精品解析：2023-2024学年苏科版数学八年级下册期末模拟练习数学试题

2023-2024学年下学期苏科版八年级期末模拟练习数学试卷 测试内容：八下全部 测试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查长江的水质 B. 调查一批圆珠笔的使用寿命 C. 调查某类烟花爆竹燃放安全质量 D. 调查某班50名学生的数学成绩 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了抽样调查和全面调查．普查和抽样调查的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，据此作答即可． 【详解】解：A、调查长江的水质，应用抽样调查方式，故此选项不合题意； B、调查一批圆珠笔的使用寿命，应用抽样调查方式，故此选项不合题意； C、调查某类烟花爆竹燃放安全质量，适合选择抽样调查，故此选项不符合题意； D、调查某班50名学生的数学成绩，应用全面调查方式，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的四则运算，熟知二次根式的四则运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的性质可得∠CBM＝∠CMB，利用等边对等角即可得MC＝BC＝8，进而可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝12，BC＝AD＝8，AB∥CD， ∴∠ABM＝∠CMB， ∵BM是∠ABC的平分线， ∴∠ABM＝∠CBM， ∴∠CBM＝∠CMB， ∴MC＝BC＝8， ∴DM＝CD﹣MC＝12﹣8＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的性质，掌握其相关性质是解题的关键． 4. 分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 缩小为原来的 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的性质，根据题意及分式的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵字母的值都扩大为原来的2倍为， ∴分式的值不变， 故选：C． 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质反比例函数图象上点的坐标特征，，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质解答． 先判定出反比例函数图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大，再判定点在第四象限，，在第二象限，根据反比例函数的性质，可以判断出，，的大小关系． 【详解】解：， 反比例函数的图象在二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， 点，，都在反比例函数的图象上， 点在第四象限，，在第二象限， ，， ， 故选：D． 6. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有（），解得，这时矩形的周长最小，因此（）的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子（）的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，理解并应用题目中的计算方法是解题的关键． 根据题目中的计算方法进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴在原式中分母分子同除以， 即； 在面积是的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是， 矩形的周长是； 当矩形成为正方形时，就有（）， 解得：， 这时矩形的周长最小， 因此（）的最小值是． 故选：A． 7. 如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ） A. B. 12 C. D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合，过点作轴，延长交于点，证，求得，根据，求得，得到点的纵坐标为，设，则，由反比例函数的图象经过、两点，从而求出，进而可得的值． 【详解】解：过点作轴，延长交于点， 与轴平行，与轴平行， ，， 四边形为平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标为， 设，则， 反比例函数的图象经过、两点， ， ， ， ， 故选：D． 8. 已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据代数式求值对①进行判断即可；②将化为，根据式子为整数分析求解即可；③求出，即可得出最小值；④根据分母有理化算出，进而求解即可． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②当整数时，则为整数， 为整数， 为整数，取整数， 当或时，也为整数，故②错误； ③， 当时，的最小值为，故③错误； ④ ， ， ， ， ， ， 故④正确， 故选:B． 【点睛】本题考查了代数式求值，分母有理化，数字规律探索，分式的混合运算，二次根式的性质化简等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握分母不为零且被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知，， 解得， 故答素为：． 10. 一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共20个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 摸到红球的频数 摸到红球的频率 估计袋中红球的个数是_______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值求出红球的概率，进而求出红球的个数即可． 【详解】解：观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定到常数附近， ∴“摸到红球”的概率的估计值是． ∴估计袋中红球的个数是个． 故答案：5． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，熟知大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键． 11. 关于的分式方程无解，则的值为 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以得，， 整理的，， 当，即时，方程无解； 当，即时，， ∵方程无解， ∴是方程的增根， ∴， 解得； ∴的值为或， 故答案为：或． 12. 