂直， 则向量､的数量积一定为0，故B正确； 因为，所以直线与所成的角为，显然， 则与的数量积不为0，故C错误. 对于D，由于平面，平面，则，即向量､一定垂直， 则向量､的数量积一定为0，故D正确；故选：ABD. 【变式6-1】已知正方形的边长为2，为等边三角形（如图1所示）．沿着折起，点折起到点的位置，使得侧面底面．是棱的中点（如图2所示）． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】如图，取AB中点O，连接OC交BM于E， ∵为等边三角形， ∴， 又∵平面平面，平面，平面平面， 故平面， 而平面，∴， 又∵，， ∴． ∴， 又∵平面，平面，，∴平面， ∵平面，∴． 【变式6-2】【多选】如图，在平行六面体中，其中以顶点A为端点的三条棱长均为6，且彼此夹角都是，下列说法中不正确的是（    ） A． B． C．向量与夹角是 D．向量与所成角的余弦值为 【答案】CD 【解析】在平行六面体中，其中以顶点为端点的三条棱长均为6 ，且彼此夹角都是， . 对于A， ， ， A正确； 对于B，， ，即，B正确； 对于C，连接，由题意可知是等边三角形，则， ，且向量与的夹角是， 向量与夹角是，C错误； 对于D，， ， ， ，D错误.故选：CD 题型七 求空间向量数量积的最值 【例7】已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件作出图形，利用向量的线性运算及数量积公式，结合锐角三角函数即可求解. 【详解】如图所示 由题意可知，， 因为为的中点，所以, 所以， 当时，取最小值，此时取最大值， 所以的最大值为4. 故选:A. 【变式7-1】已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用转化法求向量数量积的最值即可. 【详解】解：设中点为,连接,设中点为,则 , 当与重合时，取最小值0.此时有最小值， 故选：A 【变式7-2】已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点（包括边界），则的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】 如图，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设点，，， 则，， ， 当或，或时，最大，为1. 故选：C. 【变式7-3】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面ACD，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG. 易得，， 因为平面，平面，，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，. . 因为，所以. 故选：B. 【变式7-4】在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8，，∠BCD＝45°．若E，F是四面体ABCD外接球表面上的两点，且，则的最大值为（    ） A．32 B．28 C．21 D．16 【答案】B 【详解】由于平面，平面， 所以， 由于，， 所以三角形是等腰直角三角形，且， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 设是的中点，根据直角三角形的性质可知， 所以是四面体外接球的球心. ， 所以外接球的半径为. 设是的中点，则，， 所以， ， 设， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 故选：B 【变式7-5】如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 【答案】##-0.125 【详解】连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 【变式7-6】点P是棱长为2的正四面体表面上的动点，若MN是该四面体外接球的一条直径，则的最小值是___________. 【答案】 【分析】设正四面体S-ABC的外接球球心为O，外接球半径为R，内切球半径为r，且SH⊥平面ABC于H，利用AH，SH与外接球及内切球半径的关系，转化即可求解外接球、内切球的半径，然后利用向量的数量积，判断P的位置即可求解向量数量积的最小值． 【详解】解：设正四面体的外接球球心为，外接球半径为，内切球半径为，且平面于，则，； 由得 ，当为该正四面体的内切球与各面的切点时取等号． 所以的最小值是. 故答案为： . 题型八 求空间向量模的最值 【例8】如图，在直三棱柱中，，，D为AB的中点，点E在线段上，点F在线段上，则线段EF长的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】依题意，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，则，设，有， 线段EF长最短，必满足，则有，解得，即， 因此，，当且仅当时取“=”， 所以线段EF长的最小值为. 故选：B 【变式8-1】在棱长为2的正方体中，E为的中点，点P在底面上移动，且满足，则线段的长度的最大值为(    ) A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，、、所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，，， 则，， ，， ，则易求， ， 由二次函数的性质可知，当时，可取到最大值9， 线段的长度的最大值为3． 故选：B． 【变式8-2】已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________. 【答案】3 【详解】因为互相垂直，所以， ， 当且仅当时，取得最小值，最小值为9， 则的最小值为3. 故答案为：3 【变式8-3】如图，在棱长为2的正方体中，点是侧面内的一个动点（不包含端点），若点满足；则的最小值为________． 【答案】 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，，，所以，， 因为，所以， ， 因为，所以令，代入上式得： 其中， 所以， 因此的最小值为， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$