精品解析：北师大版2023-2024学年七年级数学下册期末检测卷（二）

2024年北师大七年级下册数学期末检测卷（二） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣a）•a2＝a3 B. 2a﹣a＝1 C. （﹣2）0＝1 D. 3-2＝﹣ 2. 随着科技的进步，微电子技术飞跃发展，电子科学院的学生在实验室把半导体材料的尺寸大幅度缩小，某电子元件的面积大约为平方毫米，用科学记数法可表示为（    ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 实心铁球投入水中会沉入水底 B. 三条线段可以组成三角形 C. 将油滴入水中，油会浮在水面上 D. 早上太阳从西方升起 4. 两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），下列三幅图依次表示（ ） A. 同位角、同旁内角、内错角 B. 同位角、内错角、同旁内角 C. 同位角、对顶角、同旁内角 D. 同位角、内错角、对顶角 5. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 6. 如图，要测量河岸相对两点A，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点A，，在一条直线上，测出，，则的长是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 7. 如图，的面积为8，为边上的中线，E为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 数学课上，小明用尺规在黑板上作的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“、☺、、”代表的内容错误的是（    ） 已知：． 求作：射线，使． 作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以☺为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则，易知，理由； 所以，理由． A. 表示“” B. ☺表示“大于的长” C. 表示“” D. 表示“全等三角形的对应角相等” 9. 四边形中，，，在上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知和关于直线对称；如图，在射线上取点，连接，；如图，在射线上取点连接，，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，直线与相交于点O，如果，那么是___________度． 12. 如图，小猫在方砖上随意走动，每块方砖除颜色外完全相同，则它停留在黑色方砖上的概率是_________． 13. 一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间有一定关系，请你根据下表中数据，写出h（m）与n（年）之间的关系式：_____． n/年 2 4 6 8 … h/m 26 3.2 3.8 4.4 … 14. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是______． 15. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 17. 先化简，再求值： ，其中． 四、解答题：本题共6小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN度数． 19. 如图，中，，于点D． （1）若，求的度数； （2）若点E在边AB上，交AD的延长线于点F．求证：． 20. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ； （2）如果图中的、满足，，求的值； （3）已知，求． 21. 在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度． 将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理． 如图，如果AB⊥CD于点A，　 ，那么AC＝AD．说明AC＝AD的理由． 22. 如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：； （2）如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个； ②若，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 23. 已知中，，，点为直线上的一动点点不与点、重合，以为边作，，，连接． （1）发现问题 如图，当点在边上时． 请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______； 求证： （2）尝试探究 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． （3）拓展延伸 如图，当点在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年北师大七年级下册数学期末检测卷（二） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列运算正确的是（ ） A. （﹣a）•a2＝a3 B. 2a﹣a＝1 C. （﹣2）0＝1 D. 3-2＝﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用单项式乘以单项式以及合并同类项法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】解：A、（﹣a）•a2＝﹣a3，故此选项错误； B、2a﹣a＝a，故此选项错误； C、（﹣2）0＝1，正确； D、3-2＝，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式乘法，合并同类项，零指数幂和负指数幂，准确分析判断是解题的关键． 2. 随着科技的进步，微电子技术飞跃发展，电子科学院的学生在实验室把半导体材料的尺寸大幅度缩小，某电子元件的面积大约为平方毫米，用科学记数法可表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列事件中，是不可能事件的是（ ） A. 实心铁球投入水中会沉入水底 B. 三条线段可以组成三角形 C. 将油滴入水中，油会浮在水面上 D. 早上的太阳从西方升起 【答案】D 【解析】 【分析】根据事件发生的几率即可判断. 【详解】A. 实心铁球投入水中会沉入水底，为必然事件； B. 三条线段可以组成三角形，为随机事件； C. 将油滴入水中，油会浮在水面上，为必然事件； D. 早上的太阳从西方升起，为不可能事件 故选D. 【点睛】此题主要考查事件发生的几率，解题的关键是熟知不可能事件的定义. 4. 两条直线被第三条直线所截，就第三条直线上的两个交点而言形成了“三线八角”，为了便于记忆，同学们可仿照图用双手表示“三线八角”（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），下列三幅图依次表示（ ） A. 同位角、同旁内角、内错角 B. 同位角、内错角、同旁内角 C. 同位角、对顶角、同旁内角 D. 同位角、内错角、对顶角 【答案】B 【解析】 【分析】两条线a、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位角；两个角分别在截线的异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角，据此作答即可． 【详解】解:根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知 第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角． 所以B选项是正确的， 故选B． 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，属于简单题，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们． 5. 