如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】将顺时针旋转得到，再证明，从而得到，再设设，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，从而利用完全平方公式得到，从而得解． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴，， 将顺时针旋转得到，则， ∴，，，， ∴点P、B、M、C共线， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴ ， 当且仅当，即，也即时，取最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，二次根式的运算，完全平方公式等知识，证明和得到是解题的关键． 13. 如图，点是反比例函数（）图象上的一点，点在轴的负半轴上，为等边三角形，若的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及等边三角形的性质，过点A作轴，设点，由三线合一定理得到，则，由点是反比例函数的图象上，得到，再根据三角形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：过点A作轴于点C，如图所示： 设， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵点是反比例函数的图象上， ∴， ∵的面积为6， ∴，即， ∴， 故答案为：． 14. 如图是从原点开始的通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了在反比例函数图象上点坐标的特征，找规律，找出点坐标的规律是解题的关键．分别写出前三个回形的点坐标，找出规律，得到第个回形4个点的规律，分别是，，，，然后找出第2024个点在第几个回形的第几个点即可算出答案． 【详解】由题意可知，反比例函数图象上点坐标为，观察图象，可以发现： 第1个回形有2个点，， 第2个回形有4个点，分别是，，， 第3个回形有4个点，分别是，，， 第个回形有4个点，分别是，，， 那么第2024个点在第507个回形的第2个点，那么点坐标为 故答案为： 15. 如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．延长，使得，连接，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可． 【详解】解：延长，使得，连接，，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴点在定直线上， ∵是的中点， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 16. 如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数，设，可得点的坐标，再求出直线的解析式，再求出点的坐标，根据的面积为，列方程，即可解答，表示出直线的解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 为直角三角形，且， ，， 设直线的解析式为， 把，代入解析式可得， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得， ， 的面积为， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键． （1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化，先根据分式混合运算法则化简原式,再结合分母有理化代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 19. 解分式方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】（1）去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可； （2）去分母将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，然后检验即可． 小问1详解】 解： 方程两边同乘，得． 解这个一元一次方程得． 检验：当时，，是原方程的解． 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得． 解这个一元一次方程，得． 检验：当时，，是增根，原方程无解． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，正确掌握解方程的步骤及解法是解题的关键，忽略检验是解答本题的易错点． 20. 如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知的顶点均为格点，且点A的坐标为． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出将绕原点O按顺时针方向旋转，所得的； （3）与成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴； （4）与成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）成轴对称，见解析 （4）成中心对称，对称中心坐标为 【解析】 【分析】（1）分别作出、关于x轴的对称点、，依次连线，即可求解； （2）分别作出、、绕原点O按顺时针方向旋转的对应点、、，依次连线，即可求解； （3）分别作线段、、的垂直平分线，由于三条直线重合，即可求解； （4）连接，、，可得，，，，，，直线的解析式为，直线的解析式为：，直线的解析式为：，从而可求直线与直线的交点，可证直线，直线、直线交于同一点，再证，，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， 为求作的三角形． 【小问2详解】 解：如图， ， 为求作的三角形． 【小问3详解】 解，如图， 分别作线段、、的垂直平分线，三条直线重合， 直线为所求作的对称轴． 【小问4详解】 解：如图，连接，、， ，，，，，， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为， 同理可求直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ， 解得：， 直线与直线的交点， 同理可求直线与直线的交点， 直线与直线的交点， 直线，直线、直线交于同一点， ， ， ， 同理可证：，， 与成中心对称，对称中心坐标为． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称的性质作轴对称图形并两个判断图形是否成轴对称，利用旋转的性质作旋转对称图形，用中心对称定义判断两个图形是否成轴对称，一次函数待定系数法求解析式，求两直线交点坐标，理解轴对称、旋转、中心对称的定义及性质，掌握作法是解题的关键． 21. 2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 【答案】每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． 