2025年中考数学复习训练：实际问题与二次函数

2025年中考数学复习训练： 实际问题与二次函数 1．小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图），其中一边靠墙（墙长24m），另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm． (1)设垂直于墙的一边长为ym，求y与x之间的函数关系式； (2)设菜园的面积为，求S与x的函数关系式，并求出当时x的值； (3)请问菜园的最大面积能达到吗？如能，求出x的值；如不能，说明理由． 2．某游乐园有一个直径为米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心米处达到最高，高度为米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为 轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式． (2)游乐园决定对喷水设施做如下设计改进，在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到 米，各方面喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合．请求出扩建改造后喷水池水柱的最大高度？ 3．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，篮球运行的水平距离为2.5米时达到最大高度，在如图所示的直角坐标系中，抛物线的表达式为，沿此​抛物线篮球可准确落入篮圈． (1)求篮圈中心到地面的距离为多少米． (2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ (3)篮球被投出后，对方一名近身防守运动员跳起盖帽，这名防守运动员最大能摸高3.05m，若他想盖帽成功，则两名运动员之间的距离不能超过多少米？（直接写出答案） 4．某商店销售乌馒头，通过分析销售情况发现，乌馒头的日销售量(单位：盒)是销售单价(单位：元/盒)的一次函数，销售单价、日销售量的部分对应值如下表，已知销售单价不低于成本价且不高于元，每天销售乌馒头的固定损耗为元，且成本价为元/盒，日销售量为盒． 销售单价/(元/盒) 日销售量/盒 (1)求乌馒头的日销售量与销售单价的函数解析式； (2)端午节期间，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，在顾客获得最大实惠的前提下，当乌馒头每盒降价多少元时，商店日销售纯利润为元； (3)当销售单价定为多少时，日销售纯利润最大，并求此日销售最大纯利润． 5．某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米，已知现有的木板材料（图中细线部分）可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为米，长方形电动车棚的面积为． (1)求与的函数关系式，并写出的取值范围． (2)当时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路（如图2中内部阴影区域），使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 6．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为． (1)求雕塑高． (2)求落水点之间的距离． (3)若需要在上的点处竖立雕塑．问：顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明． 7．如图，某滑雪比赛滑道分为四段区域，运动员从助滑区的台端点出发，在助滑道上获得高速度，至跳台区依靠惯性配合身体动作跃向空中，从跳台区的末端点飞出后，身体以抛物线轨迹在空中飞行，最后落在着陆区斜坡上，并在终点区上停留等待裁判根据运动员的飞行距离和动作完美情况来评分． 已知着陆区斜坡的坡度均匀，的垂直高度为，水平距离为．某位运动员的一次动作中，在离开跳台末端点后水平前进了时，高度恰好升高了达到抛物线的最高点．    (1)请你建立合适的平面直角坐标系，并写出抛物线的表达式； (2)运动员在着陆区斜坡上着陆，可以利用斜坡的角度进行有效的缓冲，若在终点区上着陆，则会增加受伤风险．请你判断这位运动员此次动作会在哪个区域着陆，并说明理由． 8．二次函数的图象经过点，，经过点B，且与二次函数交于点D．过点D作轴，垂足为点C． (1)求二次函数的表达式； (2)点N是二次函数图象上一点（点N在上方），过N作轴，垂足为点P，交于点M，求的最大值． 9．近年来，湖北省某地致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间每天的定价为500元时，所有房间全部住满；当每个房间每天的定价每增加50元时，就会有一个房间无人入住，如果有游客居住房间，民宿每天需要对每个房间各支出100元的其他费用．设每个房间每天的定价增加x个50元（，且x为整数），该民宿每天游客居住的房间数量为y间，所获利润为W元．为吸引游客，该地物价部门要求民宿尽最大可能让利游客． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数关系式； (2)当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到9600元； (3)求当每个房间的定价为多少元时，民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 10．素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 11．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 12．有一种玩具叫“不倒翁”．有的“不倒翁”造型分为上下两个部分，如图，其下半部分的纵截面边缘近似形成一条抛物线的一部分．将“不倒翁”立在矩形桌面上，如图（2），最低点A距离矩形桌面左边缘，此时，粘在玩具上的标签点距桌面的铅直距离和距桌面左边缘的水平距离均为．已知“不倒翁”的下半部分的最高点距桌面的铅直距离为． (1)设“不倒翁”玩具下半部纵截面边缘上的点与桌面左边缘的水平距离为，与桌面的铅直距离为，建立的平面直角坐标系，使点的坐标为，直接在图中画出平面直角坐标系，并求出与 的函数关系式； (2)通过计算说明“不倒翁”左右摇动时，是否有一部分会超出桌子左边缘？ (3)如图，现要在“不倒翁”玩偶的下半部分画一些平行于桌面的装饰带，且每两条相邻装饰带的长度之差为，请直接写出最多可画出几条装饰带（不计装饰带的宽度）． 13．如图， 已知抛物线经过原点，且与直线l交于和两点． (1)求抛物线的解析式和的值． (2)若是抛物线上的一个动点（在点 和点 之间），作 于点 ， 轴交于点 ，在点运动的过程中，是否存在某一位置，使得的面积最大？若存在，请求出此时点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由． (3)将抛物线绕顶点旋转 后，再平移使其顶点在直线上，且经过点 ，得到抛物线，试问在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．某航模小组研制了一种航模飞机，为了测试航模飞机的性能，飞机从水平放置的圆柱形发射台的上底面中心处起飞，其飞行轨迹是一条抛物线．以发射台的下底面中心为坐标原点，过原点的水平线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若发射台的高度为，测得当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为；当飞行的水平距离为时，飞机的飞行高度为． (1)求抛物线的解析式． (2)求飞机飞行的最大高度及最远距离． (3)由于发射台可以上下升降，保证其他起飞条件不变的前提下，抛物线随着起飞点的上下平移而上下平移．如图，在水平线轴上设置回收区域，，，要使飞机恰好降落到内（包括端点，），直接写出发射台的高度的取值范围． 15．“口袋公园”建设是临沂市重点民生工程，随着“口袋公园”建设的不断推进，建设人民群众家门口的公园，已逐步成为现实．某口袋公园中引入了自动喷灌系统，图1是该公园内的一个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口喷出的水柱均为形状相同的抛物线．图2是该喷灌器喷水时的截面示意图． (1)喷水口A离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在公园围栏和地面的交界B处． ①以O为原点，为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； ②求喷灌器底端O到点B的距离； (2)在（1）的条件下，现准备在公园内沿围栏建花坛，花坛的截面示意图为矩形（如图3），其中高为．宽CB为．为达到给花坛喷灌的效果，需将喷水口A向上升高，使水柱经过上一点（包含D，E两点），现在已经计算出喷出的水柱恰好经过点D时的值为，请你求h的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$