若，则的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【详解】∵a+b=3， ∴a2-b2+6b =(a+b)(a-b)+6b =3(a-b)+6b =3a-3b+6b =3a+3b =3(a+b) =9． 故选C 6. 如图，要测量河岸相对两点A，的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点，，使，再过点作的垂线段，使点A，，在一条直线上，测出，，则的长是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 由、均垂直于，即可得出，结合、，即可证出，由此即可得出，此题得解． 【详解】解：∵，， ∴， 在中， ∴， ∴． 故选：B． 7. 如图，的面积为8，为边上的中线，E为上任意一点，连接，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由是的中点可得出，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形的中线的性质，关键是要牢记三角形的中线平分三角形的面积． 8. 数学课上，小明用尺规在黑板上作的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“、☺、、”代表的内容错误的是（    ） 已知：． 求作：射线，使． 作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以☺为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则，易知，理由； 所以，理由． A. 表示“” B. ☺表示“大于的长” C. 表示“” D. 表示“全等三角形的对应角相等” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作法以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及全等三角形的判定与性质． 根据作的角平分线的方法求解即可． 【详解】作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则， 又∵， ∴，理由； 所以，理由全等三角形的对应角相等． ∴错误的是表示“”． 故选：C． 9. 四边形中，，，在上分别找一点M、N，当的周长最小时，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键． 延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N，此时周长最小，推出，进而得出的度数． 【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点M、N． ， 关于对称，关于对称， 此时的周长最小， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， ． ， 故选：B． 10. 如图，已知和关于直线对称；如图，在射线上取点，连接，；如图，在射线上取点连接，，依此规律，第个图形中全等三角形的对数是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，轴对称的性质，图形类的规律探索，根据轴对称的性质和全等三角形的判定方法先得出图1和图2中全等三角形的对数，进而得出规律：第n个图形中全等三角形的对数是，即可解答． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴．， 在和中， ， ∴． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，， ∴， ∵． ∴， 在中， ， ∴， ∴图2中有对三角形全等； 同理：图3中有对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图，直线与相交于点O，如果，那么是___________度． 【答案】50 【解析】 【分析】先求出的度数，再根据邻补角的定义求即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：50． 【点睛】本题考查了对顶角相等，根据邻补角的定义求角的度数，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 12. 如图，小猫在方砖上随意走动，每块方砖除颜色外完全相同，则它停留在黑色方砖上的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率的计算方法：用整个几何图形的面积n表示所有等可能的结果数，用某个事件所占有的面积m表示这个事件发生的结果数，然后利用概率的概念计算出这个事件的概率为：．用黑色方砖的块数除以方砖的总数求解即可． 【详解】解：∵黑色方砖有5块，方砖共有9块， ∴它停留在黑色方砖上的概率是． 故答案为：． 13. 一棵树高h（m）与生长时间n（年）之间有一定关系，请你根据下表中数据，写出h（m）与n（年）之间的关系式：_____． n/年 2 4 6 8 … h/m 2.6 3.2 3.8 4.4 … 【答案】h＝0.3n+2 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，可先设出通式，然后将已知的条件代入式子中求出未知数的值，进而求出函数的解析式． 【详解】设该函数的解析式为h＝kn+b， 将n＝2，h＝2.6以及n＝4，h＝3.2代入后可得 ， 解得， ∴h＝0.3n+2， 验证：将n＝6，h＝3.8代入所求的函数式中，符合解析式；将n＝8，h＝4.4代入所求的函数式中，符合解析式； 因此h（m）与n（年）之间关系式为h＝0.3n+2． 故答案为h＝0.3n+2． 【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式的方法．用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式． 14. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是______． 【答案】15 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确理解题意，结合图形运用以上知识进行求解．设大正方形和小正方形的边长各为a，b，由题意可得，再运用三角形面积公式进行求解． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长各为，， 由题意可得， 阴影部分的面积为： = = 故答案为：15． 15. 如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】证明，得到，即可得解． 【详解】解： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键． 三、计算题：本大题共2小题，共10分． 16. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先计算有理数乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减； （2）首先计算同理底数的乘法，积的乘方，然后计算单项式除以单项式，然后合并即可； （3）首先计算完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式，然后计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】此题考查了有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，同理底数的乘法，积的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，平方差公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． 17. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】2x-3y，7 【解析】 【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值求解即可． 【详解】解：原式=（4x2-4xy+y2-2xy-y2）÷2x =（4x2-6xy）÷2x =2x-3y． 当x=2，y=-1时，原式=2×2-3×（-1）=7． 