【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为元，则一个A款吉祥物的售价为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）． 答：每个A款吉祥物的售价为40元，每个B款吉祥物的售价为20元． 22. 根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受的压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 【答案】任务1：；任务2：；任务3：只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用； 任务1：根据重力质量重力系数；密度，列式计算即可求解； 任务2：压强，即可求解； 任务3：根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，根据桌面所能承受的最大压强为，分别计算三个侧面分别放置在桌面上时的压强，即可求解． 【详解】解：任务1：依题意， 任务2：依题意， 任务3：∵随的增大而减小， ∴当时， ∵. ∴只有将铁块最大面长，宽，放在桌面上，桌面才能承受 23. D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 【答案】（1）见解析 （2）时，平行四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、三角形中位线及菱形的性质，解题的关键是得到证明平行四边形的条件． （1）由于分别是边的中点, 可得是的中位线，同理可得是的中位线，由三角形中位线定理即可得到是平行四边形； （2）根据，，，可以得到，即可得到平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明: ∵分别是边的中点, 且， 同理，且， ∴且 ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 当时，平行四边形是菱形.理由为： 分别是边的中点, ∴， 又∵，， ∴， ∴平行四边形是菱形． 24. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； （2）化简：； （3）已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【小问1详解】 解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 25. 定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”． （1）在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）； （2）点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值； （3）如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标． 【答案】（1）③ （2） （3）点B的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据“直旋点”的定义进行判断即可； （2）设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，证明，得出，，即可得出的坐标为，求出k的值即可； （3）设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，求出反比例函数解析式为，设点B的坐标为，得出，，证明，得出，，求出点C的坐标为：，根据点C在函数图象上，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①点绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴不在函数的图象上， ∴不是原点O关于一次函数图象的“直旋点”； ②绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴不在函数的图象上， ∴不是原点O关于一次函数图象“直旋点”； ③绕原点顺时针旋转的对应点为，把代入得：， ∴在函数的图象上， ∴是原点O关于一次函数图象的“直旋点”； 综上分析可知，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有③． 故答案为：③． 【小问2详解】 解：设点M绕点N顺时针旋转的对应点为，过点M作轴于点A，过点作轴于点B，如图所示： ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴，， ∴， ∴的坐标为， 把代入得：． 【小问3详解】 解：设点B绕点A顺时针旋转的对应点为点C，连接，，过点A作x轴的平行线，过点B作于点E，过点C作于点E，如图所示： ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵点B在函数图象上， ∴设点B的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴，， ∴点C的坐标为：， ∵点C在函数图象上， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，求反比例函数解析式，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 26. 在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接． （1）将射线绕点顺时针旋转，交直线于点． ①依题意补全图1； ②小深通过观察、实验，发现线段存在以下数量关系：的平方和等于的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法： 想法1：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要证的关系，只需证的关系． 想法2：将沿翻折，得到，要证的关系，只需证的关系． … 请你参考上面的想法，用等式表示线段的数量关系并证明；（一种方法即可） （2）如图2，若将直线绕点B顺时针旋转，交直线于点．若正方形边长为，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②想法1：过作，使，连接，由正方形的性质得出，，，证明，得出，证出，证明，得出，证出，在中，由勾股定理即可； 想法2，证明，在在中，由勾股定理即可，进而即可得出结论； （2）过作，使，连接，由证得：，得出，再由证得：，得出，，证出，得出，在中，由勾股定理即可得得出，根据题意得出，代入结论，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：①补全图形，如图1所示： ②；理由如下： 想法1：过作，使，连接，如图2所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 想法2，如图所示， ∵四边形是正方形，将沿翻折，得到， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过作，使，连接， ∵直线绕点顺时针旋转°，交直线于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∵正方形边长为， ∴， ∵， 设，则 ∴ 解得： ∴ 设，则， ∵． ∴， 解得： ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年下学期苏科版八年级期末模拟练习数学试卷 测试内容：八下全部 测试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列调查中，适合采用全面调查方式的是（ ） A. 调查长江的水质 B. 调查一批圆珠笔的使用寿命 C. 调查某类烟花爆竹燃放安全质量 D. 调查某班50名学生的数学成绩 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在▱ABCD中，已知AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线BM交CD边于点M，则DM的长为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 分式（、均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 缩小为原来的 5. 若点，，都在反比例函数的图象上，则大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子（）的最小值是2”．其推导方法如下：在面积是1的矩形中设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有（），解得，这时矩形的周长最小，因此（）的最小值是．模仿张华的推导，你求得式子（）的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点是平行四边形内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图像经过，两点，则的值是（ ） A. B. 12 C. D. 15 8. 已知多项式，下列说法正确的有（ ）个： ①若，则； ②若为整数，则整数的值为2或6； ③的最小值为； ④令，则． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 若式子有意义，则实数x的取值范围是_____． 10. 一个不透明的袋子里装有红、白两种颜色的球共20个，每个球除颜色外都相同，每次摸球前先把球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回袋子里，不断重复这一过程，将实验后的数据整理成如表： 摸球次数 摸到红球的频数 摸到红球的频率 估计袋中红球的个数是_______． 11. 关于的分式方程无解，则的值为 ______． 12. 如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________． 13. 如图，点是反比例函数（）图象上的一点，点在轴的负半轴上，为等边三角形，若的面积为6，则的值为______． 14. 如图是从原点开始通道宽度为1的回形图，，反比例函数与该回形图的交点依次记为、、、……，则的坐标为________． 15. 如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段最小值为________． 16. 如图，的直角顶点A在反比例函数（x＞0）的图像上，点C在y轴上，轴，延长交x轴于点D，连接，当且的面积为时，点A的坐标为_____． 三、解答题（本大题共10小题，共72分．） 17. 计算： （1） （2） 18. 化简求值：，其中． 19. 解分式方程： （1） （2） 20. 如图，在方格纸中建立平面直角坐标系，已知的顶点均为格点，且点A的坐标为． （1）画出关于x轴对称的； （2）画出将绕原点O按顺时针方向旋转，所得的； （3）与成轴对称吗？若成轴对称，画出所有的对称轴； （4）与成中心对称吗？若成中心对称，写出对称中心坐标． 21. 2024年是甲辰龙年，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某商店销售A，B两款与龙相关的吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元，若顾客花1000元购买A款吉祥物的数量与花500元购买B款吉祥物的数量相同，求A，B两款吉祥物单价． 22. 根据以下素材，探索完成任务 探索铁块放在桌面上，桌子能否承受？ 素材1 如图，把铁块放在桌面上，则桌面所承受压力与铁块的重力相等． 素材2 重力=质量×重力系数；密度；压强． 铁的密度为，重力系数． 素材3 假设桌面所能承受的最大压强为． 长方体铁块的长、宽、高分别为． 问题解决 任务1 求铁块的重力为多少N？ 任务2 直接写出铁块对桌面的压强关于受力面积的函数表达式． 任务3 利用函数的性质判断能否把这个铁块放在这张桌面上？ 23. D、E分别是不等边三角形（即）的边、的中点．O是所在平面上的动点，连接、，点G、F分别是、的中点，顺次连接点D、G、F、E． （1）如图，当点O在的内部时，求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是菱形，则与应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．） 24. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； （2）化简：； （3）已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 25. 定义：平面直角坐标系中，若点M绕点N顺时针旋转，恰好落在函数图象W上，则称点M是点N关于函数图象W的“直旋点”．例如，点是原点O关于函数图象的一个“直旋点”． （1）在①，②，③三点中，是原点O关于一次函数图象的“直旋点”的有 ___________（填序号）； （2）点是点关于反比例函数图象的“直旋点”，求k的值； （3）如图1，点在反比例函数图象上，点B是在反比例函数图象上点A右侧的一点，若点B是点A关于函数的“直旋点”，求点B的坐标． 26. 在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接． （1）将射线绕点顺时针旋转，交直线于点． ①依题意补全图1； ②小深通过观察、实验，发现线段存在以下数量关系：的平方和等于的平方．小深把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成证明该猜想的几种想法： 想法1：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，要证的关系，只需证的关系． 想法2：将沿翻折，得到，要证的关系，只需证的关系． … 请你参考上面的想法，用等式表示线段的数量关系并证明；（一种方法即可） （2）如图2，若将直线绕点B顺时针旋转，交直线于点．若正方形边长为，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$