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值求解． 四、解答题：本题共6小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. 如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P． （1）求证：△ABM≌△BCN； （2）求∠APN的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）∠APN的度数为108°． 【解析】 【分析】（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可； （2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案． 【详解】证明：（1）∵正五边形ABCDE， ∴AB=BC，∠ABM=∠C， ∴在△ABM和△BCN中 ， ∴△ABM≌△BCN（SAS）； （2）∵△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠BAM+∠ABP=∠APN， ∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°． 即∠APN的度数为108°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，多边形内角与外角，解题的关键是掌握多边形内角与外角之间的关系． 19. 如图，中，，于点D． （1）若，求的度数； （2）若点E在边AB上，交AD的延长线于点F．求证：． 【答案】（1）48°；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到； （2）根据等腰三角形的性质得到根据平行线的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【详解】解：（1）∵，于点D， ∴，， 又， ∴； （2）∵，于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 20. 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积可以得到一个恒等式图将一个边长为的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示该图形的总面积，可得如下公式： ； （2）如果图中的、满足，，求的值； （3）已知，求． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）依据该图形的总面积为或可得结果； （2）由（1）题结果可得，将，可求得即的值； （3）设，，则，依据代入计算可求得即可求出． 【小问1详解】 解：该图形的总面积为：或 故答案为：； 【小问2详解】 由（1）题结果可得， ∴当，时， ， ∴； 【小问3详解】 设，， ∴， 则， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的证明及应用；解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 21. 在拓展训练过程中，小明和组员为了完成测河宽的任务，在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，设计出下面的方案：小明面向河对岸的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在河对岸一点；然后，他转过身，保持刚才的姿态，这时视线通过帽檐落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的方法量出自己与那个点的距离，这个距离就是河的宽度． 将小明看成一条线段AB，河对岸一点为点C，自己所在岸的那个点为点D，示意图如图所示，请你根据示意图帮助小明同学将问题补充完整，并解释其中的道理． 如图，如果AB⊥CD于点A，　 ，那么AC＝AD．说明AC＝AD的理由． 【答案】∠ABC＝∠ABD，见解析 【解析】 【分析】由题意易得△ABC≌△ABD，从而可得AC=AD． 【详解】如果AB⊥CD，∠ABC＝∠ABD，那么AD＝AC． 理由如下： ∵AB⊥CD， ∴∠BAD＝∠BAC， 在△ABC与△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（ASA）， ∴AC＝AD． 故答案为：∠ABC＝∠ABD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质在实际生活中的应用，关键是理解题意，并转化为数学问题． 22. 如图1，已知线段相交于点，连接，则我们把形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：； （2）如图2，若和的平分线、相交于点，且与分别相交于点． ①以线段为边的“8字型”有__________个，以点为交点的“8字型”有__________个； ②若，求的度数； ③若角平分线中角的关系改为，试探究与之间存在的数量关系，并证明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①3；4；②③ 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，，又因为和对顶角，进而得出结论； （2）①根据题目给的8字型定义，在图2中查图形的数量即可得出答案； ②根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理得出和，两式相加，最后得出，然后把代入计算即可得到答案； ③根据，得到，，再根据三角形内角和定理得出和，两式分别相减得到和，即可得到答案 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：①以线段为边的“8字型”有：以和共点M组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有3个； 以点为交点的“8字型”有：以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；以和共点O组成的图形；共有4个； 故答案为：3；4； ②以点为交点的“8字型”中，有， 以点为交点的“8字型”中，有， ， ∵、分别平分和， ， ， ， ； ③ ，， ，， 以点为交点的“8字型”中，有， 以点为交点的“8字型”中，有， ， ， ； 【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180度，也考查了角平分线的定义，灵活运用所学知识是关键． 23. 已知中，，，点为直线上的一动点点不与点、重合，以为边作，，，连接． （1）发现问题 如图，当点在边上时． 请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______； 求证： （2）尝试探究 如图，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． （3）拓展延伸 如图，当点在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长． 【答案】（1）①；；②见解析 （2）（1）中存在的数量关系不成立，新的数量关系是，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质知识点，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明，根据全等三角形的性质证明；先证明，再利用全等三角形的对应边相等证明即可； （2）证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （3）根据得到，计算即可． 【小问1详解】 解：，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，即， 故答案为；； ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：（1）中、、之间存在的数量关系不成立，新的数量关系是， 证明： ， ， 在和中， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$